一阶线性微分方程组
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时）一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念.二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式.三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ⊂ 上连续.为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及12()()()()n f x f x F x f x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式()()dY A x Y F x dx=+ (3.7)如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成()dY A x Y dx= (3.8)我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组.如果(3.8)与(3.7)中()A x 相同, 则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似, 我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理 3.1′ 如果(3.7)中的()A x 及()F x 在区间[],I a b =上连续, 则对于[],a b 上任一0x 以及任意给定的0Y , 方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在[],a b 上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间[],a b 上存在.2. 一阶线性齐次方程组的一般理论⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理3.2 如果11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()m m m n n nm y x y x y x y x y x y x Y x Y x Y x y x y x y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是方程组(3.8)的m 个解，则1122m m Y C Y C Y C Y =+++ (3.9)也是(3.8)的解，其中12,,,m C C C 是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解.证明 因为(1,2,,)i Y i m = 是(3.8)的解，即()()()i i dY x A x Y x dx = (1,2,,)i m =成立. 再由1122[()()()]m m d C Y x C Y x C Y x dx+++ 1212()()()m m dY x dY x dY x C C C dx dx dx=+++ 1122()()()()()()m m C A x Y x C A x Y x C A x Y x =+++ 1122()[()()()]m m A x C Y x C Y x C Y x =+++这就证明了(3.9)是(3.8)的解. 定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1 设12(),(),,()m Y x Y x Y x 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数. 如果存在m 个不全为零的常数12,,,m C C C ，使得1122()()()0m m C Y x C Y x C Y x +++= 在区间I 上恒成立, 则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关, 否则称它们在区间I 上线性无关.显然，两个向量函数12(),()Y x Y x 的对应分量成比例是它们在区间I 上线性相关的充要条件. 另外, 如果在向量组中有一零向量, 则它们在区间I 上线性相关.若12(),(),,()n Y x Y x Y x 是(3.8)的n 个解, 称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵[]12()(),(),,()n x Y x Y x Y x Φ=111212122212()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它的第i 个列向量为()i Y x . 如果这组解是线性无关的, 则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵例1 向量函数它21cos ()1,x Y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22sin 1()1x Y x x ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在任何区间(a , b )上是线性相关的. 事实上取121C C == 有1122()()0.C Y x C Y x +≡例2 向量函数3313(),x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 6626()2x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦在(-∞,+∞)上线性无关. 事实上，要使得1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞成立，或写成纯量形式，有3123123120,20,0,x x x C C e C C e C C e ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩ (,)x ∈-∞+∞显然, 仅当120C C == 时, 才能使上面三个恒等式同时成立, 即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3 向量函数212()0,x x e Y x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2220()x x Y x e e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在(,)-∞+∞上线性无关. 事实上，由于1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞相当于纯量形式212222120,0,0,x x x x C e C e C e C e ----⎧≡⎪⎪≡⎨⎪--≡⎪⎩ (,)x ∈-∞+∞由此可以看出：仅当120C C ==时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组. 这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n 个n 维向量函数组12(),(),,()n Y x Y x Y x (3.10)在其定义区间I 上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x W x y x y x y x =通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式()W x 在I 上恒等于零.证明 依假设，存在不全为零的常数12,,,n C C C ,使得1122()()()0,n n C Y x C Y x C Y x +++≡x I ∈把上式写成纯量形式, 有111212112122221122()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++≡⎧⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ x I ∈这是关于12,,,n C C C 的线性齐次代数方程组，且它对任一x I ∈，都有非零解12,,,n C C C .根据线性代数知识，它的系数行列式W (x )对任一x I ∈都为零.故在I 上有W (x )≡0.证毕.对于一般的向量函数组, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数1(),0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22()0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是方程组(3.8)的n 个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒不为零. 证明(反证法) 如果有0x I ∈使得0()0W x =，考虑线性齐次代数方程组111021201012102220201102200()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式0()0W x =, 所以它存在非零解21(,,,)T T n C C C C =, 即1102200()()()0n n CY x C Y x C Y x +++=考虑函数 1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++由定理3.2知函数()Y x 是(3.8)的解，而且它满足初始条件0()0Y x ≡.另一方面，()0Y x ≡也是方程(3.8)的满足初值条件()0Y x =的解. 因此，根据定理3.1′有()0,Y x x I ≡∈即1122()()()0,n n CY x C Y x C Y x +++≡ x I ∈因为11,,,n C C C 不全为零，从而12(),(),,()n Y x Y x Y x 在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕. 由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论.推论3.1 如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点0x 处不等于零，即0()0W x ≠, 则向量组(3.10)在I 上线性无关.实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题.推论3.2 如果方程组(3.8)的n 个解的朗斯基行列式W (x )在其定义区间I 上某一点0x 等于零，即0()0W x =, 则该解组在I 上必线性相关.实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.推论3.3 方程组(3.8)的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.条件的充分性由推论3.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕．3. 一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n 个线性无关解称为它的基本解组. 显然基本解组对应的矩阵中基本解矩阵.例4 易于验证向量函数11()1,()1tx t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦222()1()2t x t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 是方程组 ,xy = 2y x y =+的基本解组.定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组.证明 由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件10200100010(),(),,(),000001n Y x Y x Y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x I ∈(3.11)的n 个解12(),(),,()n Y x Y x Y x . 由于它们所构成的朗斯基行列式()W x 在0x x = 处有010000100()100001W x ==≠因而，由推论3.3知 12(),(),,()n Y x Y x Y x 是基本解组.满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组. 标准基本解组对应的矩阵称为标准基本解矩阵. 显然, 标准基本解矩阵在0x=时的值为单位阵. 下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了.定理3.6 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++(3.12)是齐次方程组(3.8)的通解,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.证明 我们仅需证明如下两点.首先，由定理3.2，对任意一组常数12,,,n C C C ,(3.12)是齐次方程组(3.8)的解.其次，证明：对于任何满足初始条件(3.2)′的齐次方程组(3.8)的解()Y x ，都可找到常12,,,n C C C ,使得1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++为此，作方程组11022000()()()()n n C Y x C Y x C Y x Y x +++=或写成纯量形式11102120101012102220202011022000()()(),()()(),()()(),n n n n n n n nn n C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(3.13)这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解12(),(),,()n Y x Y x Y x 的朗斯基行列式()W x 在0x x =处的值，由定理3.4知0()0W x ≠，从而方程组(3.13)有唯一解21(,,,)T T n C C C C =令1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++显然，()Y x 是(3.8)的一个解，且与()Y x 满足同一个初始条件，由解的唯一性，()()Y x Y x ≡定理得证.推论3.4 线性齐次方程组(3.8)的线性无关解的个数不能多于n 个.实际上，设121(),(),,()n Y x Y x Y x +是(3.8)的任意n +1个解. 现任取其中n 个解，如果它们线性相关，这时易证n +1个解当然也线性相关.如果它们线性无关，从而构成(3.8)的基本解组，由定理3.6，余下的这个解可由基本解组线性表出，这就说明这n +1个解是线性相关的.至此，我们证明了一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n 维线性空间. 4．刘维尔公式齐次方程组(3.8)的解和其系数之间有下列联系. 定理3.7 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组(3.8)的系数有如下关系式11220[()()()]0()()xnn x a t a t a t dtW x W x e+++⎰=(3.14)这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.证明 仅证n = 2情形，n 的情形类似．11111222211222()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （3.15）设11121()(),()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12222()()()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是（3.15）的两个解，它们的朗斯基行列式11122122()()()()()y x y x W x y x y x =1112111221222122()()()()()()()()()dy x dy x y x y x dW x dx dx dy x dy x dxy x y x dxdx=+因为12(),()Y x Y x 分别是（3.15）的解，所以有 11111112212121112221()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ,12111212222221122222()()()()dy a x y a x y dx dy a x y a x ydx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩分别代入()dW x dx中，然后对每一个行列式进行化简，第一个行列式的第二行乘以12()a x -再与第一行相加，第二个行列式的第一行乘以21()a x -再与第二行相加，具体计算如下1111122111121222111221222111222121122222()()()()()a y a y a y a y y x y x dW x y x y x a y a y a y a y dx++=+++1111111211121122212222212222()()()()()()a y a y y x y x a a W x y x y x a y a y =+=+即1122()[()()]()dW x a x a x W x dx=+11220[()()]()xx a t a t dtW x ce+⎰=或11220[()()]0()()xx a t a t dtW x W x e+⎰=在代数学中，1()nkkk ax =∑称为矩阵()A x 的迹，记作()trA t ，因此刘维尔公式可表为0()0()()xx trA t dtW x W x e⎰=从公式（3.14）可以有显看出，齐次方程组（3.8）的几个解所构成的朗斯基行列式()W x 或者恒为零，或者恒不为零． 本讲要点：1． 一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间．2． 向量函数组和向量解组相关性判定 向量函数组 向量解组线性相关()0W x ⇒≡ 线性相关()0W x ⇔=线性无关0()0W x ⇐≠ 线性无关()0W x ⇔≠3． 齐次线性方程组通解基本定理解空间是n 维线性空间．4． 刘维尔公式解与系数关系．作业：练习3.3 1., 2., 3.。
一阶线性常微分方程组
一阶线性常微分方程组
一阶线性常微分方程组:
1.什么是一阶线性常微分方程组？
一阶线性常微分方程组是一组由若干一阶常微分方程组成的系统，这些方程采用同一组参数，其解可以由另一组函数作为其近似解。
2.一阶线性常微分方程组的性质
(1)一阶线性常微分方程组的性质是指当函数f(x)为一阶常数时，方程本身满足常数性。
(2)一阶线性常微分方程的的形式可以用dy/dx=bg(x)来表示，其中b 为常数，g(x)为函数。
(3)一阶线性常微分方程组的解是非线性的，因为它的解可以使用另一组函数替代d积分，以更快的速度解决问题。
3.一阶线性常微分方程组的应用
(1)一阶线性常微分方程组可用于解决复杂的物理、生物、经济和工程问题。
(2)一阶线性常微分方程组可以用于预测模型的动态变化。
(3)一阶线性常微分方程组可以用来描述复杂的流体力学系统的运动学。
(4)一阶线性常微分方程组可以用来分析复杂的社会系统变化。
(5)一阶线性常微分方程组可以被应用到生态学系统中，以研究物种及其数量在时间变化上的变化。
(6)一阶线性常微分方程组可以用于测量复杂系统中多种不同参数相互作用的结果，以更好的理解非线性的数据。
(7)一阶线性常微分方程组可以用于估计序列数据的运动趋势及其变化规律。
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
一阶线性微分方程组的解法新探
解＝ ） 一
收稿 日期 ： ０ ９ ０－ ６ ２ ０ － ８ １
通信作者 ： 阳凌云 （ ９ ７ ，男 ，湖南湘潭人 ，湖南工业 大学理学 院教授 ，主要研究方向为分析学及其应用 ， １４ 一）
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＿
第１ 期
阳凌云 ，符云锦
阳凌云 ，符云锦
（ 湖南工业大学 理学院 ，湖南 株洲 ４ ２０ １０ ８）
摘 要 ：探讨 了一阶线性 自治非 齐次微分 方程组 的特 解 ， 以及一 阶线性 齐次微 分 方程组的基 本解组 的求解
问题 ，并提 出新 的特殊 解 法 ，从 而得到 其通 解 。 关 键词 ：微 分方程 组 ；特 解 ；基本 解组
（＝ ］ ） ］ ； Ｇ） ｒ ［（ ［（］ （ 。 ］（ ｅ ＋ ， ＋ ＋
下 根 定 可 出 方 组 特 。 学 理１求 原 程 的 个 解 因
ｄｔ ＝ ｅ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｅ ｔ ａｅ ｒｉｕ ａ ｏｕ ｉｎｓｏ ｒｔｏ ｄ ｒ ｉ ｅ ｕｏ ｏ ｕ ｏ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｉｆ ｒｎ ｉｌ ｑ ｔ ｎ ｎ ｓｒ ｃ ：Ｉ ｖ ｓｉ ｔｓｐａｔｃ ｌｒｓ ｌｔｏ ｆｆ ｓ－ ｒ ｅ ｎ ａ ａ ｔｎ ｍｏ ｓｎ ｎ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｕａ ｏ ｓａ ｄ ｇ ｉ ｌ ｒ ｅ ｉ ｔ ｅｂ ｓｃ ｓ ｔ ｆｓ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒｆｒｔｏ ｄ ｒｌｎ ａ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓｄｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａｉ ｎ ． ｄ ｐ ｏ ｏｓ ｓａｎ ｗ ｐ ｃａ ｔ ｏ ｈ ａ ｉ ｅ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｓ— ｒ ｅ ｅ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｉｆ ｒ ｎｉ ｌ ｕ ｔｏ ｓ Ａｎ ｒ ｐ ｅ ｅ ｓ ｅ ｉｌｍｅ ｈ ｄｔ ｏ ｉ ｉ ｒ ｅ ｏ
常微分方程(二)_51 认识线性微分方程组_513 一阶线性微分方程组解的概念_
dt
若有n维向量函数 u(t) 在区间 t 上满足方程组（5.1）
即 u(t) A(t)u(t) f (t) 称向量函数 u(t) 是方程组（5.1）在区间 [α, β] 上的一个解 。
一阶线性微分方程组解的意义
连续: bij (t) ui (t) 在区间 a t b 连续。
可微: bij (t) ui (t) 在区间 a t b 可微。
B(t) (bij (t))nn u(t) (u1(t), u2 (t),,un (t))T
可积: bij (t) ui (t) 在区间 a t b 可积。
1
0
et
et
因此 u(t) 是给定初值问题的解。
e0
u(0)
e0
1 1
举例
例2 验证向量函数
et tet
u(t
)
c1
0
c2
e
t
是方程组
x
1 0
1 1 x
的通解。
解 先验证 u(t) 是给定方程的解。
u(t)
et
c1
0
c2
et et
tet
cc12eett
c2
(t
1)et
1 0
11
c1
et
0
c2
te et
t
1 0
1 1
cc12eett
c2tet
cc12eett
c2
(t
1)et
举例
再验证任意常数的独立性。
et tet
u(t
)
c1
0
c2
et
特殊结构的一阶线性微分方程组的解法
特殊结构的一阶线性微分方程组的解法一阶线性微分方程组是数学分析中重要的一类问题，也是研究计算数学及其应用的重要内容。
特殊结构一阶线性微分方程组，是一阶线性微分方程组的一种重要特例，其主要特点是函数表达式中函数参数乘数系结构保持完整，可以显示出显示某种特殊规律，更易于分析和解决问题。
本文将重点介绍特殊结构一阶线性微分方程组的求解方法。
首先，根据题目的要求，我们不妨先来假定有以下特殊结构的一阶线性微分方程组：$frac{dy}{dx} + P_1y+ P_2y=Q$,中$P_1,P_2$是常数项。
首先，这里我们可以用变量变换方法，对方程组做一下变换。
我们可以把上述方程变换成$$[frac{dy}{dx}-P_2y]/P_1y=[Q-P_2y]/P_1y,$$其中$[Q-P_2y]/P_1y$是一个常数，此时方程变为线性微分方程的常微分方程，这样就可以得到解析解：$y=Ce^{P_2x}$,中$C$为一个任意常数。
这里，我们可以通过变量变换方法对微分方程组做一些简化，然后再采用积分方法求解，这样就可以得到一般解：$$y=frac{Q-P_2y}{P_1}e^{-P_2x}+Ce^{-P_2x}$$其中$C$为一个任意常数。
除了以上两种求解方法，我们还可以用通解方法来求解特殊结构一阶线性微分方程组。
这种方法先分析当P_1=0,P_2=0时特殊结构一阶线性微分方程组的通解，再分析当P_1≠0,P_2≠0时特殊结构一阶线性微分方程组的通解，并由此得到特殊结构一阶线性微分方程组的一般解。
还有一种求解的方法是依据特殊结构的特性，使用相关的线性变换，将特殊结构的一阶线性微分方程组转换成一般的一阶线性微分方程组，再使用一般的积分法及解析法来求解。
这种求解方法中，可能存在精度问题，需要慎重考虑。
总之，求解特殊结构的一阶线性微分方程组，就要综合运用变量变换法，积分法，通解法和相关线性变换法，以及所涉及的其它数学方法，综合掌握它们的使用方法，从而能够解决特殊结构的一阶线性微分方程组问题。
第十二章 第2节 一阶微分方程
2cos x C, 2
为所求解.
7
例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子
的含量 M 成正比 ,已知 t = 0 时铀的含量为M 0 , 求在衰变
过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意 , 有
dM dt
M
( 0)
M t0 M 0 (初始条件)
17
例6 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C, 原方程的通解为 y tan( x C) x.
x
u xu 2u2 u , 1u u2
14
1u 3u2 2u
u2 u3
du
1 x
dx
,
两端积分
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
利用初始条件,得 C 1 ln ( mg ) ,
代入上式后化简,
得特解
k v
m
g
(1
e
k m
t
)
k
说明:
lim
t
v
m
g
k
, 跳伞后阶段接近于等速运动9 .
二、 齐次方程
形如
d y (y)
dx x
一阶线性微分方程组解析
第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
一阶微分方程组矩阵求解方法
一阶微分方程组矩阵求解方法引言：微分方程组是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
一阶微分方程组矩阵求解方法是解决微分方程组的一种有效途径。
本文将介绍一阶微分方程组矩阵求解的基本原理和方法。
一、基本概念：1. 线性微分方程组：由一系列线性微分方程组成的方程组。
2. 矩阵：由一组数按一定规律排列成的矩形阵列。
3. 矩阵乘法：矩阵A与矩阵B相乘得到的新矩阵C，满足C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
二、一阶微分方程组矩阵表示：对于一个含有n个未知函数的一阶微分方程组，可以将其表示为矩阵形式，即：dx/dt = Ax其中，x是一个n维列向量，A是一个n×n的矩阵，t是自变量。
三、一阶微分方程组矩阵求解方法：1. 特征值与特征向量法：通过求解矩阵A的特征方程和特征向量，可以得到一阶微分方程组的通解。
具体步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程：det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
（2）求解特征方程得到的特征值。
（3）对每个特征值，求解(A-λI)x=0得到对应的特征向量。
（4）将特征向量按照一定规律组合，得到一阶微分方程组的通解。
2. 线性代数方法：利用矩阵的行列式、逆矩阵和矩阵乘法等基本性质，可以求解一阶微分方程组。
具体步骤如下：（1）将一阶微分方程组表示为矩阵形式dx/dt = Ax。
（2）求解矩阵A的行列式，若行列式不为零，则矩阵可逆。
（3）若A可逆，则方程组的通解为x = e^(At)C，其中C为任意常数列向量。
（4）若A不可逆，则方程组的通解为x = e^(At)(C1 + tC2)，其中C1和C2为任意常数列向量。
四、实例分析：考虑一个简单的一阶微分方程组：dx/dt = 2x + ydy/dt = -3x + 4y将其表示为矩阵形式，得到：dX/dt = AX其中，X = [x, y]是一个二维列向量，A是一个2×2的矩阵，具体形式为：A = [2 1-3 4]根据特征值与特征向量法或线性代数方法，可以求解出该方程组的通解。
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
一阶线性微分方程
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
一阶线性微分方程
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。 例 3．求微分方程组 = z + x 的通解 。 ． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得： 解 ： 由第一个方程和第二个方程得 ： = ( x y ) ， dt
则称方程组（ ） 齐次的， 若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的 非齐次的。 否则称为非齐次的。
则称方程组（ ） 若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。 一阶常系数线性微分方程组。
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e t ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
作
业
习 题 七 （P249） P249）
特殊结构的一阶线性微分方程组的解法
特殊结构的一阶线性微分方程组的解法
字来描述：
一阶线性微分方程组是由一阶常微分方程组构成的系统，其中每条方程都是一个一阶常微分方程，每条方程都可以用代数形式简单表示，只有一个未知函数及其一阶偏导数。
一阶线性微分方程组的解是满足所有方程条件的实数函数，满足整个系统的一组通解，可用来表示一个特定的状态方程。
特殊的一阶线性微分方程组由一个以上的未知变量组成，即每个变量都是独立的，且每个变量的偏导数由同样的函数组成，但可以取不同的参数，因此特殊的一阶线性微分方程组的解法有其特殊性。
要求解一个特殊的一阶线性微分方程组，首先需要对其特征方程进行分析，即将特征方程改写成特征方程的通解型。
具体而言，首先将方程组中的函数，偏导数和常数项，用适当的方法统一起来，并将其转换为一般化的“参数-未知量”形式；然后使用不同的参数来构建不同的特征方程，计算其特征组；最后，结合每个特征方程，会形成一个线性方程组，再使用回归分析方法，即可求得特殊一阶线性微分方程组所需要的解。
最后，要指出的是，由于特殊的一阶线性微分方程组有特殊结构，应该特殊对待，因此应当使用特殊的解法来处理该类问题。
高数下册 第七章 第四、五节 一阶线性方程全微分方程
2) 再解定解问题
y′ + y = 0 , x > 1
y x =1 = y(1) = 2 − 2e−1
此齐次线性方程的通解为 y = C2e−x ( x ≥ 1) 利用衔接条件得 C2 = 2(e − 1) y = 2(e − 1) e−x ( x ≥ 1) 因此有 3) 原问题的解为 2(1 −e−x ), 0 ≤ x ≤ 1 y= −x 2(e − 1) e , x ≥ 1
4.求微分方程 x ln xdy + ( y − ln x)dx = 0 满足条件 求微分方程 1 1 y = (ln x + ) y x=e = 1 的解。 2 ln x 19
= 0 的解。 x 1 y= − 2 x
2
x y′ + y = xex 满足条件 y x=1 = 1的特解。 5.求微分方程 1 1 x −1 x 1 6. y = x ln x − x y= e + x x 3 9 1 6.求微分方程 xy′ + 2 y = xln x , y x=1 = − 求微分方程 的特解。 的特解。 9 y 1 7.过点 ( , 0 ) 且满足关系式 y′ arcsin x + 1 − x2 = 1 过点 1− 2 1 yarcsin x = x − 的曲线方程为 2 的一个解， y = ex 是微分方程 x y′ + p( x) y = x 的一个解，则 8.设 设
1 2y + − 3x = 0 y
21
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 求下列微分方程的通解: 1、 1、 y ′ + y cos x = e − sin x ； 2、 2、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0 ； dy 2 3、 3、( y − 6 x ) + 2 y = 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 1、 + y cot x = 5e cos x , y π = −4 ； x= dx 2
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。