ch1_数学模型
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求解数学模型
行波法（二） 频谱分解法（三） 脉冲分解法（四） 正交曲线坐标系下数学模型的求解（五）
第一章 数学模型
§1.1 泛定方程
柔软细弦的微小横振动
实际问题：弦乐器中的弦振动问题 物理模型：
细弦：质点的一维分布 柔软：弦无抗弯能力，内部相互作用是
仅沿切线方向的张力，而无法向分力 横振动：弦上质点振动方向相互平行，
jx
x,
t
G
V
x,
t
C
Vt
x,
t
0
电报方程
Vjxxxx
LC LC
Vtt jtt
LG LG
RC RC
Vt jt
RGV 0 RGj 0
理想传输线 无损耗（R ~ 0）和线间漏电很小（ G ~ 0 ）
Vtt a2Vxx
jtt
a2
jxx
a2 1 LC
三维空间各向同性介质中的热传导
n2
x x+x
x,u
实验定律：牛顿第二定律和胡克定律
u(x)
u(x+x)
x
x+x
张应变
lim
x0
u x
lim
x0
ux
x,t ux,t
x
ux
胡克定律（张应力与张应变成正比）
P Yuxn
数学模型
n1
n2
x x+x
x,u
微元的运动学方程
s x utt Ysux x n1 Ysux n xx 2 Ysu x xx Ysu x x
且与波的传播方向垂直 微小振动
数学模型 时空坐标系：表征量及其坐标系
表征量：质点相对其平衡位置的位移u
相应的坐标系如图
u
T
➢ 微小的定量描述：
2
ux tan 1 sin tan
1 tan 2
1
T
o x x+x
x
ux
1
u
2 x
~ ux; cos
1 ~ 1 1 ux2
实验定律：牛顿第二定律
T
2
1
T
T x sin 1, cos1 T x xux x x,1 T x ux x,1
o x x+x
x
x utt ,t T x xux x x
T x ux x
0 T x xT x
④ 波动方程
Tx x Tx T
utt
x,
t
lim
x0
utt
,
t
lim T ux x x T ux x
Lx
V(x,t)
x
V(x,t)
j(x+x,t)
Rx Cx Gx
V(x+x,t)
x+x
数学模型： 实验定律：基尔霍夫第一和第二定律
Rx jx,t Lx jt x,t
V x x,tV x,t 0
jx,t
jx
x,t
Gx V x x,t Cx Vt x x,t
R jx,t L jt x,tVx x,t 0
逆散射问题（逆问题）：
正问题：已知物理系统的初始扰动、边界扰动、源 扰动和介质分布，求该系统的运动（场）
逆问题：已知物理系统的运动（产生的场），求相 应的初始扰动、边界扰动、源扰动或介质分布
1979年X射线层析成像获诺贝尔奖
非线性问题：
非线性方程的导出 非线性方程的求解 孤子的研究
研究方法
x0
x
Tuxx x,t
utt Tuxx utt a2uxx
a2 T
讨论：
utt a2uxx
a2 T
a具有速度的量纲，是振动的传播速度。 对乐器来说，
弦绷得越紧（张力越大）波速越大； 弦的密度越大，波速越小
弹性杆的微小纵振动
实际问题：各种桩、柱的振动或是产生 超声波的振子振动等
实验定律的数学表达式（数学模型）
① 离散化：将连续介质离散化为多质点 系统
② 取微元(x+x)：
l x2 u2 ~ x u
T
2
振动中微元长度不变，
1
T
各点张力和密度不随 时间变化
o x x+x
x
③ 微元(x+dx)的运动学方程
x utt ,t,0 T x x sin 2, cos2
u
实际问题： 金属加热或冷却等固体传热问题
物理模型： 热传导： 由温度不均产生的热的传递
数学模型： 表征量：温度u
实验定律： ① 能量守恒：一个体系因温度升高所吸
收的热量等于从体系外部通过边界流 入的热量加上体系内部产生的热量
② 热传导的Fourier定律：
热流密度矢量： q ku
t时间内通过面元s沿其法向n流出的
波动方程
sutt
lim
x0
s
utt
lim Ysu x xx Ysu x x
x0
x
x
Ysu
x
均匀杆（s, , Y皆为常数）
utt a2uxx a2 Y
utt
a 2u xx
F ( x, t )
电磁波沿双线或同轴电缆传播 ——电报方程
实际问题： j(x,t)
物理模型：
j(x,t)
热量： Q q st k u st n
数学模型： ① 离散化：将介质离散化，取立体微元
xyz ② t时间内微体元v=xyz所吸收热
量： Q cvu
x,y,z+z)
z
x,y,z) x y xx,y,z)
j x,y+y,z)
③ t时间内微体元边界流入热量：
Q y kuy jxzt yy
物理模型： 假定：杆的同一横截面振动相同 （一维问题）
一维纵振动：各质点振动方向相互平 行，且与波的传播方向平行
微百度文库振动：一阶近似下，横截面积和 质量体密度不随时间变化
数学模型： 表征量：
以处于平衡状态时各横截面的位置x为 参考位置，各横截面相对于参考位置 的位移u为表征量
相应的坐标系如图
n1
实际问题、物理模型、数学模型
根据实际需要对实际问题进行简化 从物理模型到数学模型
建立时空坐标系，选择表征量（一个或几个物理量及 其坐标系）
掌握有关物理现象所遵循的实验定律及物理公理 研究方程的对称性质
解数学模型（基本思想：变换） 应用处理实际问题
内容安排
数学模型
力学、热学和电学等问题（一）
Q k u st n
kuy jxzt y
kuy
yy kuy
xzt
y
x,y,z+z)
Qx kux xx kux x
z
j
yzt
x,y,z)
x y x,y+y,z)
Q z
kuz
zz kuz
z
xx,y,z)
yxt
下篇 数学物理方程
引言
研究对象
物理学中的数学方程
重点研究若干线性偏微分方程的解法
一切物理现象的研究都离不开数学物理方程
物理量输运：质量、能量、动量、电量 机械波：流体波/弹性波 电磁波：电磁场 微观粒子波：微观粒子的运动 各种运动的偶合：机械、热和电磁运动的相互作用
逆散射问题和非线性问题的研究也离不开 数学物理方程*
行波法（二） 频谱分解法（三） 脉冲分解法（四） 正交曲线坐标系下数学模型的求解（五）
第一章 数学模型
§1.1 泛定方程
柔软细弦的微小横振动
实际问题：弦乐器中的弦振动问题 物理模型：
细弦：质点的一维分布 柔软：弦无抗弯能力，内部相互作用是
仅沿切线方向的张力，而无法向分力 横振动：弦上质点振动方向相互平行，
jx
x,
t
G
V
x,
t
C
Vt
x,
t
0
电报方程
Vjxxxx
LC LC
Vtt jtt
LG LG
RC RC
Vt jt
RGV 0 RGj 0
理想传输线 无损耗（R ~ 0）和线间漏电很小（ G ~ 0 ）
Vtt a2Vxx
jtt
a2
jxx
a2 1 LC
三维空间各向同性介质中的热传导
n2
x x+x
x,u
实验定律：牛顿第二定律和胡克定律
u(x)
u(x+x)
x
x+x
张应变
lim
x0
u x
lim
x0
ux
x,t ux,t
x
ux
胡克定律（张应力与张应变成正比）
P Yuxn
数学模型
n1
n2
x x+x
x,u
微元的运动学方程
s x utt Ysux x n1 Ysux n xx 2 Ysu x xx Ysu x x
且与波的传播方向垂直 微小振动
数学模型 时空坐标系：表征量及其坐标系
表征量：质点相对其平衡位置的位移u
相应的坐标系如图
u
T
➢ 微小的定量描述：
2
ux tan 1 sin tan
1 tan 2
1
T
o x x+x
x
ux
1
u
2 x
~ ux; cos
1 ~ 1 1 ux2
实验定律：牛顿第二定律
T
2
1
T
T x sin 1, cos1 T x xux x x,1 T x ux x,1
o x x+x
x
x utt ,t T x xux x x
T x ux x
0 T x xT x
④ 波动方程
Tx x Tx T
utt
x,
t
lim
x0
utt
,
t
lim T ux x x T ux x
Lx
V(x,t)
x
V(x,t)
j(x+x,t)
Rx Cx Gx
V(x+x,t)
x+x
数学模型： 实验定律：基尔霍夫第一和第二定律
Rx jx,t Lx jt x,t
V x x,tV x,t 0
jx,t
jx
x,t
Gx V x x,t Cx Vt x x,t
R jx,t L jt x,tVx x,t 0
逆散射问题（逆问题）：
正问题：已知物理系统的初始扰动、边界扰动、源 扰动和介质分布，求该系统的运动（场）
逆问题：已知物理系统的运动（产生的场），求相 应的初始扰动、边界扰动、源扰动或介质分布
1979年X射线层析成像获诺贝尔奖
非线性问题：
非线性方程的导出 非线性方程的求解 孤子的研究
研究方法
x0
x
Tuxx x,t
utt Tuxx utt a2uxx
a2 T
讨论：
utt a2uxx
a2 T
a具有速度的量纲，是振动的传播速度。 对乐器来说，
弦绷得越紧（张力越大）波速越大； 弦的密度越大，波速越小
弹性杆的微小纵振动
实际问题：各种桩、柱的振动或是产生 超声波的振子振动等
实验定律的数学表达式（数学模型）
① 离散化：将连续介质离散化为多质点 系统
② 取微元(x+x)：
l x2 u2 ~ x u
T
2
振动中微元长度不变，
1
T
各点张力和密度不随 时间变化
o x x+x
x
③ 微元(x+dx)的运动学方程
x utt ,t,0 T x x sin 2, cos2
u
实际问题： 金属加热或冷却等固体传热问题
物理模型： 热传导： 由温度不均产生的热的传递
数学模型： 表征量：温度u
实验定律： ① 能量守恒：一个体系因温度升高所吸
收的热量等于从体系外部通过边界流 入的热量加上体系内部产生的热量
② 热传导的Fourier定律：
热流密度矢量： q ku
t时间内通过面元s沿其法向n流出的
波动方程
sutt
lim
x0
s
utt
lim Ysu x xx Ysu x x
x0
x
x
Ysu
x
均匀杆（s, , Y皆为常数）
utt a2uxx a2 Y
utt
a 2u xx
F ( x, t )
电磁波沿双线或同轴电缆传播 ——电报方程
实际问题： j(x,t)
物理模型：
j(x,t)
热量： Q q st k u st n
数学模型： ① 离散化：将介质离散化，取立体微元
xyz ② t时间内微体元v=xyz所吸收热
量： Q cvu
x,y,z+z)
z
x,y,z) x y xx,y,z)
j x,y+y,z)
③ t时间内微体元边界流入热量：
Q y kuy jxzt yy
物理模型： 假定：杆的同一横截面振动相同 （一维问题）
一维纵振动：各质点振动方向相互平 行，且与波的传播方向平行
微百度文库振动：一阶近似下，横截面积和 质量体密度不随时间变化
数学模型： 表征量：
以处于平衡状态时各横截面的位置x为 参考位置，各横截面相对于参考位置 的位移u为表征量
相应的坐标系如图
n1
实际问题、物理模型、数学模型
根据实际需要对实际问题进行简化 从物理模型到数学模型
建立时空坐标系，选择表征量（一个或几个物理量及 其坐标系）
掌握有关物理现象所遵循的实验定律及物理公理 研究方程的对称性质
解数学模型（基本思想：变换） 应用处理实际问题
内容安排
数学模型
力学、热学和电学等问题（一）
Q k u st n
kuy jxzt y
kuy
yy kuy
xzt
y
x,y,z+z)
Qx kux xx kux x
z
j
yzt
x,y,z)
x y x,y+y,z)
Q z
kuz
zz kuz
z
xx,y,z)
yxt
下篇 数学物理方程
引言
研究对象
物理学中的数学方程
重点研究若干线性偏微分方程的解法
一切物理现象的研究都离不开数学物理方程
物理量输运：质量、能量、动量、电量 机械波：流体波/弹性波 电磁波：电磁场 微观粒子波：微观粒子的运动 各种运动的偶合：机械、热和电磁运动的相互作用
逆散射问题和非线性问题的研究也离不开 数学物理方程*