《两角和与差的余弦》解题方法归纳总结
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《两角和与差的余弦》解题方法归纳总结
学习目标
重点难点 重点：会利用两角和与差的余弦公式解决有 关的化简求值问题． 难点：用向量的数量积推导出两角差的余弦
公式．
新知初探思维启动
两角和与差的余弦公式 两角差 cos(α－β)＝ Cα－β 的余弦 cosαcosβ＋sinαsinβ _____________________ 公式 两角和 cos(α＋β)＝ C 的余弦 cosαcosβ－sinαsinβ _____________________ α＋β 公式
→ 提示：由于向量OA的起点为原点，所以向量 → OA的坐标就是点 A 的坐标，又因为点 A 在 角 α 的终边上且|OA|＝1，由任意角正弦、余 yA xA 弦函数的定义可知 sinα＝ ，cosα＝ .所以 1 1 → xA＝cosα，yA＝sinα，即OA＝(cBiblioteka Baidusα，sinα)， → 同理可求向量OB的坐标．
2
给值求角
例3 (本题满分 12 分 )已知 α、 β 均为锐角，
5 10 且 sinα＝ ， cos β＝ ，求 α－ β 的值． 5 10
【思路点拨】
本题主要考查两角差的余弦
公式的综合应用 . 可先求出 cos(α － β) 的值 , 结
合α－β的范围,进而求出α－β的值．
2 5 【解】 ∵ α、 β 均为锐角，∴ cos α＝ ， 5 3 10 sinβ＝ .(4 分 ) 10 ∴ cos(α－ β)＝ cos αcos β＋ sinαsinβ 2 5 10 5 3 10 2 ＝ × ＋ × ＝ .(8 分 ) 5 10 5 10 2 又 sinα＜sinβ， π ∴ 0＜ α＜ β＜ ， (10 分 ) 2
π 4 π 3π 2．已知 sin(α＋ )＝ ，且 ＜α＜ ，求 cosα 4 5 4 4 的值．
π 4 π 3π 解：∵ sin(α＋ )＝ ，且 ＜α＜ ， 4 5 4 4 π π ∴ ＜ α＋ ＜ π， 2 4
变式训练
π ∴ cos(α＋ )＝－ 4
π 1－ sin α＋ 4 42 3 ＝－ 1－ ＝－ ， 5 5 π π ∴ cosα＝ cos[(α＋ )－ ] 4 4 π π π π ＝ cos(α＋ )cos ＋sin(α＋ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
2
∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－α]＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin(α＋ β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
【名师点评】 拆分角时，应注意如下变换： α＝(α＋ β)－ β，α＝ β－(β－α)，α＝ (2α－ β)－ (α－ β)， 1 β＝ (2β－ α)－(β－α)， α＝ [(α＋ β)＋ (α－ β)]， 2 1 α＝ [(β＋ α)－ (β－α)]等． 2
3．cos(α－β)与cosα－cosβ相等吗？是否有相 等的情况？
提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下
也有相等的时候．例如，当取 α ＝ 0°， β ＝ 60°时，cos(0°－60°)＝cos0°－cos60°.
典题例证技法归纳
题型探究
运用公式求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos75° cos15° －sin255° sin15° ； (2)cos(x＋ 27° )cos(x－ 18° )＋sin(x＋ 27° )sin(x － 18° )； 4 π π (3)已知 cosα＝ ， α∈－ ， 0， 求 cos － α 5 2 3 的值．
做一做
1.cos32° cos28° － sin32° sin28° 的值为( 1 1 A. B. 2 3 3 3 C. D. 2 3
)
1 解析： 选 A.原式＝ cos(32° ＋ 28° )＝ cos60° ＝ . 2
想一想 2. 用向量法证明公式 Cα－ β 的过程中角 α、 β
的终边与单位圆分别相交于点 A、 B，向量 → → OA、OB的坐标是如何得到的？
解： (1)原式＝ cos40° cos70° ＋ sin70° sin40° ＝ cos(40° － 70° ) 3 ＝ cos(－ 30° )＝ ； 2 cos 15° － 8° －sin15° sin8° (2) 原 式 ＝ ＝ cos8° cos15° cos8° ＝ cos15°＝ cos(45°－ 30° )＝ cos8° 6＋ 2 cos45° cos30° ＋sin45° sin30° ＝ . 4
式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角
转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造 两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公 式求值．
变式训练
1．求下列各式的值． (1)cos40° cos70° ＋ cos20° cos50° ； cos7° － sin15° sin8° (2) . cos8°
给值求值
4 3 已知 α、 β 为锐角， 且 sinα＝ ， cos(α 7 11 ＋ β)＝－ ，求 cos β 的值． 14
例2
π 【解】 ∵ α， β 为锐角，即 0＜α＜ ， 2 π 0＜ β＜ ， 2 ∴ 0＜ α＋ β＜ π， 1 ∴ cosα＝ 1－ sin α＝ ， 7
2
5 3 sin(α＋ β)＝ 1－ cos α＋ β＝ . 14
∴ sinα＝－ 1－ cos α＝－ 3 － . 5
2
4 2 1－ ＝ 5
π π π ∴ cos － α ＝ cos cos α＋sin sinα 3 3 3 1 4 3 3 4－ 3 3 ＝ × － × ＝ . 2 5 2 5 10
【名师点评】
在利用两角和与差的余弦公
【解】
(1)cos75° cos15° － sin255° sin15°
＝ cos75° cos15° ＋ sin75° sin15° ＝ cos(75° － 15° ) 1 ＝ cos60° ＝ . 2 (2)原式＝ cos[(x＋ 27° )－ (x－ 18° )]＝ cos45° ＝ 2 . 2 4 π (3)∵ cos α＝ ， α∈－ ， 0 ， 5 2
学习目标
重点难点 重点：会利用两角和与差的余弦公式解决有 关的化简求值问题． 难点：用向量的数量积推导出两角差的余弦
公式．
新知初探思维启动
两角和与差的余弦公式 两角差 cos(α－β)＝ Cα－β 的余弦 cosαcosβ＋sinαsinβ _____________________ 公式 两角和 cos(α＋β)＝ C 的余弦 cosαcosβ－sinαsinβ _____________________ α＋β 公式
→ 提示：由于向量OA的起点为原点，所以向量 → OA的坐标就是点 A 的坐标，又因为点 A 在 角 α 的终边上且|OA|＝1，由任意角正弦、余 yA xA 弦函数的定义可知 sinα＝ ，cosα＝ .所以 1 1 → xA＝cosα，yA＝sinα，即OA＝(cBiblioteka Baidusα，sinα)， → 同理可求向量OB的坐标．
2
给值求角
例3 (本题满分 12 分 )已知 α、 β 均为锐角，
5 10 且 sinα＝ ， cos β＝ ，求 α－ β 的值． 5 10
【思路点拨】
本题主要考查两角差的余弦
公式的综合应用 . 可先求出 cos(α － β) 的值 , 结
合α－β的范围,进而求出α－β的值．
2 5 【解】 ∵ α、 β 均为锐角，∴ cos α＝ ， 5 3 10 sinβ＝ .(4 分 ) 10 ∴ cos(α－ β)＝ cos αcos β＋ sinαsinβ 2 5 10 5 3 10 2 ＝ × ＋ × ＝ .(8 分 ) 5 10 5 10 2 又 sinα＜sinβ， π ∴ 0＜ α＜ β＜ ， (10 分 ) 2
π 4 π 3π 2．已知 sin(α＋ )＝ ，且 ＜α＜ ，求 cosα 4 5 4 4 的值．
π 4 π 3π 解：∵ sin(α＋ )＝ ，且 ＜α＜ ， 4 5 4 4 π π ∴ ＜ α＋ ＜ π， 2 4
变式训练
π ∴ cos(α＋ )＝－ 4
π 1－ sin α＋ 4 42 3 ＝－ 1－ ＝－ ， 5 5 π π ∴ cosα＝ cos[(α＋ )－ ] 4 4 π π π π ＝ cos(α＋ )cos ＋sin(α＋ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
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∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－α]＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin(α＋ β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
【名师点评】 拆分角时，应注意如下变换： α＝(α＋ β)－ β，α＝ β－(β－α)，α＝ (2α－ β)－ (α－ β)， 1 β＝ (2β－ α)－(β－α)， α＝ [(α＋ β)＋ (α－ β)]， 2 1 α＝ [(β＋ α)－ (β－α)]等． 2
3．cos(α－β)与cosα－cosβ相等吗？是否有相 等的情况？
提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下
也有相等的时候．例如，当取 α ＝ 0°， β ＝ 60°时，cos(0°－60°)＝cos0°－cos60°.
典题例证技法归纳
题型探究
运用公式求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos75° cos15° －sin255° sin15° ； (2)cos(x＋ 27° )cos(x－ 18° )＋sin(x＋ 27° )sin(x － 18° )； 4 π π (3)已知 cosα＝ ， α∈－ ， 0， 求 cos － α 5 2 3 的值．
做一做
1.cos32° cos28° － sin32° sin28° 的值为( 1 1 A. B. 2 3 3 3 C. D. 2 3
)
1 解析： 选 A.原式＝ cos(32° ＋ 28° )＝ cos60° ＝ . 2
想一想 2. 用向量法证明公式 Cα－ β 的过程中角 α、 β
的终边与单位圆分别相交于点 A、 B，向量 → → OA、OB的坐标是如何得到的？
解： (1)原式＝ cos40° cos70° ＋ sin70° sin40° ＝ cos(40° － 70° ) 3 ＝ cos(－ 30° )＝ ； 2 cos 15° － 8° －sin15° sin8° (2) 原 式 ＝ ＝ cos8° cos15° cos8° ＝ cos15°＝ cos(45°－ 30° )＝ cos8° 6＋ 2 cos45° cos30° ＋sin45° sin30° ＝ . 4
式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角
转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造 两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公 式求值．
变式训练
1．求下列各式的值． (1)cos40° cos70° ＋ cos20° cos50° ； cos7° － sin15° sin8° (2) . cos8°
给值求值
4 3 已知 α、 β 为锐角， 且 sinα＝ ， cos(α 7 11 ＋ β)＝－ ，求 cos β 的值． 14
例2
π 【解】 ∵ α， β 为锐角，即 0＜α＜ ， 2 π 0＜ β＜ ， 2 ∴ 0＜ α＋ β＜ π， 1 ∴ cosα＝ 1－ sin α＝ ， 7
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5 3 sin(α＋ β)＝ 1－ cos α＋ β＝ . 14
∴ sinα＝－ 1－ cos α＝－ 3 － . 5
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4 2 1－ ＝ 5
π π π ∴ cos － α ＝ cos cos α＋sin sinα 3 3 3 1 4 3 3 4－ 3 3 ＝ × － × ＝ . 2 5 2 5 10
【名师点评】
在利用两角和与差的余弦公
【解】
(1)cos75° cos15° － sin255° sin15°
＝ cos75° cos15° ＋ sin75° sin15° ＝ cos(75° － 15° ) 1 ＝ cos60° ＝ . 2 (2)原式＝ cos[(x＋ 27° )－ (x－ 18° )]＝ cos45° ＝ 2 . 2 4 π (3)∵ cos α＝ ， α∈－ ， 0 ， 5 2