高考专题突破六 第2课时

第2课时 定点与定值问题

定点问题

例1 (2019·北京)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．

(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；

(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．

(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.

所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.

(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1)．

设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. Δ＝16k 2＋16>0恒成立．

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4.

直线OM 的方程为y ＝y 1x 1

x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1

. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2

. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2

，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 214⎝⎛⎭

⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2

＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3.

综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．

思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．

跟踪训练1 (2019·全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12

上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .

(1)证明：直线AB 过定点；

(2)若以E ⎝⎛⎭

⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积． (1)证明 设D ⎝⎛⎭

⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t

＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.

设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.

故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.

所以直线AB 过定点⎝⎛⎭

⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12

. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，

y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0，

于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，

y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，

|AB |＝

1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．

设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，

则d 1＝t 2＋1，d 2＝2

t 2＋1，

因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3)t 2＋1.

设M 为线段AB 的中点，则M ⎝

⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，

AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，

解得t ＝0或t ＝±1.

当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.

因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.

定值问题

例2 已知O 为坐标原点，过点M (1,0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)过点M 作直线l ′⊥l 交抛物线C 于P ，Q 两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为S 1，S 2，

证明：1S 21＋1S 22

为定值． (1)解 设直线l ：x ＝my ＋1，

联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝my ＋1，y 2＝2px ，

消x 得，y 2－2pmy －2p ＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2p ，

又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2

＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2

＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1

＝(1＋m 2)(－2p )＋2pm 2＋1＝－2p ＋1＝－3.

解得p ＝2.

所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .

(2)证明 由(1)知M (1,0)是抛物线C 的焦点，

所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝my 1＋my 2＋2＋p ＝4m 2＋4.

原点到直线l 的距离d ＝

11＋m 2， 所以S 1＝12×11＋m 2×4(m 2＋1)＝21＋m 2.

因为直线l ′过点(1,0)且l ′⊥l ，

所以S 2＝21＋⎝⎛⎭⎫1m 2＝21＋m 2m 2

. 所以1S 21＋1S 22＝14(1＋m 2)＋m 24(1＋m 2)＝14

. 即1S 21＋1S 22为定值14

. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

跟踪训练2 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．

(1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163

. 由余弦定理，得