隐函数和参数方程求导法

2 2
(1)
2 1 y yy xy 再对(1)式两端关于 x 求导：
2 2 x y 2 ( x y ) 将 y 代入上式有： y 3 . x y ( x y)
二. 参数函数求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y 与 x 间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数 .
dy 2a cos 2 sin a sin 2 cos 1 dx 2a cos 2 cos a sin 2 cos
4
2 2 法线斜率为1， 切点为 x( ) a , y( ) a 4 2 4 2 2 2 法线方程为: y a x a 2 2
§3 隐函数和参数方程求导法
隐函数求导 参数方程求导 导数的简单应用
一. 隐函数求导
定义: 由方程 F ( x , y ) 0 所确定的函数 y y( x )称 为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例
1. Kepler equation : y x sin y 0； 2. 求 x 2 y 2 R 2 ( R 0)所确定的隐函数 导数，并求它在 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线方程； 3. 求 y (sin x )cos x (sin x 0) 的导数.

x a( t sin t ), 求 y. 如 y a(1 cos t ). t t 2 sin cos dy sin t 2 2 cot t 2 t 2 dx 1 cos t 2 sin 2
d 2 y d dy dx ( ) 2 dx dt dx dt
然后利用参数方程求导法则。
例. 求螺线
在对应于 x r cos 解: 化为参数方程 y r sin
的点处的切线方程.
dy dy sin cos d d x dx cos sin d
M ( 0 , 当 时对应点 2 ), 2
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导 y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4


1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
故
dx 2 ( t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d x dt ( t 1)(1 cos y ) dx dt
x f (t ) dy 例3. ，其中 f 可导，且 f (0) 0， 求 ； 3t dx t 0 y f (e 1)
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
y
v0
vy
v vx
轨迹在t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映.
o x
1 2 (v 0 t sin gt ) dy v0 sin gt 2 dx (v 0 t cos ) v0 cos
dy dx
t t0
v 0 sin gt 0 . v 0 cos
注意： 1. 两端求导时，始终 y y( x );
2. 求导式充分简化表达式 。
来自百度文库
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 uv y v ln u y u uv v y u ( v ln u ) u
注意:
v v 1 y u ln u v v u u
1 1 X x ( y1 ), Y y1 . x1 x1
2 1
t x a (ln tan cos t ) 3. 证明曲线 2 y a sin t (a 0,0 t )上任一点处的切线与x 轴的 交点至切点的距离 (切线长)恒为常数；
证明: 设曲线上任一点( x1 , y1 ) ，过该点的切线方程为 ( t ) y1 y y1 ( t ) ( x x1 ( t )) ( t ) x1 ( t )( y y1( t )) y1 ( t )( x x1( t )) x1
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
x arcsin t dy 例1. ，求 ； 2 dx y ln(1 t )
dy y( t ) 解： dx x( t )
2t 2 2 2 t 1 t 1 t 1 1 t2 1 t2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5. x y , 求由方程确定的隐函数 y 的导数；
y x
x0 x1 y1 cot t x1 a cos t1
d ( x1 ( t ) x0 )2 y12 ( t )
( x1 ( t ) x1 ( t ) a cos t1 )2 a 2 sin2 t1
由复合函数及反函数的求导法则得。
x ( t ), 代表平面上一条曲线， 设 x ( t ) 的反函数为 y ( t ). t 1 ( x ), 并且设它满足反函数求 导法则(严格单调，连续 )
于是 y 看做复合函数 y (t ), t 1 ( x ), 则有
解:
两边取对数， y ln x x ln y 再求导
y x y ln x ln y y x y
y( x ln y y ) y . x( y ln x x )
e 例6. 求由方程 2 1所确定的隐函数 2 x y y y( x ) 的二阶导数。
解: 将方程化为： x 2 y 2 e
x t2 2t 例2. 设由方程 2 (0 1) 确定 t y sin y 1 dy 函数 y y( x )，求 ; dx
解: 方程组两边对 t 求导 , 得 dx d t 2t 2
dy dy cos y 2t 0 dt dt
arctan y x
arctan
y x
两端对 x 求导
2 x 2 yy x yy 2 2 2 x y x2 y2
e
arctan y x
xy y 2 y 2 x 1 ( ) x 1
xy y x yy xy y x y 2 x x y y x y
四. 导数的简单应用
1. 切线与法线问题 例1. 求曲线 a sin 2 在 处的切线方成 4 参数方程 极坐标方程 与法线方程；

解:
极坐标化为参数方程：
为参数，切线斜率为
x ( ) cos a sin 2 cos y ( ) sin a sin 2 sin
令 y 0, 得到切线与 x 轴交点的坐标为 : x( t ) y( t ) x( t ) y( t ) x ( t ) dx y ( t ) x0 1 1 dy y ( t )
x( t ) a cos t , sin t
2
dy tan t . y (t ) a cos t , dx
3t 3t f ( e 1 ) e 3 dy 解： f ( t ) dx
3 f ( 0 ) dy 3 f ( 0 ) dx t 0
x (t ) d2y 例4. ,求 2 ; dx y (t ) dy ( t ) 解： dx ( t ) 2 ( t ) d ( t ) dt d y d dy d dx 2 dx dx dx ( t ) dt ( t ) dx 1 ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 2 (t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 3 ( t ) 注意 : 已知
切线在 x, y 轴上的截距为：
1 所求面积为切线在 x , y 轴上的截距乘以 ，即 2 1 1 2 1 ( y )( x XY 1 1 y1 x1 ) 2 x1 2 1 x1 1 2 ( x y 1 ) ( y1 )( x1 y1 1) 1 1 2 2 x1
2

隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对 数，再求导。
( x 1)3 x 1 例4. 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解: 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
, 以初速度 v0 , 发射角 例5 不计空气的阻力 发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin gt , 2 求 (1)炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2)炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
解: (1) 在 t 0时刻的运动方向即
即 x y 0.

例2. 证明：双曲线 xy 1上任一点处的切线与两坐 标轴围成的三角形的面积等于常数；
证明: 求出切线方程及它在 x , y 轴上的截距，即可求 出面积. 任取 xy 1 上一点 ( x1 , y1 ), 1 过该点的切线斜率为 y x x0 2 x1 1 切线方程为：y y1 2 ( x x1 ) x1 x 1 y 2 ( y1 ) x1 x1
2 2 2 2 v 2 v gt sin g t0 v vx v2 y 0 0 0
三. 由极坐标确定的函数求导
dy 曲线方程为 ( ), 求 . dx
利用直角坐标与极坐标 关系给出曲线参数方程 ： x ( ) cos , y ( ) sin .
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
dx vx dt dy vy dt
t t0
(v 0 t cos ) t t 0 v0 cos 1 2 (v 0 t sin gt ) t t 0 v0 sin gt0 2
t t0
在 t0时刻炮弹的速度为