计算机图形学-自由曲线与曲面解读

工业产品的几何形状大致可分为两类： 一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥 面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函 数完全清楚地表达全部形状。 另一类由自由曲面组成，如汽车车身、飞机机 翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初等解 析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新 的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算 机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。
参数变量规格化
t [0 1]
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曲线曲面的表示形式
直线的表示形式： 已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标 P2（x2，y2） 直线的显式方程表示为：
y 2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
直线的隐函数方程表示为：
y 2 y1 f ( x) y y1 ( x x1 ) 0 x2 x1
t [0,1]
参数方程的矢量和矩阵表示
矢量表示：
p(t ) at bt ct d
3 2
t 0,1
矩阵表示：
p(t ) t

3
t
2
a b t 1 t 0,1 c d

参数表示的优点
几何直观
几何意义明显：参数的几何意义明显
7.1.4 曲线曲面的表示形式
曲线曲面可以采用显式方程、隐函数方程和参 数方程表示 显式方程表示 y f ( x) 不能表示封闭的多值曲线 隐函数方程表示
f ( x, y ) 0
易于表示点与线的关系
非参数表示方法的缺点
与坐标轴相关
控制多边形
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7.1.3曲线曲面的表示要求
在计算机内表示曲线 曲面，其形状的数学 描述应保留产品形状 的尽可能多的性质。 满足要求：
惟一性 几何不变性 易于定界 统一性 易于光滑连接 几何直观
惟一性
形状定义 由已给定的有限信息，决定形状是惟一的。
几何不变性
当用有限的信息决定图形时，（如4点决定一条 3次曲线）当这些点的相对位置固定后，形状也 就固定，不应该随坐标系更改而改变 如果采用的数学方法不具有几何不变性，则不 同测量坐标系测得的同一组数据点，会得到不 同的拟合曲线
几何不变性
易于定界
工程中，曲线曲面的形状总是有界的，形状的 数学描述应该易于定界 可用参数方程表示
7.1 基本概念 7.2 三次样条曲线/曲面 7.3 Bezier曲线/曲面 7.4 B样条曲线/曲面
基本概念
曲线 规则曲线——可用曲线方程式表示的曲线。 不规则曲线——不能确切给出描述整个曲线 的方程，而是由从实际测量中得到的一系列 离散数据点采用曲线拟合的方法来逼近的。 这类曲线也称之为自由曲线。
统一性
能统一表示各种形状及处理各种情况（包括特 殊情况）。如曲线描述，用统一的形式表示平 面曲线、空间曲线。 统一性的高要求是，用统一的数学形式既能表 示自由型曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲 面，建立统一数据库，便于形状信息的传递和 产品数据交换。
易于光滑连接
单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状， 需要将若干线段连接成为光滑曲线（曲面片连 接为组合曲面），其连接必须是光滑的。
直线的参数方程表示为：
x x1 ( x2 x1 )t y y1 ( y 2 y1 )t
参数方程
三次曲线参数方程表示：
x(t ) a x t 3 bx t 2 cxt d x 3 2 y ( t ) a t b t c yt d y y y z (t ) a t 3 b t 2 c t d z z z z
插值与逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线 曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列
曲线的拟合
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插值与逼近
曲线曲面的逼近：用一组控制点来指定曲线曲 面的形状时，求出的形状不必通过控制点列
曲线的逼近
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插值与逼近
求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值 。 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制 多边形或特征多边形。
7.1.2 插值和逼近
离散点近似决定曲线曲面 交互控制的方法生成曲线曲面: 画控制点； 看看曲线的生成结果； 调整控制点直到最佳。 型值点——指通过测量或计算得到的曲线或曲 面上少量描述其几何形状的数据点。 控制点——指用来控制或调整曲线曲面形状的 特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@gmail.com
第七章
我们需要曲线曲面?
Geri
Geri’s model
Geri’s game
Leabharlann Baidu
3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾
Bezier曲线和B样条曲线
Bezier曲面和B样条曲面
第7章 曲线和曲面
图7-1 汽车的曲面
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的 形状。采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。 绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各型值 点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线 ，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交 样条曲线来描述。
斜率无穷大问题，作为参数不可以
难以表示非平面曲线曲面 不便于计算和编程序
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曲线曲面的表示形式
参数方程表示
x x(t ) y y (t )
矢量表示
p(t ) [ x(t ) y(t )] p(t ) [ x(t ) y(t )]
参数曲线的切矢量或导函数