学习情境七 压杆稳定

不稳定平衡
微小扰动就使小球 远离原来的平衡位置
Pcr 称为临界压力
临界状态：从稳定平衡过度到不稳定平衡的特定状
态称 为临界状态。
临界力：临界状态下作用的压力 Pcr 称为临界力。 它是判别压杆否会失稳的重要指标。
当P<Pcr时，平衡是稳定的；P>Pcr 时，平衡
是不稳定的。
二、 临界力的欧拉公式
工 桥的倒塌，75名施工工人丧生。 程 ③1925年原苏联的莫兹尔桥 实 ④1940年美国的塔科马桥 例
从桥梁实例，我们知道桁架结构当中的杆件都属于轴向
拉压杆件，根据我们前面所学的知识，对于轴向拉压杆件尺
寸应该按照前面轴向拉压杆的强度条件 max

Nmax A


工 进行设计，但是对于这些杆件我们进行轴向拉压强度校核 程 实 是不够的，还必须要考虑稳定性的问题，这就是我们本单元 例 要学习的知识。
F
l
压杆的柔度λ综合反映了杆长、约束条件、截面形状和 尺寸对临界力的影响；柔度λ越大，表示压杆越细长，其临 界力越小，压杆越容易失稳。
欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在弹性条件下推导出来的，因此临界应力
σcr不应超过材料的比例极限σP
cr

2E 2
P
由上式可得，使临界应力公式成立的柔度条件为
条件，即：
K

Pcr P

KW
2.折减系数法


P A

cr

式中：P—压杆实际承受的工作压力。
A—压杆的横截面积。
—折减系数，其值小于1，它与压杆
的柔度有关，随着柔度的增加而减少。 （可查表7-2-1P190）
二、提高压杆稳定性的措施
Pcr

2 EI
l 2
Pcr 越大， 杆件稳定性越好
对杆系受力分析，得
N AB
2P 2
N BD P
故杆系所能承受的最大载荷
2EI 3Ed4
Pmax Pcr 2a 2 128a 2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
2EI
Pcr a 2
对杆系受力分析，得
N AB
2P 2
P 2N AB
故杆系所能承受的最大载荷：
学习情境七 细长压杆的稳定性分析
一、压杆稳定的概念 二、临界力的欧拉公式 三、压杆的稳定计算
南京长江大桥——跨越长江的公路铁路两用钢桁架桥。上层为公路，
行车道宽15m。下层为双线铁路。正桥有10孔，共长1576m。正桥为 公路铁 双层钢连续桁梁桥，上层为四车道公路桥，下层为双线铁路桥。
轴向拉压杆件
4
A
100 1 0.82 32mm
4
l 1 3.5 110 i 32 103
系数表
100 110 120 0.604 0.536 0.466
2m
3m
C
D
130 140 0.401 0.349
P
B h
0.536
（3）求结构的许可荷载


N A

2 3Ed4 Pmax 2 Pcr 64a 2
例：如图所示立柱CD，高h=3.5m，其空心圆截面的外径
D=100mm，d=80mm，材料的许用应力 =160MPa，
试按稳定条件求结构的许可荷载。
解：（1）求立柱的受力
NCD=2.5P
90
0.699
（2）求立柱的柔度
i D 12
p
cr a b
cr

2E 2
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
s

a
s
b
P
2E P
l
i
学习任务二 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定条件
1.安全系数法：
P
Pcr Kw
Pcr
式中：P——压杆的工作压力
Pcr——压杆的临界力 KW——设计要求的稳定安全系数 [Pcr]——压杆的容许临界力 另外工程实际中，还常用安全系数来表示稳定
(1) 减小压杆的长度； (2) 改善杆端支承； (3) 选择合理的截面形状； (4) 选择适当的材料； (5) 改善结构受力情况。
•减小压杆长度 l
•减小长度系数μ（增强约束）
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
•增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
2EI Fcr (l)2
工 程 实 例
九江长江大桥——跨越长江的公铁两用（4车道加双线）桥。主跨216
米，为中国当时铁路钢桥跨度之最。钢梁设双层桥面，上层公路下层铁路
一
轴向拉压杆件
工
程
实
例
历史上曾发生的因压杆失稳而导致的重大事故：
①1891年瑞士一座长42m的桥，当列车通过时，因结构失稳 而坍塌，造成200多人死亡。 ②1907年加拿大魁北克省圣劳伦斯河上的钢结构大桥，在施 工中，由于桁架中一根受压弦杆的突然失稳，造成了整个大
E P P
压杆的临界应力总图
压杆按其柔度值可分为三类，分别应用不同的公式计算临界应力
1、细长杆（λ≥λP），应用欧拉公式
σ cr

π2E λ2
2、中长杆（ λS ≤λ＜ λP)，应用经验公式
σcr=a-bλ
3、粗短杆(λ＜ λS），应用强度条件计算。
σcr=σs
cr s cr s

2.5P
D2 d
2


4
P D2 d 2
4 2.5
练习：图示一端固定，一端铰支的细长压杆，其弹性模 量E=206GPa，试计算压杆的临界力。 （1）圆形截面，直径d=20mm，长度l=2m； （2）矩形截面，h=60mm，b=30mm，长度l=2m。
学习任务一 压杆稳定的临界力计算
压杆：受轴向压力的直杆叫做压杆。 失稳：在一定轴向压力作用下，细长直杆突然丧失
原有直线平衡形态的现象叫做压杆失去稳定性， 简称失稳，又称屈曲。
压杆的稳定性：细长压杆在轴向力作用下保持 其原有直线平衡状态的能力。
平衡分为两种：
P＜Pcr
P＞Pcr
稳定平衡
微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
中柔度杆 cr a b
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成平面正 方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。 求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最 大载荷。
解: (a) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
2EI 2EI
Pcr
2
2a

2a 2
Pcr

2EI
l 2
式中： E——材料的弹性摸量；
I l————杆杆件的横长截度面，的l最称小为惯计性算矩长；度；
μ——长度系数，它与压杆两端的约束条件
有பைடு நூலகம்。
两端铰支杆： μ=1
一端固定， 一端自由杆：
μ=2
一端固定， 一端铰支杆：
μ=0.7
两端固定杆： μ=0.5
例题9-1
解： 截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
二、欧拉公式的应用范围 1、临界应力与柔度
临界压力
2 EI Pcr ( μl )2
惯性半径 i I
A
临界应力
cr

Pcr A
2 E I
( μl )2 A
2 E
( μl )2 i
令λ μl i
σ cr

π2E λ2
λ——称为柔度