第三章_抛物型方程的有限差分法(1)

2
1 1 ek ek j j
a
fj
k
k e k 用 ekj u j u j 表示相应节点处差分解的误差，则 j 满足
2
a
h2
以上是误差传播方程。设误差只在初始层的原点(j=0)发生，
0 1 即 e j j 0 ( 0, 00 1, j 0 0,当j 0 ） ， e j 0 ，而在以后的
u 2u a 2 f ( x), t x 0t T
(1)
其中 a 是正常数，f(x)是给定的连续函数。 x 称作空间变量，
t 称作时间变量。
（1)的定解问题有以下几类： 初值问题(也称 Cauchy 问题)：求函数 u(x,t)，满足方程(1) 和初始条件：
u( x,0) ( x), x
k1
a u ( x j 1,tk ) 2u ( x j ,tk ) u ( x j 1,tk ) [ 2 h2 u ( x j 1,tk 1 ) 2u ( x j ,tk 1 ) u ( x j 1,tk 1 ) k1 2 ] [ u au ] t xx j 2 h
1
k 1 j
1
占优且是三对角的，方程总是可解的，可采用追赶法 求得方程的解。 截断误差：
1 Rk j (u ) Lh u ( x j , t k 1 ) Lu ( x j , t k 1 )
u ( x j 1,tk 1 ) 2u ( x j ,tk 1 ) u ( x j 1,tk 1 ) u ( x j , tk 1 ) u ( x j , tk ) k 1 a ut au xx j 2 h ut au xx j
h2
fj
(7)
计算格式
1 k k k 1 uk 2r (u k 2 f j . j j 1 2u j u j 1 ) u j
(8）
Richardson 格式是三层的显格式，其网点分布：
k 1
k
k 1
Richardson 格式的计算：由初值和边值，先利用前述 的二层差分格式计算出 u j （为保证精度建议用 C-N 格式） ，然后由初值 u j 、边值和 u j ，利用 Richardson 格式实行逐层计算。
k k 计 算 出 第 一 层 的 值 u1j ， u0 uN 0, 利 用 方 程 (4)1 k k 1 j=1,2,…,N-1； （2） 取 k=1,由 u j 和边值 u0 uN 0, 利用方
计算出第二层的值 u j ； 程 (4)1 （3）…
2
显格式：方程中仅有一个待求未知量的差分格式。差分
二、
几个古典差分格式的建立和定解条件的处理
（考虑初边值问题求解的有限差分法）
矩形网格剖分： 用两族平行直线 x x j jh( j 0,1,, N ) 和
t tk k (k 0,1,, M ) 将 矩 形 域 G 0 x l;0 t T 分
割成矩形网格，网格节点为 ( x j , tk ) .空间步长 h l / N ，时间 步长 T / M ，其中 N,M 都是正整数。
(6)1
计算方式：利用 u j 和边值便可逐层求到 u j 。因 C-N 格式是一隐格式，由第 k 层计算第(k+1)层时需解线 性代数方程(因系数严格对角占优，方程组可惟一求 解)。其涉及的网点分布如下：
0
k
。 。
j-1 j
。 。
。 。
j+1
k+1 k
C-N 格式的截断误差：
R j 2 (u )
课件制作者：冯仁忠
第三章 抛物型方程的有限差分法
定常的(驻定的):椭圆方程 偏微分方程 非定常的(非驻定的):抛物方程、双曲方程
抛物型偏微分方程描述热的传导过程、气体扩散现象、 液体渗漏和电磁场的传播等物理现象。这类方程中最典型与 最简单的就是热传导方程。
一、 抛物型方程的定解问题
考虑一维热传导方程：
j 1,, N 1
(5)1
k 1
k
图 2 向后差分格式的网点布局 隐格式：差分方程中含有一个以上待求未知解的差分
格式。向后差分格式就是一个隐格式。
k 计算过程：假定 u j 的值已算出，由线性代数方程
组 (5) 算出 u 的值。 (5) 左端系数矩阵严格对角
k k
2
k j
k
2 a 2a 4 ut au xx j u h u u tt xxxx ttt 2 12 6 6! h u xxxxxx j ut au xx j j k h 2a 4 1 1 12 r 2 utt 12 f ( x j ) 6 uttt 6! h u xxxxxx
2 其中 j=1,2,…,N-1,k=0,1,2,…,M-1.以 r a / h 表示网比。
向前差分格式的计算形式：
1 k k uk ru k j j 1 (1 2r )u j ru j 1 f j
(4)1
k 1
k
图1 向前差分格式所涉及的网点分布
计算过程： （ 1 ） 取 k=0, 由 初 值 u 0 j j (xj ) 和 边 值
(6)1 (6)2
k k u0 j j ( x j ), u0 uN 0,
C-N 格式的计算形式：
1 r k 1 r k 1 2 u j 1 (1 r )u k 2 u j 1 j r k r k 2 u j 1 (1 r )u k j 2 u j 1 f j , j 1, , N 1
2 2


k
j
2 2 2 1 1 12 r 2 utt O ( h ) O ( h )
（二） 向后差分格式
1 uk uk j j

a
1 k 1 1 uk uk j 1 2u j j 1
h
2
fj,
f j f (x j )
(5)1 (5)2
k 1 j

（三） 六点对称格式 (Crank-Nicolson 格式 (1947) ，简称 C-N 格式) 将向前差分格式和向后差分格式作算术平均， 便得 C-N 格式：
1 uk uk j j

1 k 1 1 k k uk uk uk j 1 2u j j 1 j 1 2u j u j 1 fj, 2 2 h h a 2
2 2 1 12 h u uttt xxxx k1 2 j
u ( x j , tk 1 ) u ( x j , tk )

O( 2 h 2 )
（四）Richardson 格式 逼近格式
1 1 uk uk j j
2
a
k k uk j 1 2u j u j 1
k k u0 j j ( x j ), u0 uN 0,
其中 j=1,2,…,N-1,k=0,1,2,…,M-1. 向后差分格式的计算形式：
1 k 1 1 k ru k ru k j 1 (1 2r )u j j 1 u j f j ,
计算中都是精确的，则初始误差的传播情况如下表。
从表中看出，误差随 k 无限增长，格式不稳定。表中的 计算是就 r=1/2 进行的，实际上对任何 r>0 都有类似现象， 所以 Richardson 格式是绝对不稳定的。 向前差分格式的稳定性：首先取 r=1/2，则误差方 程
1 k k 1 ek ( e e j j 1 j 1 ) 2
四、 差分格式的稳定性数值实验
从前面各格式的计算过程分析可以看出：抛物型方程问 题的差分格式，在实际应用时，都取逐层计算的形式，如果 某层上出现误差，必然逐层传播，影响以后各层的计算。研 究这个误差传播的规律，就是稳定性研究的问题。 Richardson 格式的稳定性： 假定边界值和右端 f i 的计 算是精确的。用 u j 表示精确计算（在初始层和其它各层的计 算过程中都没有误差产生）所得差分解，其满足差分方程
就是一显格式。 方程 (4)1
截断误差：
Rk j (u ) Lh u ( x j , t k ) Lu ( x j , tk ) u ( x j 1,tk ) 2u ( x j ,tk ) u ( x j 1,tk ) u ( x j , tk 1 ) u ( x j , tk ) a h2 ut au xx j
t
t3 3
t2 2
t1
O
1
2
3 4
N
l
x
uk j 表示定义于网点 ( x j , tk ) 上的网函数
（一） 向前差分格式
1 uk uk j j

a
k k uk j 1 2u j u j 1
h2
fj,
f j f (x j )
(4)1 (4)2
k k u0 j j ( x j ), u0 uN 0,
(2)
初边值问题（也称混合问题） ：求函数 u(x,t),满足方程(1) 和初始条件：
u( x,0) ( x),
及边值条件
0 xl
0 t T .
(3)1
u(0, t ) u(l , t ) 0,
(3)2
假定 f ( x) 和 ( x) 在相应区域光滑，并且在 x 0, l 满足相容 条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。
k 0 1 2
j
-4 0 0 0
-3 0 0 0
-2 0 0 0.25
-1 0 0.5ε 0
0
1 0 0.5ε 0
2 0 0 0.25
3 0 0 0
4 0 0 0
ε
0 0.5ε
ε
3 0 0.125 0 0.375 0 0.375
1 1 uk uk j j k k uk j 1 2u j u j 1
k
2
k
1 1 k k u u j j
a
h2 k k k u j 1 2u j u j 1 h2
k k ek j 1 2e j e j 1
fj
j 表示含有误差的差分解，其满足差分方程 用u
k 2 2 截断误差： R j (u) O( h ) 。
1
0
1
三、差分格式的实用性标准
计算简单 显格式 计算简单 隐格式 相对复杂 收敛性和收敛速度
k 当 r 固定， h 0 ， u j u x j , t k 。截断误差 R kj (u) 的
无穷小阶反映了差分解的精度。 稳定性 格式可控制初始数据误差和舍入误差在计算中的传 播

பைடு நூலகம்
k 1
2 a 2a 4 2 u tt 12 h u xxxx j 6 uttt 6! h u xxxxxx j ut au xx
2 2 2
k 1
k 1

h 2a 4 1 1 12 r 2 utt ( x j , t k 1 ) 12 f ( x j ) 6 uttt 6! h u xxxxxx 2 2 2 1 1 12 r 2 utt O ( h ) O ( h )
k
t u ( x j , tk )
1 2
x2u ( x j , tk )
h2

u ( x j , tk 1 ) u ( x j , tk )

1 u u t tt 2 6 uttt
2
k j
2 1 2 4 u h u h u xxxxxx xx xxxx 12 6!