第6章第2讲 等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和

基础知识整合

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从01第2项起，每一项与它的前一项的02差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为03a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是04A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的05等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n ＝06a 1＋(n －1)d .

(2)前n 项和公式：S n ＝07na 1＋n (n －1)2d ＝08n (a 1＋a n )

2

.

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．

(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d .

(7)若等差数列的项数为

2n (n ∈N *)，则

S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n

a n ＋1

.

(8)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则

S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n

n －1(S 奇

＝na n ，

S 偶＝(n －1)a n )．

(9)若S m ＝n ，S n ＝m (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (10)由公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2

得S n n ＝a 1＋n －1

2d

＝d 2n ＋a 1－d

2，因此数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 1，公差为等差数列{a n }公

差的一半．

(11)等差数列与函数的关系

①a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

②S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n 的二次函数．数列{a n }是等差数

列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝( )

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

答案 D

解析 ⎩⎨⎧

a 3＋a 4＝12⇒2a 1＋5d ＝12，

d ＝2⇒a 1＝1，

∴a 9＝a 1＋8d ＝1＋16＝17.故选D.

2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )

A ．a n ＝2n －5

B ．a n ＝3n －10

C ．S n ＝2n 2

－8n

D ．S n ＝12n 2

－2n

答案 A

解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧

a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)

2×2＝n 2－4n .故选A.

3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．3

答案 B

解析 根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.故选B.

4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{a n }中，S 5＝25，a 2＝3，则a 7＝( ) A ．13 B ．12 C ．15 D ．14 答案 A 解析 ∵S 5＝

5(a 1＋a 5)

2

＝5a 3＝25，∴a 3＝5，又a 2＝3，∴d ＝a 3－a 2＝2，∴a 7＝a 3＋4d ＝5＋8＝13.故选A.

5．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.

答案 100

解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首

项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，

∴S 10＝10a 1＋10×9

2d ＝100.

6．(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．