《有限元法及应用》总结
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2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当 物 体 的 位 移 较 大 时 ,应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。 它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性 屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大 应变问题。
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3）非线性边界（接触问题）
在加工、密封、撞击等问Fra Baidu bibliotek中,接触和摩擦的作用不 可忽视，接触边界属于高度非线性边界。
平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、 轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结 构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非 线性边界条件。
实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性 问题。
12
*6.有限元的基础理论包括哪几部分？ 1.加权余量法 加权余量法:是指采用使余量的加权函数为零求得微
分方程近似解的方法称为加权余量法。（ W e i g h t e d residual method WRM） 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方 法。 显然,任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按 照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方 法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩 法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。
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线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的,所考虑 的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中， 材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律; 应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求 解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如 果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低 有限元分析的时间。
5
4.有限元法涉及的内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所依据的理论; 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性
和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
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5.有限元法的分类
有限元法可以分为两类,即线弹性有限元法和非线性有限 元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二 者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常 常要引用前者的某些结果。
再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成 为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。
3
有限元模型与有限元分析
有 限 元 模 型 :它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简 单形状的单元组成,单元之间通过节点连接，并承受一定 载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几 何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元 素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知 量的真实系统。
《有限元法及应用》总结
串讲
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1.有限元的作用是什么？ 1）减少模型试验的数量;
计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。
2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如:器官移 植,比如人造膝盖。
3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出更可靠、高品质的设计。
2
2.有限元的基本概念
有限元:通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个 单元来描述。
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处 相互连接的单元（子域）所构成,其模型给出基本 方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域） 可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以 它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特 性和复杂的边界条件。
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2. 里兹方法（续） • 对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到
与它相等效的变分原理以后,可以用来建立求近 似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从一 族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。 显然，近似解的精度与试探函数（形函数或试 函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性 质，那么可以通过选择反映此性质的试探函数 来改进近似解，提高近似解的精度。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性 动力学分析两方面。
8
非线性有限元
非线性问题与线弹性问题的区别: 1）非线性问题的方程是非线性的,一般需要迭代
求解; 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比
线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预 知性。
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2. 里兹方法
• 里兹方法:如果微分方程具有线性和自伴随的性 质,那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并 利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立 与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近 似求解方法。
• 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效 积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微 分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函 取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的 微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效 积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理 为自然变分原理。
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1）材料非线性问题
有限元求解非线性问题可分为以下三类: 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的,但应力与应变却很微小，此时应
变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于 从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料 的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性 材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局 限性。 在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包 括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
4
3.有限单元法的特点有哪些？
1）把连续体划分成有限个单元,把单元的交界结点（节点）作 为离散点;
2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起
对该法的理解。 4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性
质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组 合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分 析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善， 还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多 问题。） 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当 物 体 的 位 移 较 大 时 ,应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。 它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性 屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大 应变问题。
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3）非线性边界（接触问题）
在加工、密封、撞击等问Fra Baidu bibliotek中,接触和摩擦的作用不 可忽视，接触边界属于高度非线性边界。
平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、 轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结 构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非 线性边界条件。
实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性 问题。
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*6.有限元的基础理论包括哪几部分？ 1.加权余量法 加权余量法:是指采用使余量的加权函数为零求得微
分方程近似解的方法称为加权余量法。（ W e i g h t e d residual method WRM） 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方 法。 显然,任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按 照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方 法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩 法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。
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线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的,所考虑 的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中， 材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律; 应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求 解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如 果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低 有限元分析的时间。
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4.有限元法涉及的内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所依据的理论; 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性
和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
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5.有限元法的分类
有限元法可以分为两类,即线弹性有限元法和非线性有限 元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二 者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常 常要引用前者的某些结果。
再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成 为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。
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有限元模型与有限元分析
有 限 元 模 型 :它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简 单形状的单元组成,单元之间通过节点连接，并承受一定 载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几 何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元 素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知 量的真实系统。
《有限元法及应用》总结
串讲
1
1.有限元的作用是什么？ 1）减少模型试验的数量;
计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。
2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如:器官移 植,比如人造膝盖。
3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出更可靠、高品质的设计。
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2.有限元的基本概念
有限元:通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个 单元来描述。
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处 相互连接的单元（子域）所构成,其模型给出基本 方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域） 可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以 它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特 性和复杂的边界条件。
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2. 里兹方法（续） • 对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到
与它相等效的变分原理以后,可以用来建立求近 似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从一 族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。 显然，近似解的精度与试探函数（形函数或试 函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性 质，那么可以通过选择反映此性质的试探函数 来改进近似解，提高近似解的精度。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性 动力学分析两方面。
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非线性有限元
非线性问题与线弹性问题的区别: 1）非线性问题的方程是非线性的,一般需要迭代
求解; 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比
线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预 知性。
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2. 里兹方法
• 里兹方法:如果微分方程具有线性和自伴随的性 质,那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并 利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立 与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近 似求解方法。
• 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效 积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微 分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函 取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的 微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效 积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理 为自然变分原理。
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1）材料非线性问题
有限元求解非线性问题可分为以下三类: 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的,但应力与应变却很微小，此时应
变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于 从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料 的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性 材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局 限性。 在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包 括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
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3.有限单元法的特点有哪些？
1）把连续体划分成有限个单元,把单元的交界结点（节点）作 为离散点;
2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起
对该法的理解。 4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性
质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组 合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分 析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善， 还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多 问题。） 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。