2016届原创§26 其他常见的特殊函数

f / ( x)dx f ( x) C
和差商积函数与复合函数的性质
1.和差商积函数的单调性： 同加不变；异减看前 2.复合函数的定义域： 内函数的值域是外函数的定义域 3.复合函数的单调性： 同增异减 4.复合函数的奇偶性： 全奇为奇,内偶则偶 5.复合函数的求导公式：
' ' ' f ( g ( h ( x ))) f ( g (h( x))) g (h( x)) h ( x)
g x x2 2 a 2 x a 2 8.
取大函数 H1 x max f x , g x 的图象是„„
故取大函数H1(x)的最小值
A f a 2 4a 4
x a2
x a2
f x x2 2 a 2 x a2
dx x C
x n 1
x
C (n 1)
1 ④ dx ln | x | C x
x a ⑥ a x dx C ln a
⑤ e dx e C ⑦ sin xdx cos x C
⑧
cos xdx sin x C
⑨ [af ( x) bg ( x)]dx a f ( x)dx b g ( x)dx ⑩ [ f ( x)dx]/ f ( x) ,
2 2 4 a ， a
a
2
， a
2
2a
2
， a 2
(2).(2014年天津)已知函数 f ( x) = x 2 + 3x , x∈R.若方程 f ( x) - a x - 1 = 0 恰有4个互异的实数根，则实数a 的 取值范围为__________. 数法1：根的分布„„ 形法2：＋ 一导本身即斜率
大作：
配凑法
反函数
一、概念：
一一对应是本质 单调必有反函数
二、图象及性质：
三反两同两公式 反者返也是明示
三、解析式：
一解二换三定义 指对互反是典范
§26
其他常见的特殊函数
一、绝对值函数： 二、取大及取小函数： 三、符号函数： 四、狄里克雷函数：
五、双曲函数：
六、取整函数： 七、抽象函数：
一、绝对值函数：
2
f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
1 1 A． 6 , 6
6 6 B． , 6 6
【A】
3 3 D. 3 , 3
C.
1 1 , 3 3
法2：数形结合
2 2 2 a ， a
1 2a 2 4a 2
故 A-B =－16
x a2
x a2
三、符号函数：
1 （ x > 0） 0 （ x = 0） －1 （ x < 0）
y
1
1
o
x
四、狄里克雷(Dirichlet)函数：
(x 为有理数)
(x 为无理数)
练习3.符号函数及狄里克雷函数：
1 , x>0 1 ,x为有理数 (5)(2012年福建)设 f(x)= 0 , x 0 ，g x 0 ,x为无理数 1 , x<0
2
f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
1 1 A． 6 , 6
6 6 B． , 6 6
C.
1 1 , 3 3
3 3 D. 3 , 3
法1：特值法„„
法2：数形结合„„
(1).(2014年湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 1 f ( x ) ( x a 2 x 2a 2 3a 2 ) .若 x R 当x≥0时，
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复合函数框套框 从外向内逐个导
一直框到纯字母 导后相乘剥洋葱
复合函数的解析式
1.已知内函数g(x)及外函数f(x)的解析式,求复合函数 f(g(x))的解析式： ——代入法
2.已知外函数f(x)及复合函数f(g(x))的解析式,求内函数 g(x)的解析式： ——方程法
3.已知内函数g(x)及复合函数f(g(x))的解析式,求外函数 f(x)的解析式： 小作：特值法 换元法 一设二解三代换 内函值域外定义 左框为准 右端配凑 整体代换 定义殿后
(1, 2) (2, 2)
(2, 2) (1, 2)
(3).解不等式
| x 1 | | x 1 | 1
法1：函数 y | x 1 | | x 1 | 的图像如下
(1, 2)
(1, 2)
1 ( , 1) 2
1 ( , 1) 2
y 1
1 1 x ( , ) 2 2
⑧ ( a b)
n
当n 2,3时，背诵之 当n 4时, 二项式定理
n
⑨ (a b) a b
n n
⑥
a a
n
m n
m
a n an ⑩ ( ) n b b
同底幂
异底幂
对数式的运算性质
① 零和负数没有对数 ② 单 个 对 数 式 的 特 殊 性 质
g x x2 2 a 2 x a 2 8.
取大函数H1(x)的最小值 A f a 2 4a 4
故取小函数H2(x)的最大值
B g a 2 4a 12
取小函数 H 2 x min f x , g x 的图象是„„
y f x
y g x
练习2.取大函数与取小函数：
(4) (2013年辽宁)
设 H1 x max f x , g x , H 2 x min f x , g x 记 H1 x 的最小值为A, H 2 x 的最大值为B,则A-B= A.16 B.-16 C. a 2 2a 16 D.a 2 2a 16
1. f (| x |)
2. | f ( x) | 保右右翻左 保上下翻上
f ( x) f ( x)
3. f ( x) k1 | x x1 | k2 | x x2 | k3 | x x3 | :五点四线法 练习1.绝对值函数： (1).(2014年湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 1 2 2 2 f ( x ) ( x a x 2 a 3 a ) .若 x R 当x≥0时，
log a n b n log a b
六个简单函数的求导公式：
①若 f x C, 则 f x 0
'
C 0
'
②若 f x x n , 则 f ' x nx n1 ③若 f x sin x, 则 f ' x cos x ④若 f x cos x, 则 f ' x sin x
f x x2 2 a 2 x a2
g x x2 2 a 2 x a 2 8.
x a2
x a2
现将两图像画到一块„„
解f(x)=g(x)得 x a 2
f x x2 2 a 2 x a2
x nx
n '
n 1
sin x cos x ' cos x sin x
'
⑤若 f x a , 则 f x a ln a
x ' x
特别地 若 f x e , 则 f x e
x '
x
a a e e
x '
x
ln a
(3).解不等式
| x 1 | | x 1 | 1
法2： 原不等式等价于
y | x 1 | | x 1 |
1 | x 1 | | x 1 | 1
(1, 2)
1 ( , 1) 2
(2, 2)
y 1 y 1
1 1 x ( , ) 2 2
1 ( , 1) 2
(2).(2014年天津)已知函数 f ( x) = x 2 + 3x , x∈R.若方程 f ( x) - a x - 1 = 0 恰有4个互异的实数根，则实数a 的 取值范围为__________. 显然 x≠1,故
形法3：用图靠自觉 好图是素质
x 2 + 3x 4 a= = ( x - 1) + +5 x- 1 ( x - 1)
则 f(g(π))= (A)1 (B)0 (C)-1 (D)π ∴选【B】 【C】
解: ∵ f(g(π))=f(0) =0
1 ,x为有理数 (6)(2012年福建)设函数 D x 0 ,x为无理数
则下列结论错误的是
(2, 2) (1, 2)
二、取大及取小函数：
1.取大函数： F x max f x , g x
y f x
y g x
二、取大及取小函数：
1.取大函数： F x max f x , g x 2.取小函数： G x min f x , g x
1.“定义域优先”是原则 2.有图就有一切
3.性质是研究函数的“捷径”
幂的运算性质
m n m n a a a ③
特殊幂 ① a 0
1 ② a
n
1 n a
n n ⑦ a b
(当n 2,3时，背诵之)
④ a mn a m a n
mn m n n m a ( a ) ( a ) ⑤
x '
x
1 ⑥若 f x log a x, 则f x x ln a
'
1 log a x x ln a
'
1 特别地 若 f x ln x, 则 f x x
'
1 ln x x
'
常见的不定积分公式
① ③
0dx C
x dx
n
x
②
n 1
(2， 4) (2， 4)
(3， 9) (1， 5) (11) ， x
(3， 9) (11) ，
x
由图可得
0 < a < 1或 a > 9
(3).解不等式 法1： y
| x 1 | | x 1 | 1
| x 1 | | x 1 |
y | x 1 | | x 1 |
⑥ log a M log a N log a ( MN )
M log a ⑦ log a M log a N N 两
log a 1 0
③ ④
log a a 1
log a x
(大同小异)
0
⑤
a
loga x
x
个 对 ⑧ log a M log M b log a b 数 特例：底真互倒对数互倒 式 的 log a b log b a 1 运 算 ⑨ log a M log M N log N a 性 质 n ⑩ log m b n log a b a m 特例：底真同方其值不变
已知函数 f x x2 2 a 2 x a 2 , g x x 2 2 a 2 x a 2 8.
( max p, q 表示p,q中的较大值, min p, q 表示p,q中的较小值 )
析：取大函数与取小函数；数形结合„„
§26
其他常见的特殊函数
一、绝对值函数： 二、取大及取小函数： 三、符号函数： 四、狄里克雷函数：
五、双曲函数：
六、取整函数： 七、抽象函数：
函数总述
三求一画 基本函数 反复讨论 一十有二
注①.三求： 函数的三要素：①定义域②解析式③值域 注②.一画：函数的图象 注③.反复讨论： ①反函数②复合函数③讨论性质 1°单调性； 2°奇偶性；3°周期性； 4°凸凹性 5°渐近性； 6°有界性；7°连续性 „„ 注④. 基本函数 一十有二： 1° 常值函数； 4° 对号函数； 7° 三次函数； 10°对数函数； 2° 正比函数； 3°反比函数 5° 一次函数； 6°二次函数 8° 幂函数 ； 9°指数函数 11°三角函数 ；12°绝对值函数