高中数学必修2《圆的标准方程》教案

【教案设计】

课题：《圆的标准方程》

教材：普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2 §4.1.1

一、教学目标：

(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；

②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据不同条件写出

圆的标准方程；

③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.

(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；

③增强学生用数学的意识.

(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

二、教学重点、难点

(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.

(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

三、教学方法与手段

1.教学方法采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入.

2.教学手段多媒体课件进行辅助教学.

四、教学过程

整个教学过程是由八个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：

创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举

例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申

（一）创设情境——启迪思维

问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

通过对这个实际问题的探究，根据半圆的对称性建立平面直角坐标系,构建数学模型.把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程求D点的纵坐标来解决．同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题．

【设计意图】用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.

通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.

（二）深入探究——获得新知

问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

2．如果圆心为(,)a b ，半径为时圆的方程又如何呢？

这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，由勾股定理

得到圆心在原点、半径为4的圆的标准方程222

4x y +=后，

引导学生归纳出圆心在原点、半径为r 的圆的标准方程222x y r +=.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探

究.我预设了三种种方法等待着学生的探究结果，分别是：

坐标法、勾股定理法、图形变换法.

坐标法：引导学生根据圆的定义，圆上的点到圆心的距离等于常数,即两点距离公式推导圆心不在原点的标准方程.

推导过程：圆是这样一些点的集合P=｛M|︱MC ︱=r ｝

已知圆心Ｃ(,)a b 半径r

根据两点间的距离公式，圆上任意一点M 的坐标（x, y ）

r = 化简，得到圆的标准方程()()222x a y b r -+-=

图形变换法:借助多媒体的演示,让学生体会平移的过程，让学生了解利用图像平移的知识也可推导圆心不在坐标原点的标准方程.

得出圆的标准方程后,我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节..

（三）应用举例——巩固提高

I ．直接应用 内化新知

问题三 1．写出下列各圆的标准方程：

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,3).

2．写出圆22(2)36x y ++=的圆心坐标和半径.

我设计了两个比较简单的小问题，可以安排学生口答完成.

【设计意图】目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为形成待定系数法求圆的标准方程打下基础,并为后续探究圆的切线问题作准备.

II ．灵活应用 提升能力

问题四 求过原点O 和点P(1,1)，且圆心在直

线l:231

0x y ++=上的圆的标准方程.

设计这一题难度明显增大，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解

必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆. 教学中应该突出对问题的分析过程，在分析过程中，要强调图形在分析问题中的辅助作用，引导学生根据题意画出图形.根据确定圆的要素-----圆心位置和半径长,借助图形,结合题设条件可以发现关键是找出圆心位置.圆心位置一旦确定,就可以利用距离公式确定半径大小,从而求出圆的标准方程.让学生自主探究出圆心位置，最后可得出：直线l 与线段OP 垂直平分线l ＇的交点即为圆心位置.

解题过程：∵O （0，0），P （1，1）

∴线段OP 的中点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

直线OP 的斜率10110op k -==- 因此线段OP 的垂直平分线 l ′的方程是111022y x x y ⎛⎫-

=--+-= ⎪⎝⎭即 102310

x y x y +-=++=的解 圆心C 的坐标是方程组

43

x y ==-所以圆心C 的坐标是(4,3)- 解此方程组，得圆Ｃ的半径5r OC === 所求圆的标准方程是()()224325x y -++=

【设计意图】有利于培养学生逻辑思维能力和加深对数形结合思想的理解,提高分析问题、解决问题的能力，养成良好的解题习惯,并且对数学思维的严谨性具有良好的效果.再一次为学生的发散思维创设了空间,又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮. III ．实际应用 回归自然

问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨

度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m 需用

一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到

0.01m ）.

由于圆拱是圆的一段弧,引导学生根据对称性建立直角坐标系,构建数学模型,再应用待定系数法求出圆的三个参数、、,继而确定圆的方程,从而求出点的纵坐标.要想求出22A P 的长度,还要求出O 点的纵坐标.这样问题就会迎刃而解.但为使求解过程简单,圆心最好设在坐标原点.

解题过程: 由题意建立直角坐标系,设圆心C 在坐标原点,如图所示

设圆的半径为r 即CA=r 由已知得AO=10，CO=r-OP=r-4

222Rt CA =CO +AO CAO ∆在中， ()2222941014.52

r r r =-+==即 解得