2018 2019年高中数学第一章计数原理122第一课时组合与组合数公式学案

第一课时组合与组合数公式

[教材研读]

预习教材P，思考以下问题2421～1．组合的概念是什么？

2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？

3．组合数有怎样的性质？

[要点梳理]

1．组合的定义

nmnmnm个元素个不同元素中取出≥叫做从)从个元素合成一组，个不同元素中取出(的一个组合．

2．组合数的概念、公式、性质

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

2cba)

．从1，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.( 3．

个积．( 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得4) 3,2,1是同一个组合．( 3．1,2,3与3) 2) C

60.( 4．C＝5×4×3＝5 4.×1.× 2.√ 3.√[答案]

组合的概念题型一

思考：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)AeabcdA个元素的有多少个？，的子集中含有，3，①设集合}＝{，，则集合个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？②某铁路线上有5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？3人去干5③个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？④把3本相同的书分给5ebcda，2，(2)从5个不同元素个，写出所有不同的组合．，，中任取关键是看有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的即为组合问对于(1)[思路导引]

每次取出两个元素即可，无顺序，但注意不重不漏．题；对于(2) ①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．[解] (1)②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．故是排按一定次序分给3个人去干，3③因为分工方法是从5种不同的工作中取出种，列问题．故是组合本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，④因为3本书是相同的，无论把3 问题．要写出所有的组合，首先要把元素按一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各(2) 个组合逐个标出．如图所示：

abacadaebcbdbecdcede. 因此可得所有组合为，，，，，，，，，

区分排列与组合的方法

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

【温馨提示】排列与组合的联系与区别

nmnm)个元素．个不同的元素中取≥( 联系：二者都是从区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．

[跟踪训练]

判断下列问题是组合问题还是排列问题．

abcd四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？，，， (1)从abcd四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？， (2)从，，abcd四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？，，(3) ，abcd四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？，(4)，，(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？

[解] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．

(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(4)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．

(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．

题型二组合数的计算与证明

思考：我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么，“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？

n个不同元素中取“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从提示：mmnn个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从≤出()mmn)个元素的所有

不同组合的个数”，它是一个数．个不同元素中取出(≤计算： (1)．

；①C－3710959697②C＋2C＋C；989898555555. ③C＋C＋C＋C＋C＋C1069587mm－1nm.

433 CA

(2)证明：CC＝nn1－利用组合数公式及性质求解．[思路导引]

10×9×8×7344330.

210＝－7×6×5＝210－＝] [解(1)①C－CA＝C－A73107104×3×2×1100×99×98397979796969596＝C＝161700.

C＝(CC)＋＋C)＝C＋C＝②原式＝(C＋1009998989910098983×2×1555656565556555③原式＝(C＋C)＋C＋C＋C＋C＝(C＋C)＋C＋C＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝11101069861077107811911×10×9×8×7＝462.

5×4×3×2×1nnnn！－！！－nm

＝(2)证明：左边＝·

mmnnmmmmn

！－－！！－！－！！－

mmm－11－nmn C.

＝CC＝右边，∴＝nnn1－1－

mn为具体自然数C＝常用于，(1)有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的，nm A m n！m A nm

m nm为字母或含有，常用于的题目，一般偏向于具体组合数的计算；公式C＝

n mmn！！－字母的式子的题目，一般偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明．

mnm－)

C(2)关于组合数的性质1(C＝nn mn个元素的每一个组合，个不同的元素中取出①该性质反映了组合数的对称性，即从mn个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系．都对应着剩下的－n mnm－m.

>时，通常不直接计算C②当C，而改为计算nn2mmm1－)

关于组合数的性质(3)2(CC＋＝C nnn1＋nn，上标左端与右端的一个1①形式特点：公式的左端下标为，右端下标为＋1，相差相同，右端的另一个比它们少1；应用时要注意公式的正常用于有关组合