运输问题模型与算法

i 1,2, , m 产地约束 j 1,2, , n 销量约束
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。 由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立， 因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个.
例1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所 示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
4 运输问题—数学模型及其解法
4.1运输问题数学模型 4.2 运输问题的求解方法 4.3 对解进行检验及改进
4.4 运输问题的进一步讨论 4.5 应用问题举例
P&T 公司的配送问题案例
CANNERY 1 Bellingham
CANNERY 2 Eugene WAREHOUSE 2 Salt Lake City WAREHOUSE 1 Sacramento
间的距离（或单位运价）如下表所示，各仓库的存量和使用地的需要量 也都表示于下表中，试建立使总运输费用最小的运输问题数学模型。用 前面讲的三种方法分别求可行解
表1
销地
产地
B1
A1 A2 A3
B2 4 12
B3 4
B3 11
产量
16 10 22
2
8
10
5
3
11
9
6
销量
8
14
12
14
用上面的三种求下列运输问题的解 用西北角法求的可行解 表2
闭回路法；位势法
运输表中的格子是空的,则代表是非基变量.若 存在非基变量的检验数小于零,说明得到的解不 是最优解！
4.3.1利用闭回路法检验分配方案是否最优 检验用最小元素法求的可行解（下表）是否最优
表3
销地 产地
B1
A1 A2 A3
B2 4 12 10
B3 4 6
B3 11
产量
16 10 22
8
销地 产地
B1
A1 A2 A3
B2 4 8 12
B3 4
B3 11
产量
8
16 10 22
2 6
8
10 4
5 8
3
11 14
9
6
销量
8
14
12
14
用上面的三种求下列运输问题的解 用最小元素法求的可行解 表3
销地 产地
B1
A1 A2 A3
B2 4 12 10
B3 4 6
B3 11
产量
16 10 22
8
20
I
11 9 7
(3) 10 4
6 2 1 3 3
x 13 12 12
5 10 15
5 18
12
编号
运费表{w ij }
分配表{x ij }
采用最小 费用优先 分配的原 则
20
II
11 9 7
3 10 (4)
6 2 1 3 3
5 x 33 12 12 12
5 10 15
5 18
编号
运费表{w ij }
Salt Lake City
Rapid City
Albuquerque
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea $464 352 995 $513 416 682 $654 690 388 $867 791 685
总的运输成本= 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690) + 15($388) + 85($685) = $165,595
运输问题的特点



供应/需求假设 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都 必须配送到目的地。 每一个目的地都有一个固定得需求量，整个需求量都必 须由出发地满足。 可行解的特性 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题 才有可行解。 成本假设 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和 所配送的数量成线性比例关系。 这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）

所有结构的约束条件是等式约束 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题的解




解满足所有的约束条件; 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关; 解中非零变量Xij的个数不能大于(m+n-1)个; 为使迭代求解顺利进行,基变量的个数在迭代过 程中保持为(m+n-1)个; 基变量的个数远小于决策变量的个数.

从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
(ai i 行已分配出的总量) i 行尚余物资量 xij min (b j j 列已分配到的总量) j 列待分物资量
销地 产量 1 2 3 4
例2
运费 产地 1 2 3 销量 b j
ai 5 10 15
5 10 15
分配表 {x ij }
5 18 13
20
编号
运费表 {w ij }
II
5 18 13
编号
运费表 {w ij }
分配表 {x ij }
20
III
11 9 7 4
3 10 4 1
6 2 1 5
3 7 3 3 3 3 12 7 5 12
5 10 15
5 18 13
编号
运费表 {w ij }
分配表{x ij }
20
IV
11 9 7 -
3 10 4 -
6 2 1 5
8 7 3 3 3 3 3
5 7 12 7 5 12
5 10 15
5 18 13
f(x)=98，比 最低费用法 又低了23
用上面的三种表上作业法，求下列运输问题的解
某种物品先放在A1、A2和A3三个仓库中，再运往使用地B1、B2、B3和B4，其
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
解： 表：
产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量
B1 A1 A2 销量 x 11 x 21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
平衡运输问题数学模型特点


1 1
运输问题有有限最优解 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
m行
n行

每个变量Xij对应的矩阵列中,除第i个元素和第m+j个 元素为1外,其余元素为零.每行有n个1，其余为0。
WAREHOUSE 3 Rapid City
CANNERY 3 Albert Lea
WAREHOUSE 4 Albuquerque
Figure 1 Location of the canneries and warehouses for the P&T Company problem.
运输数据
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea Total Output 75 truckloads 125 truckloads 100 truckloads 300 truckloads Warehouse Sacramento Salt Lake City Rapid City Albuquerque Total Allocation 80 truckloads 65 truckloads 70 truckloads 85 truckloads 300 truckloads
352
( E ug e n e ) 12 5 S2
416 791 682 388 685
D4 85 ( A l bu qu e r q ue )
690
D3 70 ( R a p id C it y)
995
( A lb e r t L e a10 0 ) S3
4.1 运输问题的一般数学模型

有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物 资 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn 表示各销地的销量，ai=bj 称为产销平衡



采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次 最小之间的差额中选最大)优先分配的原则。
编号 运费表{w ij } 分配表{x ij }
20
I
11 9 7 2
11 9 7 2
3 10 4 1
3 10 4 1
6 2 1 1
6 2 1 1
3 3 3 3 3
3 7 3 3 3 3 12 7 12
5 10 15 3 12 12
20 5 18 3
11 9 7 3
3 10 4 12
6 2 1 12
例4.2.1 西北角法
销地 销地 销地 运量 运量 运量 产地 产地 产地 1 1 1 2 2 2 3 3 3 销量 销量 b j 销量 b j
mn 7
1 1
1
2 2
2
3 3
3
44
4
产量 产量 产量
a aa ii i
i
3 3 3
分配表{x ij }
20
III
11
3
6 3 3 3 3
5 4 3 12 12 12
5 10 15
5 18
9 (10) 2 7 4 1
f(x)=121， 费用比 西北角法 低 84
3、运费差额法（沃格尔法-Volge）

最小元素法初看十分合理。但是，有时按某一最小 单位运价优先安排物品调运时，却可能导致对其它 代销点配送时费用更高，从而使总费用增加。 对每一个供销地或销售地，均可由它到各销售地或 各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单 位运价，并称这两个单位运价之差为该供应地或销 售地的罚数。 若罚数的值不大，当不能按最小单位运价安排运输 时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大， 不按最小运价组织运输就会造成很大的损失，故应 尽量按最小单位运价安排运输。
网络表示
S upp lie s D e m a nd s
D e st ina tio ns S ou r c e s D1 80 ( S a c r a m e n to )
464
( B e lli ngh a m ) 75 S1
513 867 654
D2 65 ( S a lt L a ke C it y)
目前的运输计划
Warehouse
From
\ To
Sacramento
Salt Lake City
Rapid City
Albuquerque
Cannery
Bellingham 75 0 0 0
Eugene
Albert Lea
5
0
65
0
55
15
0
85
卡车的运输成本
Warehouse
From
\ To Sacramento
2
8 14
10 2
5
3
11 8
Hale Waihona Puke Baidu
9
6
销量
8
14
12
14
用上面的三种求下列运输问题的解 用沃尔格法求的可行解
表4
销地 产地
B1
A1 A2 A3
B2 4 12 12
B3 4 4
B3 11
产量
16 10 22
8
2
8 14
10
5
3 2
11 8
9
6
销量
8
14
12
14
4.3 对解的可行性进行检验
运输问题常用的解检验方法有2种：
2
8 14
10 2
5
3
11 8
9
6
销量
8
14
12
14
4.3.1利用闭回路法检验分配方案是否最优

运量表中的空格中无数字，表示该空格所对应的变量为 非基变量。
判断运输问题的解是否是最优解，可以参照单纯形法， 非基变量的检验数是否均大于等于0。 如何计算检验数？ 某一非基变量值调整为1个单位，为保证供需平衡，闭回 路（除1 个非基变量外，其它顶点上均为基变量）上的 基变量值做相应的调整，由此而出现的运费变化值为检 验数。 闭回路形式有：
2 2 x2 12 1 1 1
3 3
x1 22
3
3 3
3
5 55 9 10 9 10 x9 10 23 3 33 15 3 x12 15 x 33 15 12 12 12 12
12 12
f ( x) cij xij 205
i 1 j 1 3 4
有6个基变量
2、最低费用法
编号 运费表{w ij } 分配表{x ij }
4.2 运输问题的求解方法

采用表上作业法，称为位势法 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
运费表
销地
分配表
n
运费 产地 1 2 m
1
2
c 11 c 12 c 21 c 22

c 1n c 2n
c m1 c m2 c mn
寻找初始可行解的方法 1、西北角法


设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对 应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如 下：
min f ( x) cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai jm1 xij b j i 1 xij 0