2018年新人教A版高中数学选修2-1全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学选修2-1
全册同步检测
目录
第1章1.1-1.1.1命题
第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系
第1章1.2-1.2.1充分条件与必要条件
第1章1.2-1.2.2充要条件
第1章1.3简单的逻辑联结词
第1章1.4-1.4.2存在量词
第1章1.4-1.4.3含有一个量词的命题的否定
第1章章末复习课
第1章章末评估验收(一)
第2章2.1-2.1.1曲线与方程
第2章2.1-2.1.2求曲线的方程
第2章2.2-2.2.1椭圆及其标准方程
第2章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质
第2章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用
第2章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程
第2章2.3-2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质
第2章2.3-2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用
第2章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程
第2章2.4-2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质第2章2.4-2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用第2章章末复习课
第2章章末评估验收(二)
第3章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算
第3章3.1-3.1.2空间向量的数乘运算
第3章3.1-3.1.3空间向量的数量积运算
第3章3.1-3.1.4空间向量的正交分角及其坐标表示第3章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示
第3章3.2第1课时空间向量与平行关系
第3章3.2第2课时空间向量与垂直关系
第3章3.2第3课时空间向量与空间角
第3章章末复习课
第3章章末评估验收(三)
模块综合评价
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x >2；⑤这座山真险啊！ A ．①②③ B ．①③④ C ．①②⑤
D ．②③⑤
解析：①②③是命题，④中x >2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题． 答案：A
2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．a >b ，c >d ⇒ac >bd B ．a <b ⇒a 2<b 2 C.1a <1
b
⇒a >b D ．a >b ，c <d ⇒a －c >b －d
解析：可以通过举反例的方法说明A ，B ，C 为假命题． 答案：D
3．下列命题中真命题的个数为( ) ①若x 2＝1，则x ＝1； ②若x ＝y ，则x ＝y ； ③若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ； ④梯形的对角线一定不垂直．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：只有③正确．
答案：A
4．给出下列命题：
①四个非零实数a ，b ，c ，d 满足ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 成等比数列； ②若整数a 能被2整除，则a 是偶数； ③在△ABC 中，若A >30°，则sin A >1
2.
其中为假命题的序号是( )
A ．②
B ．①②
C ．②③
D ．①③
解析：①中，若a ＝－1，b ＝5
2，c ＝2，d ＝－5满足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等
比数列，故是假命题；③中，若150°<A <180°，则sin A <1
2
，故是假命题．
答案：D
5．下列命题中，是真命题的是( ) A ．若a 3＋b 3＝0，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＞b ，则ac ＞bc C ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆M D ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M
解析：A.取a ＝1，b ＝－1，推不出a 2＋b 2＝0，A 不成立；B.c ≤0时，不成立；C.M ∩N ＝M ⇒M ⊆N ，C 不成立；D 成立．
答案：D 二、填空题
6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p ，则q ”的形式为________．
解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除． 答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除 7．已知下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则ac2＞bc2；
④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
解析：①②③④全为假命题．
答案：4
8．给出下列三个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行．
其中，是真命题的是________(填序号)．
答案：②
三、解答题
9．判断下列命题的真假．
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；
(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)函数y＝1
x的图象关于原点对称．
解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．
(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.
(3)真命题．y＝1
x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
B级能力提升
1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交
D．若α、β相交，则a、b相交
解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．
答案：D
2．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________．
解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．
答案：①②④
3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．
解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．
函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．
第一章常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
A级基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是()
A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2”
B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1”
C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2”
D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”
解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若⌝p，则⌝q”.
答案：C
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是()
A．若a≠－b，则|a|≠| b |
B．若a＝－b，则|a|≠| b |
C．若|a|≠| b |，则a≠－b
D．若|a|＝| b |，则a＝－b
解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝| b |，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝| b |，则a＝－b.”
答案：D
3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案：D
4．下列四个命题中，真命题为()
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
A．①②B．②③C．①③D．③④
答案：C
5．与命题“在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是()
A．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n≠a p＋a q
B．在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋q
C．在等差数列{a n}中，若a m＋a n≠a p＋a q，则m＋n≠p＋q
D．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q
答案：B
二、填空题
6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．
解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．
答案：真命题
7．下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．
其中是真命题的是________(填序号)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.
答案：①②③
8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
③“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
答案：1
三、解答题
9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.
所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾，
所以逆命题为真命题．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，真命题．
因为原命题与其逆否命题等价，
所以可证明原命题为真命题．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.
又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．
B级能力提升
1．原命题为“若a n＋a n＋1
2<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命
题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真
C．真、真、假D．假、假、假
解析：a n ＋a n ＋1
2<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以
其否命题和逆否命题也都是真命题．
答案：A
2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．
解析：逆否命题为：a ，b 都小于1，则a ＋b <2是真命题．
所以原命题是真命题，逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，例如a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．
答案：真 假
3．设0<a <1，0<b <1，0<c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于1
4.
证明：假设(1－a )b >14，所以（1－a ）b >1
2，
(1－b )c >14，所以（1－b ）c >1
2，
(1－c )a >14，所以（1－c ）a >1
2
.
相加得3
2<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝
3
2
左右矛盾，故假设不成立． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于1
4.
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
A 级 基础巩固
一、选择题
1．“x >0”是“3
x 2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．既是充分条件又是必要条件
解析：x >0显然能推出3
x 2>0，而3
x 2>0，不能推出x >0. 答案：A
2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既是充分条件又是必要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：“α＝
π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”，“cos 2α＝1
2”⇒/ “α＝π6
＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π
6
(k ∈Z)，所以选A.
答案：A
3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由ln(x＋1)<0得－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．答案：B
4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M⊆N”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M⊆N；但当M⊆N时，m＝1或m＝3，故“m ＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．
答案：A
5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
答案：B
二、填空题
6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0}，
所以－a＜－2⇒a＞2.
答案：a ＞2
7．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ； ②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α； ④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.
其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)． 答案：②④
8．“x ＝1”是“方程x 3－3x ＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)． 答案：充分 三、解答题
9．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么： (1)s 是q 的什么条件？ (2)r 是q 的什么条件？ (3)p 是q 的什么条件？
解：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件． (2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件． (3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．
10．已知命题p ：α＝β；命题q ：tan α＝tan β，判断p 是q 的什么条件？ 解：当α＝β＝π
2时，显然tan α与tan β无意义，即p ⇒/ q ，故p 不是q 的充分条
件；又α＝π4，β＝5π
4时，tan α＝tan β，所以q ⇒/ p ，所以p 不是q 的必要条件，
综上，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．
B 级 能力提升
1．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )
A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件
B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件
C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件
D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案：B
2．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案：a ＝1(或a ＝－1)
3．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“a
b ＞1”是“a ＞b ”的什么条件，并证明你
的结论．
解：由条件“a
b ＞1”可得a －b b ＞0，
若b ＞0，则a ＞b ；
若b ＜0，则a ＜b ，所以“a
b
＞1”
“a ＞b ”，
“a
b
＞1”不是“a ＞b ”的充分条件． 反过来，a ＞b ⇔a －b ＞0，也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0，“a
b ＞1”也不是“a ＞b ”的必
要条件．
所以“a
b ＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件，也不是“a ＞b ”的必要条件．
第一章常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
A级基础巩固
一、选择题
1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0，1}＝{0}”，
所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
答案：B
2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由于“x2＞2 013”时，一定有“x2＞2 012”，反之不成立，
所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．
答案：A
3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2
＝±4，故不成立，所以“a 2＝4”是“a 3＝16”的充分不必要条件．
答案：A
4．“m ＝1
2”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”
的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，
即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2，或m ＝12.
故为充分不必要条件． 答案：B
5．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )
A ．[－1，1]
B ．[－4，4]
C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪
⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，
解得m ≤－4或m ≥4. 答案：C 二、填空题
6．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．
解析：“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”． 答案：充要条件
7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
解析：若α＝370°>β＝30°，而sin α<sin β，所以“α>β”推不出“sin α>sin
β”，若sin 30°>sin 370°，而30°<370°，所以sin α>sin β推不出α>β.
答案：既不充分也不必要条件
8．已知p ：x 2－4x －5>0，q ：x 2－2x ＋1－λ2>0，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．
解析：命题p 成立，x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1；命题q 成立，x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ，由于p 是q 的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.
答案：(0，2] 三、解答题
9．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .
解：依题意a ＞0.由条件p ：|x －1|＞a 得x －1＜－a ，或x －1＞a ，所以x ＜1－a ，或x ＞1＋a ，由条件q ：2x 2
－3x ＋1＞0得x ＜1
2
，或x ＞1.
要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有
⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，
解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x ＜0，或x ＞2， 此时必有x ＜1
2，或x ＞1.
即p ⇒q ，反之不成立．
所以，使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.
10．已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：(1)必要性．
因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.
所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．
因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0. 因为a 2
－ab ＋b 2
＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.
所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.
综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0
B 级 能力提升
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋ax ，x ≤1，
ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：C
2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊆B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．已知P ＝{x |x 2－8x －20 ≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．
(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的范围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的范围． 解：(1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．
由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ， 所以S ＝[1－m ，1＋m ]．
要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，
1＋m ＝10，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，
m ＝9，
所以这样的m 不存在．
(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，
要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，
所以m ≤3.
故m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．
第一章常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词
A级基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。

答案：D
2．已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈p为真命题，又因为綈p为真命题，则p为假命题．但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
答案：A
3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”
中，真命题有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q 是假命题．p∨q是真命题，綈p是假命题．
答案：A
4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2) 2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是()
A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假D．“綈q”为真
解析：显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假．答案：A
5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是() A．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
解析：命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则綈p：a>1；
命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0，即a<0或a>1，则綈q：0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假；
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.
答案：B
二、填空题
6．命题p ：方向相同的两个向量共线，q ：方向相反的两个向量共线，则命题“p ∨q ”为________________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
7．命题“若a ＜b ，则2a ＜2b ”的否命题为________________，命题的否定为________________．
解析：命题“若a ＜b ，则2a ＜2b ”的否命题为“若a ≥b ， 则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a ＜b ，则2a ≥2b ”． 答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a ＜b ，则2a ≥2b
8．对于函数：①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．
答案：② 三、解答题
9．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z ，若p ∧q 和綈q 都是假命题，求x 的取值集合． 解：因为綈q 是假命题，所以q 为真命题．又p ∧q 为假命题，所以p 为假命题． 因此x 2－x <6且x ∈Z ，解之得－2<x <3且x ∈Z ，故x ＝－1，0，1，2， 所以x 的取值集合是{－1，0，1，2}．
10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0， 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .
当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3， 则q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.
(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q ， 且綈q
綈p .
设A ＝{x |綈p }，B ＝{x |綈q }，则A B ，
又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x ＞3}， 则0＜a ≤2，且3a ＞3，
所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.
B 级 能力提升
1．已知命题：p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数； p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，
q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4
答案：C
2．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范
围是____________________________________．
解析：因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2
x －3＜0，即2＜x ＜3，
所以q 假时有x ≥3或x ≤2.
p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，
得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 答案：(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)
3．已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R ，若“p 或q ”与“非q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围．
解：命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2＞－2，
（x 1＋1）（x 2＋1）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪
⎧a 2
－1≥0，
－2a ＞－2，2－2a ＞0，
解得a ≤－1. 命题q ：关于x 的不等式ax 2
－ax ＋1＞0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.即
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，
a 2－4a ＜0. 因为“p 或q ”与“非q ”同时为真命题，即p 真且q 假，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤－1，
a ＜0或a ≥4，解得a ≤－1.
故实数a 的取值范围是(－∞，－1]，
由于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，⇔⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，所以0≤a ＜4.
第一章常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
A级基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，不是全称命题的是()
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中特称命题的个数是()
(1)至少有一个偶数是质数．
(2)∃x0∈R，log2x0>0.
(3)有的实数大于零．
A．0B．1C．2D．3
解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题．
(2)中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题．
(3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．
答案：D
3．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是()
A．有一个x0∈R，使x20>3
B．对有些x0∈R，使x20>3
C．任选一个x0∈R，使x20>3
D．至少有一个x0∈R，使x20>3
解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．
答案：C
4．下列特称命题中，假命题是()
A．∃x0∈R，x20－2x0－3＝0
B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除
C．存在两个相交平面垂直于同一直线
D．∃x0∈{x|x是无理数}，x20是有理数
解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．
答案：C
5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
答案：A
二、填空题
6．若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”为真命题，则a的取值范围是________．解析：因为函数y＝e x在[0，1]上为增函数，
所以1≤y≤e，
若p为真，则a≥(e x)max＝e.
答案：[e，＋∞)
7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存
在实数x ，x ＞0；④对于任意实数x ，2x ＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．
答案：②③
8．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________． 解析：依题意有：
0＜a 2
－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，a 2－1＜1，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞1，－2＜a ＜2，
⇔
－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) 三、解答题
9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后写出命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根； (4)∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5>0.
解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题． (2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题． (3)是全称命题，其否定为：存在实数m ，使得x 2＋2x －m ＝0没有实数根， 因为Δ＝4＋4m <0，即当m <－1时，一元二次方程没有实根，所以其否定是真命题． (4)是特称命题，其否定为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0，因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4，所以命题的否定是假命题．
10．关于x 的函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1，1]的值都有y >0，求实数x 的取值范围．
解：设f (a )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ，则有f (a )＝(2－x )a ＋x 2－x ，a ∈[－1，1]，因为a ∈[－1，1]时，y ＝f (a )>0恒成立，则
(1)当x ＝2时，f (a )＝2>0显然成立；
(2)当x ≠2时，由f (a )>0在a ∈[－1，1]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨
⎪⎧x 2－2>0，
x 2－2x ＋2>0，
解得x >2或x <－ 2.
综上可得：x >2或x <－ 2.
B 级 能力提升
1．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2
＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
答案：A
2．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为______________．
解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4＞0， 解得a ＜－1或a ＞3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
3．若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．
解：(1)当m ＝0时，f (x )＝x －a 与x 轴恒相交， 所以a ∈R.
(2)当m ≠0时，二次函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m (m ＋a )≥0恒成立，即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立．
又4m 2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a )2－16≤0，解得－1≤a ≤1.
综上所述，当m ＝0时，a ∈R ； 当m ≠0，a ∈[－1，1]．
第一章常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
A级基础巩固
一、选择题
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方不是正数
D．至少有一个实数的平方是正数
解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．
答案：C
2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为()
A．綈p：存在x∈R，x＜sin x
B．綈p：任意x∈R，x≤sin x
C．綈p：存在x∈R，x≤sin x
D．綈p：任意x∈R，x＜sin x
答案：C
3．命题“∀x∈R，∃x∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()
A．∀x∈R，∃x∈N*，使得n<x2
B．∀x∈R，∀x∈N*，使得n<x2
C．∃x∈R，∃x∈N*，使得n<x2
D．∃x∈R，∀x∈N*，使得n<x2
解析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，n≥x2的否定是n<x2.
答案：D
4．命题“∃x0∈R，使得f(x0)＝x0”的否定是()
A．∀x∈R，都有f(x)＝x
B．不存在x∈R，使得f(x)≠x
C．∀x∈R，都有f(x)≠x
D．∃x∈R，使得f(x0)≠x0
解析：命题的否定为∀x∈R，都有f(x)≠x.
答案：C
5．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q：∃x∈R，sin x＝1.则下列判断正确的是()
A．綈q是假命题B．q假命题
C．綈p是假命题D．p是真命题
答案：A
二、填空题
6．已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3 ≤0，则綈p为________．
答案：∀x∈R，x2－3x＋3＞0
7．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．解析：由题意知，原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”．
答案：“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”
8．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围
是________．
解析：由条件知⎩⎨⎧－m 2>0，
m 2－4>0，
所以m <－2.
答案：(－∞，－2) 三、解答题
9．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a 的取值范围．
解：由已知得綈p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立． 所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3，
因为綈p 为假，所以a ＞－3， 即a 的取值范围是(－3，＋∞)．
10．已知命题p ：∀m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q: ∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题，綈q 是真命题，求a 的取值范围．
解：根据p 或q 是真命题，綈q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题． 因为m ∈[－1，1]，所以 m 2＋8∈[22，3]，
因为∀m ∈[－1，1]， 不等式a 2－5a －3≥
m 2＋8，
所以a 2－5a －3≥3，所以a ≥6或a ≤－1. 故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1. 又命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0， 所以Δ＝a 2－8＞0，
所以a＞22或a＜－22，
从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，
所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－22≤a≤－1.
B级能力提升
1．已知命题p：“a＝1”是“∀x＞0，x＋a
x≥2”的充要条件，命题q：∃x0∈R，
x2＋x－1＞0.则下列结论中正确的是()
A．命题“p∧q”是真命题；
B．命题“p∧綈q”是真命题；
C．命题“綈p∧q”是真命题；
D．命题“綈p∨綈q”是假命题．
答案：C
2．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为________．
解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．
“∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1”的否定是“∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1”．
答案：∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
3．写出命题“已知a＝(1，2)，存在b＝(x，1)，使a＋2b与2a－b平行”的否定，判断其真假并给出证明．
解：命题的否定：已知a＝(1，2)，则对任意的b＝(x，1)，a＋2b与2a－b都不平行，是一个假命题．
证明如下：假设存在b＝(x，1)使a＋2b与2a－b平行，则a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)．
2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．
因为a＋2b与2a－b平行，
所以存在λ∈R ，使得a ＋2b ＝λ(2a －b )． 即(2x ＋1，4)＝λ(2－x ，3)．
所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，
⇒2x ＋1＝43(2－x )．
解得x ＝1
2
.
这就是说存在b ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，1使a ＋2b 与2a －b 平行，故已知命题为真命题，其否定为假
命题．
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．有关真假命题的判断方法
(1)是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．
(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决．
2．正确理解逻辑联结词的含义
(1)已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相对．
(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．
3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面
(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有。