高数函数极限方法总结
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第一个重要极限
1
0 0
强行代入，定型定法
第二个重要极限（1+0）∧∞。
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
1 先凑出１，再凑 X ，最后凑指数部分。
6．等价无穷小代换法
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln( 1 x ) ~ x 0 x e 1
高数函数极限方法总结
周凌伊
1、直接代入法
分母不为零
2．约去零因子法
0 0
3、抓大头法
一般分子分母同除最高次方；对于多项式函数
0 n n 1 a a nx a n 1x 0 lim m m 1 x b x b x b m m 1 0 a n n b
12 b 1 cos x ~x , 1 ax 1 ~ abxa∧x—1～xlna(a是固定的，x是变量) 2
【说明】 (1) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (2)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 (3)只能在乘除时使用，但是不是说一定在加减的时候不能 用，但是前提要证明拆分后极限依然存在。
mn mn mn
4．分子(母)有理化法
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
及时分离极限式中的非零因子是解题的关键
5．应用两个重要极限公式（重要公式法）
sin x lim 1 x0 x
1 1 x n x lim ( 1 ) lim ( 1 ) lim ( 1 x ) e x x n n x 0
11、极限的四则运算性质
12、利用单侧Байду номын сангаас限
12、函数极限的定义
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在 常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正 数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε 那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
7、换元法、代换法
8、夹逼法则（迫敛法则）：
数列极限 适当变形，放缩和扩大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。 +2，……）， （2）当n→∞，limYn =a；当n→∞ ，limZn =a， 那么，数列{Xn}的极限存在，且当 n→∞，limXn =a。 二.F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A, limF(x)=limG(x)=A 则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) 则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x) 即 A≤limf(x)≤A 故 limf(Xo)=A
17、对数恒等式、幂指函数
limf (x)
g(x)
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
9、收敛数列的性质
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收 敛。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。 （求出极限）
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式 相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小 4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
16、用罗必塔法则求极限（上下分别 求导）
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 LHopital 法则、洛必达法则 （所以面对数列极限时候先要转化成 求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必 要条件 ） （还有一点 数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的 不可能是负无 穷！） （导数存在、极限存在） （必须是 0比0 无穷大比无穷大） （当然还要注意分母不能为0 ） 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大与无穷小成倒数的关系） 0 的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就 能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ，
14、函数的连续性
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快 于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来 了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
各项的拆分相加
（来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数
1
0 0
强行代入，定型定法
第二个重要极限（1+0）∧∞。
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
1 先凑出１，再凑 X ，最后凑指数部分。
6．等价无穷小代换法
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln( 1 x ) ~ x 0 x e 1
高数函数极限方法总结
周凌伊
1、直接代入法
分母不为零
2．约去零因子法
0 0
3、抓大头法
一般分子分母同除最高次方；对于多项式函数
0 n n 1 a a nx a n 1x 0 lim m m 1 x b x b x b m m 1 0 a n n b
12 b 1 cos x ~x , 1 ax 1 ~ abxa∧x—1～xlna(a是固定的，x是变量) 2
【说明】 (1) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (2)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 (3)只能在乘除时使用，但是不是说一定在加减的时候不能 用，但是前提要证明拆分后极限依然存在。
mn mn mn
4．分子(母)有理化法
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
及时分离极限式中的非零因子是解题的关键
5．应用两个重要极限公式（重要公式法）
sin x lim 1 x0 x
1 1 x n x lim ( 1 ) lim ( 1 ) lim ( 1 x ) e x x n n x 0
11、极限的四则运算性质
12、利用单侧Байду номын сангаас限
12、函数极限的定义
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在 常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正 数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε 那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
7、换元法、代换法
8、夹逼法则（迫敛法则）：
数列极限 适当变形，放缩和扩大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。 +2，……）， （2）当n→∞，limYn =a；当n→∞ ，limZn =a， 那么，数列{Xn}的极限存在，且当 n→∞，limXn =a。 二.F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A, limF(x)=limG(x)=A 则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) 则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x) 即 A≤limf(x)≤A 故 limf(Xo)=A
17、对数恒等式、幂指函数
limf (x)
g(x)
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
9、收敛数列的性质
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收 敛。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。 （求出极限）
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式 相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小 4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
16、用罗必塔法则求极限（上下分别 求导）
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 LHopital 法则、洛必达法则 （所以面对数列极限时候先要转化成 求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必 要条件 ） （还有一点 数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的 不可能是负无 穷！） （导数存在、极限存在） （必须是 0比0 无穷大比无穷大） （当然还要注意分母不能为0 ） 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大与无穷小成倒数的关系） 0 的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就 能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ，
14、函数的连续性
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快 于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来 了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
各项的拆分相加
（来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数