3直击高考之对数平均不等式

第三篇：对数平均数不等式
高考相关：高考中很多题都是以对数平均不等式为背景，变形出题的，重要性毋庸置疑！ 例（2018全国Ⅰ卷理21）（12分）已知函数1
()ln f x x a x x
=
-+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
()
1212
()2f x f x a x x -<--
解：
⑴函数的定义域为()0,+∞
()222
11
'1a x ax f x x x x -+-=--+=
24a ∆=-
① 当22a -≤≤时，()'0f x ≤,()f x 在 ()0,+∞单调递减；
② 当2a >时， ()'0f x =
，1222
a a x x +==
，120x x << ()f x
在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
和2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,22a a ⎡+⎢⎢⎥⎣⎦
上单
调递增；
③ 当2a <-时，120x x <<，()f x 在 ()0,+∞单调递减. 综上所述：2a ≤时，()f x 在 ()0,+∞单调递减；
2a >时，()f x
在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭
和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，
在,22a a ⎡+⎢⎢⎥⎣⎦
上单调递增.
⑵ ()f x 存在两个极值点12,x x ，由⑴知2a >
12x x a +=，121x x =
()()
2111222112121221121212
11
ln ln ln ln ()x x x a x x a x x x a x x f x f x x x x x x x x x x x --+-+-+-+--==
---
12
12
ln ln 2x x a
x x -=--
要证()1212()2f x f x a x x -<--，即证1212
ln ln 1x x x x -<-
方法一：
12
12
ln ln 1x x x x -<=- 12
12
ln ln 1x x x x -<-得证.
方法二：12x x a +=，121x x =，2a >，不妨设212
a
x >
> 将121
x x =
代入
1212
ln ln 1x x x x -<-得， 2
22
2ln 1
1x x x -<-， 22212ln x x x ->-，222
12ln 0x x x +-< 证1212
ln ln 1x x x x -<-，即证2
221
2ln 0x x x +-< 令()()12ln ,1g x x x x x =-+>，那么()()2222212121'1x x x g x x x x x
---+-=--== 0x >时，()'0g x <，()g x 在()+∞1，上单调递减, ()()21g x g <，
()2222
1
2ln g x x x x =+
-，()12ln1110g =+-= 222
1
2ln 0x x x +
-<得证.
对数平均不等式
2(0)
11
ln ln 2
b a a b
a a
b b a b b a a b
-+<
<<
<<<<-+
3.典例剖析
对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一）
0ln ln b a b
a a
b a
的应用
例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．
（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++
+与()n f n -的大小，并加以证明．
解：()1
'1f x x
=
+ ()()1x g x xf x x '==
+
()()()12111
12...11...1231231n g g g n n n ++
+=+++=-+-++-
++
11
1...231n n ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭
()()()23412
31ln 1ln
ln ln ln 1231
2n n n f n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯++⎛⎫-=-+=-=-++⋅⋅⋅+ ⎪⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⎝⎭
令
1n x n +=，那么11
11n x
=-+ 令()11ln 1ln 1g x x x x x
⎛
⎫=--
=+- ⎪⎝
⎭ ()22111
'x g x x x x
-=
-= 1x >时，()'0g x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，
()()1g x g >
11ln
01n n n +->+ 11ln 1n n n +>+
231111ln ln ln ...12231n n n n n +⎛⎫⎛⎫-++⋅⋅⋅+<-+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
()()()()12n f n g g g n -<++
+
（二）
2
2
0ln ln b b a
b
a b a
的应用
例 2 设数列{}n a 的通项(n a =
，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．
证：
()231
ln 1ln ln ln
12n n n
++=++⋅⋅⋅+
比较1ln
n n +
()1
ln 1
ln n n n n +-<+-
()
ln 1ln n n ∴+->
>
1ln
n n +∴>
()ln 1n S n ∴<+
（三）
02
ln ln a b
b a
b
a b a
的应用
例3. 设数列
{}n a 的通项11
1
123
n
a n
=++++
，证明：()ln 21n a n <+． 证明：
()3521
ln 21ln ln ln 1321
n n n ++=++⋅⋅⋅-
方法一：
比较
1n 和21
ln 21n n +- 令2121n x n +=-，那么1422
n x =-+
令4
()ln 21
f x x x =+
-+ ()()()()()
2
2
222
14114
'()111x x x f x x x x x x x +--=-==+++ 1x >时，()'0f x >，()f x 在()1,+∞上单调递增，
()()1f x f > 2144ln
2ln1ln 2212111
121
n n n n ++->+-+-++- 211ln 21n n n
+>- ()ln 21n a n <+
方法二：
()()()21214ln 21ln 212
n n n
n n +--<
+-- ()()1ln 21ln 21n n n
+--> 211
ln
21n n n
+>- ()ln 21n a n <+
（四）
2011ln ln b a
b a b a
a
b
的应用
例 4. （2010年湖北）已知函数0b f x ax
c a x
的图象在点1,1f 处的切线方程为
1y x ．
（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：1
111
ln 1
1.2321
n
n n
n
n
（1）解：1y
x ，1x =时，0y =,()10f a b c =++=
()222
'b ax b
f x a x x
-=-=，()'11f a b =-= 01
a b c a b ++=⎧⎨
-=⎩
1
12b a c a
=-⎧⎨
=-⎩ (3)证明：
()231
ln 1ln ln ln
12n n n ++=++⋅⋅⋅+ ()()1111111ln
ln 1ln 12+12+1n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=+-<+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
1111111ln 12121223121n n
n n n n n ⎛⎫++
<++++⋅⋅⋅+++ ⎪
+++⎝⎭ ()()()()11111ln 1212232121n n
n n n n n ++
<+++⋅⋅⋅++++++
()()111
ln 112123n n n n
++
<+++⋅⋅⋅++
（五）
0ln ln b a ab b a b a
的应用
例5. （2014福建预赛）已知1
()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：
()2222234
11
ln 21411421431
414
n n n ++++
+
>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．
证明：
()113521ln 21ln ln ln 441321n n n +⎛⎫+=++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎭
()()()()()()2121212121ln ln 21ln 212122121n n n n n n n n n n +--++-⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦=+--<-+-
()2241214ln
214141
n n n
n n n ++<<---
21211ln 42141n n n n ++<-- ()222212341
ln 214411421431
41
n n n ++<++++
⨯-⨯-⨯-⨯-
强化训练
1. （2012年天津）已知函数
()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．
（1）（2）（略）（3）证明：()()12
ln 212*.21
n
i n n N i =-+<∈-∑ 证明：
证明()12ln 21221n
i n i =-+<-∑
，即证明()1111ln 2121
2n
i n i =-<+-∑ ()113521ln 21ln ln ln 221321n n n +⎛⎫
+=++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎭
()()21
ln ln 21ln 2121
n n n n +=+---
()()()2212121ln
ln 21ln 21212121
n n n n n n n n +--⎡⎤+⎣⎦=+-->-++-
211
ln
21n n n
+>-
()11111ln 212212n n ⎛⎫+>++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
()111111111ln 2122422235212n n n n n +>++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++-- ()111111ln 2112135212n n n +>+++⋅⋅⋅++--
()11111ln 211213521
n n +>+++⋅⋅⋅+--
()111ln 211221
n i n i =+>--∑
()1
2
ln 21221n
i n i =-+<-∑
2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数
()()()
1ln 11x x f x x x
λ+=+-+．
（1）若0x ≥时,
()0,f x ≤求λ的最小值；
（2）设数列{}n a 的通项11
1123
n a n =+++
+，证明：21ln 24n n a a n
-+>． 解：（1）()()()()()()()
2222
211211'111x x x x x x f x x x x λλλλ++-++-=-=-+++
()
2
211x x x λλλ-⎛
⎫+
⎪⎝
⎭=-
+ ()'0f x =，12120,x x λ
λ
-==
① 当0λ<时，21x x <，0x ≥，()'0f x ≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增，()(0)f x f ≥
()0f x ≥；
② 当0λ=时，()()ln 1f x x =+，0,()0x f x ≥≥； ③ 当102λ<<时，120x λ
λ
-≤≤，()0f x ≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，()0f x ≥； ④ 当1
2
λ≥
时，0x ≥，()'0f x ≤，()f x 单调递减，()(0)f x f ≤， ()0f x ≤ 综上所述：λ的最小值为1
2
（2）令1
2
λ=
，由（1）知当0x >时，()0f x <，即
()()2ln 122x x x x +>++ 取1x k =
，则()211ln 21k k k k k ++⎛⎫
> ⎪+⎝⎭
211111
41224n n a a n n n n n -+
=++⋅⋅⋅++++ ()()()()1111111
21212222444n n n n n n n
=
++++⋅⋅⋅+++++++
()()()
()1111112212122224n n n n n n
=
+++++⋅⋅⋅+++++ ()21
11
221n k n k
k -=⎛⎫=+ ⎪ ⎪+⎝⎭∑ ()21
21211
ln ln 2ln 221n n k n k n k k n n k k k --==⎛⎫++=>=-= ⎪ ⎪+⎝
⎭∑∑ 21ln 24n n a a n
-+>。