数学史部分4-1-古希腊数学1

1747年，Euler给出了一个62对的亲和数表.
5、证明并发现了5种正多面体：
正4， 6， 8， 12， 20面体
火 土 气 宇宙 水
6、正五边形和相似多边形的作图法，并研究了 黄金分割. 7、证明了 “三角形内角和等于两直角”. 8、最卓越的贡献——不可通约量的发现(希帕 索斯-Hippasus)，导致第一次数学危机.即边长 为1的正方形的对角线与边长的比不能表示为整 数或整数比的形式.
加n. 3.从1开始任何两个相继奇数之和是完全平方数.
n( 2n) 1 3 5 ... ( 2n 1) n2 2
4.任何长方形数都是一个三角形数的2倍.

（一）泰勒斯和爱奥尼亚学派(Ionian school) • 泰勒斯 Thales，约-624～-546，出生于米 利都(Miletus，土耳其)，爱奥尼亚学派的 创始人.“希腊哲学，科学之父”.
• 被尊称为“希腊七贤之首”
七贤：Thales，Solon，Chilon，Periander， Pittacus，Cleobulus，Bias
⒂、三角形面积公式
△=
s是的半周长，通常称为海伦公式.
⒃、正七边形作图法：Archmedes已经发现正 七边形的作图法，自然不是尺规作图，可惜 方法已经失传. ⒄、阿基米德公理：若有两个量a，b满足a＜ b，则一定存在一个自然数n，使na＞b .— —这是连续公理中重要公理之一.
结束语
• 历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏 缜密的推理，有的数学家偏重于逻辑证明，而 对新领域的开拓徘徊不前。阿基米德则二者兼 而有之，他将惊人的独创与严格的论证融为一 体，更善于将计算技巧与逻辑分析结合起来。 在严格性方面，实际上已超过了15－17世纪的 分析学家，他的理论比牛顿、莱布尼茨更加接 近柯西、外尔斯特拉斯的ε- δ方法，如阿基 米德公理及穷竭法的使用。只是因为没有强大 的生产需求和适宜的社会环境，而没有能够进 一步发展起来。
4、完全数与亲和数：
• 完全数：一个数=除它本身外的所有因子之和.
6=1+2+3, 完全数的相关性质：
28=1+2+4+7+14,
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 (1).完全数可写为连续自然数之和.
(2).完全数的全部正因子的倒数之和＝2.
(3).除6外，各个数位上的数码和＝1. (4).第n个完全数是一个n位数. (5).所有的完全数以6和8交替结尾.
Thales of Miletus
传说与轶事：
商旅活动； 炸油机的故事； 梭伦的故事 ； 言谈幽默并常含有哲理 ；
预测了-585年5月28日下午3点的日食 ；
泰勒斯的数学贡献： 1.开创了命题的几何证明 （1）直角都相等 （2）对顶角相等 （3）等腰三角形之底角相等 （4）直径等分圆周 （5）圆周角定理 （6）全等三角形的角边角定理 （7）内接于半圆的角必为直角 （8）两个相似三角形的对应边成比例 （9）三角形的内角和为180度
五、灿烂辉煌的古希腊数学：
• 杰出的数学家有：
Thales，Phthagoras，Plato，Eudoxus，
Aristotle，Euclid，Archimedes，Apollonius • 古希腊文明大体分为两个时期： （1） 古典时期的希腊数学（-6～-3世纪） （2）后希腊时期的数学——亚里山大里亚时期
火镜
阿基米德螺旋泵
-212年，叙拉古伦陷
墓碑上的墓志铭
世人的评价：
• 哈密顿(Hamilton) ：“谁不认为，Archimedes 的名声比他的战胜者马塞勒斯的名声高？” • 怀特海(Whitehead) ：“没有一个罗马人死于 对几何图形的沉思中.”
• 数学家哈代(Hardy)说：“Archimedes将被人们 记住，而哀斯奇勒斯（希腊悲剧诗人）将被遗忘， 因为语言会死，而数学思想则不.” • 伏尔泰（Voltaire）说：“Archimedes头脑中的 想象力，比荷马头脑中的要多.”
（-3～6世纪）
欧洲
马其顿
拜占庭
意大利
伊利亚 西西里 斯巴达 克洛吞
雅典 萨摩斯
波斯 帝国
米利都 大马士革
叙拉古 地中海 克里特 亚历山大
亚洲
耶路撒冷
非洲
尼 罗 河
埃及
这种方法可能比它以前的更简洁，但是 使用如此之多的不同符号，必然要给通常的 算术运算带来很大的困难。况且，它也模糊 了数字之间的简单关系，例如奇数和偶数之 间的区别。
（四）、阿基米德
Archimedes-287_-212
J.策策斯在《史书》 中有记载：“智者 阿基米德是叙拉古 人，著名的机械制 造者，终生研究几 何，活到75岁.” 被称为“数学之神.”
• 数学史家贝尔(Bell)说： “任何一张列出有史以来 三个最伟大数学家的名 单中，必定会包括阿基 米德，另外两位通常是 牛顿和高斯，不过以他 们的丰功伟绩和所处的 时代背景相比，还应首 推阿基米德.”
苏格拉底
主要成就：
1、坚持严密定义和逻辑证明，数学的科学化; 2、知道级数的很多重要性质； 3、阐明了负数的概念； 4、发展了分析的证明方法—分析法： 5、 n 1,2n , n 1 构成直角三角形；
2 2 2
6、几何学轨迹；
7、深信数学是抽象的概念.
Leabharlann Baidu
理念论
• 有四种圆： 1)被世人称为是圆的某种东西； 2)圆的定义：在任何方向上的边界点到中心的 距离都是相等的； 3)画出的一个圆，即旋转圆规所得到的圆； 4)实质性的圆，即圆的理念，它与其他圆的存 在密切相关，但又不同于任何其他的圆 • 他说，1).2).3)都是不完善的圆，许多具体 的数学圆其实介于这些不完善的圆与唯一的 圆的理念之间;4)才是唯一的圆的理念.
V外接圆柱；
④球缺,球冠,球心角体表面积及体积的研究；
⑧、圆的周长与直径之比小于 22 7 而大于
223
71
⑨、利用“穷竭法”研究椭圆,双曲面,抛物面 被一平面所截的体积,与“积分法”十分相似, 这是积分的早期来源之一.利用上,下界来确定 一个量的近似值,还提供了一个误差的估计. ⑩、旋转抛物体被垂直于轴的平面所截取的部 分的体积等于同底等高的圆锥体的3/2；
1、金冠之谜：
流体静力学第一定律:
物体在流体中减轻的重
量,等于排去流体的重
量.
2、“给我一个支点，
我可以移动地球.”
—杠杆定律
3、叙拉古保卫战： “布匿战争” -214年，罗马名将马塞勒斯率领大军围攻 叙拉古，Arcihmedes利用自己的发明为国效力， 由于Archimedes的防卫武器，叙拉古抵抗罗马 人的攻击，守了三年之久. （1）类似起重机的器械 （2）抛石机 （3）巨大的火镜 （4）叫”蝎子“的弩炮 （5）阿基米德螺旋泵
上帝用数来统治宇宙
(This is a detail from the fresco The School of Athens by Raphael)
• “四艺”：
算术——数的绝对理论， 几何学——静止的量， 音乐——数的应用， 球面学(天文学)——运动的量. 1.万物皆数： 万事万物都可以表示成整数及整数比的形式. 2.毕氏定理：
8、公理法的前身：
9、天文学
10、继承了毕达哥拉斯的“万物皆数”的观点
• 两种三角形,正方形的一半,等边三角形的一半
• Plato体
11、学园精英：
亚里士多德,欧多克斯,门奈赫莫斯,
泰特托斯,
欧几里德
12、主要著作：
35篇《对话》和13封书札.
《理想国》
13、数学美
14、传授数学的思想方法
（1）因材施教，倡导多层次的数学教育； （2）理智助产术—诱导和启发式的传授方式
• 《数沙器》The Sand-Reckoner • 《论圆锥线体和类球体》On Conoids and Spheroids
• 《圆的度量》Measurement of Circle
• 《平面图形的平衡及其重心》On the Equilibrium
of Planes or the Centres of Gravity of Planes
• 《论浮体》ON Floating Bodies
• 《引集论》Book of lammas
• 《牛群问题》The Cattle-Problem
5、主要成就：
①两点之间直线最短；②S球 = 4S大圆;
③V球 = 4V圆锥，V球 =2/3 ⑤用圆锥曲线解三次方程； ⑥圆的面积等于一个以其周长及半径作两份个 直角边的直角三角形的面积； S圆＝半径×半周长 ⑦圆面积：外切正方形面积之比为11:14；相当 于取π=22/7，
⑾、著名的阿基米德螺线—— r = aθ
• 结论：第一面积等于第一圆的１/3.
⑿、《平面图形的平衡及其重心》中的杠杆
定理：若两重物平衡，则所处的距离与重量
成反比.（公理法）
⒀、《数沙器》
• 以万为单位，建立新的记数法，使得任何大
的数都能够表示出来.
⒁、抛物线弓形面积等于同底等高的三角形
面积的4/3.
Raphael《Athens school》
Palto
Pythagoras
Euclid
• 历史：
• -323～-30年，亚历山大时期
• 世界学术的中心：
托勒密王国的都城－亚历山大里亚 • 藏书75万卷的图书馆 • 研究机构“艺神之宫” • -30年，亚历山大里亚并入罗马帝国版图 • 希腊数学的黄金时代（-300～-200） • 代表人物是三大几何学家： Euclid，Archimedes，Aollonius.
2
• 正方形数:1,4,9,16... 平方数可以看作从1起连续奇数之和
1 3 5 7 9 11 62
• •
3n n ,... 五边形数： 1,5,12,22,35,..., 2
2
六边形数： 1,6,15,28,45,...,2n2 n,...
关于数形有趣的定理： 1.任何一个正方形数都是两个相邻三角形数之和. 2.第n个五边形数等于第(n-1)个三角形数的三倍
9、代数恒等式：
10、音阶研究的鼻祖： 11、天文学：日、月、五星及其他天体都呈 球形，浮悬在太空中.
（三）、柏拉图及其 学园： 柏拉图（Plato）公 元前427年生于雅典， 公元前347年卒于雅 典，认识论、数学哲 学、数学教育.
• -479年，雅典的兴起 • 希波克拉底斯（Hippocrates，-470_-430） 以后的第一人. • 老师：苏格拉底（Socrate,-469_-399） • -387年，在雅典城建立了自己的学园. • 592年,教皇查士丁尼(Justinian)下令关闭. • “不懂几何者不得入内！” • 毕氏学派和亚历山大里亚学派之间的纽带.
1）在直角三角形斜边上 的正方形等于直角边上的 两个正方形； 2）直角三角形两个直角 边上的两个正方形面积之 和，等于斜边上正方形的 面积； 3）直角三角形斜边上的 长度的平方等于两个直角 边长度平方之和.
－Plato
3、形数： • 三角形数:1,3,6,10… n( n 1) 第n个三角形数为 1 2 3 ... n
(6).有无穷多个完全数. (7).Euclid给出的偶完全数公式
If 2n 1 is prime, then 2n1 (2n 1) is a perfect number.
• 亲和数：m和n，m等于n的因子之和，m等
于n的因子之和.
例如：220和284为亲和数
1636年，Fermat宣布17296和18416是亲和数.
2.利用金字塔的影长测量金 字塔的高度 （1）Thales在他的影子和他 自己一样长的时候记下金字 塔影子的长.
（2）Thales立下一根竿，然 后利用相似三角形 . 3.天文学：地球的形状，一 年约为365天.
（二）Pythagoras学派：
Pythagroas：-572__-497, 萨摩斯岛(Samos) 克伦吞（Crotona） Pythagroas学派
4、主要数学著作： • 数学阐述的典范，写得完整、简炼，显示出 巨大的创造性；计算计能和证明的严谨性.最 大贡献也许是某些积分方法的早期萌芽. • 《论球与圆柱》On the Sphere and Cylmder • 《论螺线》On Spirals • 《抛物线弓形面积求积法》
Quadrature of the Parabola