空间向量的垂直关系

uuur
uuur
BP (x+1, y,-1),且BP 平面ABC,
则x=_1__，
y=_-_1_, z=_-_1_.
2.若平面 ,且平面 的一个法向量为
n (2,1, 1) 则平面 的法向量可以是( C )
2
A.(1，1，1) B.(2，-1，0) C.(1,2,0) D.(1 ,1,2)
E (0，0，1 ), 2
uuur AA1
(0，0，1),
uuur AC
(2，2，0)
A1
E B
C1 Cy
uuuur AC1
(2，2，1),
uuur AE
(2，0，1 ) 2
ur
A x
设平u面r AuuAu1rC1C的一个法向ur 量uu为ur n1 (x1, y1, z1),
则由n1gAA1=0得z1 ur0;由n1gAC=0得-2x1 2 y1 0
A.l∥α B.l⊥α C.l与α斜交 D.无法判定
课前探究练习
3.若平面α与β的法向量分别是
u (4,0,2),v (1,0,2)
试判断平面α与β的位置关系．
垂直
z
例1：如图所示，在正方 D1
C1
体ABCD－A1B1C1D1中， A1 O为AC与BD的交点，G为
B1 G
CC1的中点，求证： (1) A1O⊥平面GBD
空间向量与垂直关系
课前探究练习
1.设直线a与b的一个方向向量分别是
r
r
a (1，1，2)，b x,1, 2，若
r a
r b
，则x
的值为( D )
A. 3 B.3
C. 5 D.5
课前探究练习
r
2.设直线l的一个方向向量为
r
a
(2，1， 3)，
平面α的法向量为 n (4, 2,6，) 则(B )
变式训练2: 在直三棱柱ABC-
B1
C1
A1B1C1,AB⊥BC,AB=BC=2，
A1 E
BB1=1，E为BB1的中点，求证平
B
C
面AEC1⊥平面AA1C1C
A
证明：如图所示，以B为原点，建立空间直角
z B1
坐标系B xyz，则A(2，0, 0), A1(2，0，1),C(0，2，0),
C1(0，2，1),
平面AEC1 平面AA1C1C
利用空间向量证明面面垂直的方法： (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直 问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问 题. (2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法 向量垂直，从而得到两个平面垂直.
反馈练习：
uuur
uuur
uuur uuur
1.已知AB (1,1,1), BC (0,1,z), 若AB BC,
z S
所在直线分别作x轴，y轴，z轴建立 P
空间直角坐标系.设DA=DC=DS=2
D
N
C
则A(2，0，0), P(0，0,1),C(0，2，0),
M
y
E
D(0，0，0), M (1，1，0), N (1，1，1)
A x
B
22
uuuuur
MN
(
1
,
1
uuuur
,1), PA
(2，0，-1),uPuuCur
D
C
A
O
y
B
x
(2)平面AOA1⊥平面GBD
证明：以D为坐标原点，DA、DC、DD 1
z D1
所在直线分别作x轴，y轴，z轴建立
A1
空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
C1 B1
G
则O(1，1，0), A1(2，0，2), G(0，2，1), B(2，2，0)
D
C
D(0，0，0)
y
uuur
uuur
令x1
1, 则y1
1， n1 =（1,1,
0） uur
设平u面ur AuEuuCur1的一个法向量为n2 (x2, yur2,uzu2ur),
则由n2 gAC1uu=r 0得-2x2
2 y2
ur
zu2ur
0;由n1 gAE =0得4x2
z2
令x2 1,则n2 =（1, -1，4）n1gn2 =1-1=0
24
2
本节课的主要内容：
1）空间中线线、线面、面面的垂直关系的向量表 示 2）利用向量坐标法处理线面、面面垂直关系。
作业：P112 第2题
uuuOrA1 (1，1，2), DB (2，2，0),
O
A
B
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x
DG (0，2，1)
r
设平面GBD的法向量为n=（x，y，z），
r uuur
r uuur 则n DB,
r n
uuur DG，
n r
•
DB=2x+2y=0 uuur
nr • DG=2y+z=0
即zx==--2yy
令y=1，则x=-1，z=-2 即n=（-1,1，-2）
uuur r
uuur r
OA1 -n, OA1 Pn A1O 平面GBD
变式训练1：在四棱锥
S
S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，
ABCD是正方形，SD=AB，AC P
与BD交于点E，点M、N、P分
别是DE、SB、SD的中点.
D M
N
C
求证：MN⊥平面PAC
A
E B
证明：以D为坐标原点，DA、DC、DS
(0，2，-1)
而uMuuNuur
uPuuC2ur=20+1-1=0，uMuuNuur
uuuur
PA=1+0-1=0
uuuuur
MN
uPuuCur，
uuuuur
MN
uPuuAur，
即MN PC，MN PA
而PAI PC P,且MN 平面PACMN 平面PAC
坐标法证明线面垂直的方法与步骤： （1）建系; （2）用坐标表示; （3）找向量间关系： ①直线的方向向量与平面的法向量平行 ②直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直 （4）说明结论