3直击高考之对数平均不等式

第三篇：对数平均数不等式

高考相关：高考中很多题都是以对数平均不等式为背景，变形出题的，重要性毋庸置疑！ 例（2018全国Ⅰ卷理21）（12分）已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：

()

1212

()2f x f x a x x -<--

解：

⑴函数的定义域为()0,+∞

()222

11

'1a x ax f x x x x -+-=--+=

24a ∆=-

① 当22a -≤≤时，()'0f x ≤,()f x 在 ()0,+∞单调递减；

② 当2a >时， ()'0f x =

，1222

a a x x +==

，120x x << ()f x

在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

和2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

上单调递减，在,22a a ⎡+⎢⎢⎥⎣⎦

上单

调递增；

③ 当2a <-时，120x x <<，()f x 在 ()0,+∞单调递减. 综上所述：2a ≤时，()f x 在 ()0,+∞单调递减；

2a >时，()f x

在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭

和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，

在,22a a ⎡+⎢⎢⎥⎣⎦

上单调递增.

⑵ ()f x 存在两个极值点12,x x ，由⑴知2a >

12x x a +=，121x x =

()()

2111222112121221121212

11

ln ln ln ln ()x x x a x x a x x x a x x f x f x x x x x x x x x x x --+-+-+-+--==

---

12

12

ln ln 2x x a

x x -=--

要证()1212()2f x f x a x x -<--，即证1212

ln ln 1x x x x -<-

方法一：

12

12

ln ln 1x x x x -<=- 12

12

ln ln 1x x x x -<-得证.

方法二：12x x a +=，121x x =，2a >，不妨设212

a

x >

> 将121

x x =

代入

1212

ln ln 1x x x x -<-得， 2

22

2ln 1

1x x x -<-， 22212ln x x x ->-，222

12ln 0x x x +-< 证1212

ln ln 1x x x x -<-，即证2

221

2ln 0x x x +-< 令()()12ln ,1g x x x x x =-+>，那么()()2222212121'1x x x g x x x x x

---+-=--== 0x >时，()'0g x <，()g x 在()+∞1，上单调递减, ()()21g x g <，

()2222

1

2ln g x x x x =+

-，()12ln1110g =+-= 222

1

2ln 0x x x +

-<得证.

对数平均不等式

2(0)

11

ln ln 2

b a a b

a a

b b a b b a a b

-+<

<<

<<<<-+

3.典例剖析

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一）

0ln ln b a b

a a

b a

的应用

例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．

（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++

+与()n f n -的大小，并加以证明．

解：()1

'1f x x

=

+ ()()1x g x xf x x '==

+

()()()12111

12...11...1231231n g g g n n n ++

+=+++=-+-++-

++

11

1...231n n ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭

()()()23412

31ln 1ln

ln ln ln 1231

2n n n f n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯++⎛⎫-=-+=-=-++⋅⋅⋅+ ⎪⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⎝⎭

令

1n x n +=，那么11

11n x

=-+ 令()11ln 1ln 1g x x x x x

⎛

⎫=--

=+- ⎪⎝

⎭ ()22111

'x g x x x x

-=

-= 1x >时，()'0g x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，

()()1g x g >

11ln

01n n n +->+ 11ln 1n n n +>+

231111ln ln ln ...12231n n n n n +⎛⎫⎛⎫-++⋅⋅⋅+<-+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

()()()()12n f n g g g n -<++

+