北航张量分析课件01

应力张量
yz
z y p
yx
yy
x
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
0.1 张量的特点
二阶9维
4
张量方程具有不变性与简洁性
ux ux ux du ux ux uy uz ex dt t x y z
零向量 0 ≡ (0 , 0 , 0)
负向量 －a ≡(－a1，－a2 ，－a3 )
数乘
加法
la ≡(la1，la2 ，la3)
a + b ≡(a1 + b1，a2 + b2 ，a3 + b3)
• 解析定义：向量是满足上面运算法则三元 数组 : a a1 , a2 , a3 仅适用自然基
柱坐标系 任意坐标系
uz uz uz uz ur u uz ez r r z t
0.1 张量的特点
du ui j i u u gi j dt t
5
课程特点
研究张量及张量方程的表达、运算、 转换及数学特性 相关的主要先修课为高等数学、线性 代数和大学物理 建议的学习方法——参考文献法
公理化定义： 在含有零元素与负元素的集合V中，定 义了加法与数乘两种线性运算，满足上述 八条运算规律，则V称为线性空间，V中元 素称为向量。
3数组定义的线性空间称为3维向量空间。
1.1 向量与向量空间 16
点积与欧氏空间
向量的点积定义也有三种方式 几何方式 解析方式 公理方式
a

b
• 几何定义： a b a b cosa , b
[7] 高等数学、线性代数、大学物理...
0.2 课程特点
8
教学网站与考核方式
163邮箱
张量课件 张量讲义 office公式升级软件MathType
邮址 gongre_11@163.com 密码 123456123456
2011张量ppt1，… 考核方式
平时成绩20％ 无迟交作业和缺课得满分 迟交两次以上0分。期末考试80％
z
张量分析
Tensor
x
v
y
第1课
能源与动力工程学院
尹幸愉
三馆 307
引 言
0.1 张量的特点
0.2 课程特点
什么是张量
2
张量的特点
张量是向量的推广
z k O i
向量是一阶张量
张量是坐标变换的不变量
a ax i ay j azk
a
j
P
y
ax , ay , az


一阶3维
3
x
向量是数组
• 公理化定义：满足上面运算规律的 代数运算称点积。
定义了点积的线性空间称欧氏空间
1.2 点积与欧氏空间 18
点积的解析定义
设
gi 为任意基向量，由点积的运算规律: a b ai gi b j g j a1 g1 a2 g2 a3 g3 b1 g1 b2 g2 b3 g3
12 13 21 22 23 31 32 33
1.1 向量与向量空间 13
12 13 22 23 32 33
ii ＝ (i1, i2 , i3)
由向量代数知，对于给定基向量(右手标准 正交)，有如下运算法则成立
相等
a ＝ b 当切仅当 ai = bi
由点积可定义 向量的长度和 夹角
a

aa
ab cos ab
17
点积的公理化定义
由几何定义可导出向量点积的四条最基本的运算规律 :
ab ba
la b la b
a b c a c b c
a a 0 当切仅当 a 0 时 a a 0
11
向量的解析定义
z (x3 )
右手系
由指标表示 法可将下式 简化！
k ( i3 ) O ( i1 ) i x (x1 )
a来自百度文库
j ( i2 )
P
y (x2 )
分量
基向量(右手标准正交)
a ax i ay j azk a1i1 a2i2 a3i3 ai ii
1.1 向量与向量空间 12
x3 i3 i1 i2
x2
a a1e1 a2e2 a3e3 a1 , a2 , a3
x1
1.1 向量与向量空间
23
A1j 11 A2j 21 A3j 31 A k = 1 1j A1j 12 A2j 22 A3j 32 A k = 2 2j A1j 13 A2j 23 A3j 33 A k = 3 3j Akj
1.1 向量与向量空间
引入自然基(右手系)---满足下式的标准 正交基
i1 1, 0 , 0
i2 0 , 1, 0
i3 0 , 0 , 1
a a1i1 a2i2 a3i3 a1 , a2 , a3
a1 1 , 0 , 0 a2 0 , 1 , 0 a3 0 , 0 , 1
直角坐标系
uy uy uy uy uz uz uz uz ux uy uz ux uy uz ey ez x y z x y z t t
2 ur ur ur u du ur ur u uz er dt t r r z r uy ur u u u u ur u uz e r r z r t
20
ij 的置换特性
Aij ik Akj
ij 符号类似于单位矩阵，与任意指标量作用时，
自身消失，同时改变作用指标量的符号. 规则是若 有一指标与作用指标量的某一指标相同，则用 ij 另一 指标置换作用指标量的相同指标, 同时自身消失。
证： Aij ik =A1j 1k A2j 2k A 3j 3k
a1b1 g1 g1 a1b2 g1 g2 a1b3 g1 g3 a2b1 g2 g1 a2b2 g2 g2 a2b3 g2 g3 a3b1 g3 g1 a3b2 g3 g2 a3b3 g3 g3 ai b1 gi g1 ai b2 gi g2 ai b3 gi g3 ai b j gi g j gi 为标准正交基时可引入克罗内克符号简化
指标表示法
a ajij ajij
j
j=1，2，3 哑标
爱因斯坦求和约定：若指标中有两个相同， 表示在默认范围内求和。 任意基向量
略去基向量
a ai gi ai a1 , a2 , a3
i=1，2，3 自由标 k，l=1，2，3
11 kl 21 31 11
1.2 点积与欧氏空间
克罗内克符号 ij
ei 标准正交基
1 ei e j ij 0
ij ij
e3
i j i j
e1
e2
E
1.2 点积与欧氏空间
克罗内克符号 单位矩阵 单位张量 各向同性张量 单位度量矩阵
0.2 课程特点 9
第一章 向量与坐标
1.1 向量与向量空间 1.2 点积与欧氏空间
1.3 叉积与轴向量 1.4 混合积与坐标系转向 1.5 并积与向量诱导空间 1.6 坐标系与坐标变换
10
向量与向量空间
向量的定义的三种方式
几何方式 解析方式 公理方式 • 几何定义：
a
如何 定义 向量
向量是有大小与方向的量， 合成时符合平行四边形法则
1.2 点积与欧氏空间 21
a b ai b j gi g j ai b j ei e j ai b j ij
ai bi a j b j
上式为点积的解析定义。 向量的解析定义仅 适用于标准正交基
若基为标准 正交基
1.2 点积与欧氏空间
22
问题
1
若基向量为非自然基 ，向量能否写为?
由几何定义或解析定义可导出向量满足的八条最基本 的运算规律
1.1 向量与向量空间
向量的公理化定义
l ( a ) (l )a a b b a l (a b) l a l b (a b) c a (b c) (l )a l a b a a a a a (a)
6
参考文献法
从课堂接受问题
通过参考文献弄清问题
归纳总结消化问题
要点是掌握自 学的方法！
0.2 课程特点 7
主要参考文献
[1] 张量分析讲义，尹幸愉(电子版) [2] 张量分析课件(电子版) [4] 力学中的张量计算，曹富新 [5] 张量分析及其在连续介质力学中的应用，
孔超群等
[6] 张量分析及其应用, 汪国强等