GeoStudio非饱和渗流关键问题探讨

土水特性曲线对于研究非饱和土的物理力学特性至关重要。根据土水 特性曲线可以确定非饱和土的强度和渗透系数，甚至可以确定地下水 面以上水分分布。因此，研究含水量对非饱和土力学性质的影响，就 是研究非饱和土力学性质与基质吸力以及土水特性曲线的相互关系。
土水特性曲线的研究，起源于土壤学和土壤物理学。当时主要着重于 天然状态下表层土壤吸力的变化、土壤的持水特性及水分运动特征的 研究，基质吸力值一般小于100kPa。
⎢⎣1
φ1
O
φm
L
O L
φ1n φ2n
⎤ ⎥ ⎥
M
φmn
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎧1⎫
{ }A
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
A1 M
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎧θ ⎨⎩θs
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡θ1
⎢⎣
θs
θ2 θs
L
θm ⎤T θs ⎥⎦
⎩⎪ An ⎭⎪
一、非饱和土特性
4、利用约束优化模型求解土水特征曲线-2
Ri ( A) = 1 + ϕi A1 + L + ϕin An −θi
{ } θ = F (ϕ ) = C (ϕ )
θs
1
Ln[e + (ϕ / α )n ] m
C(ϕ ) = 1 − Ln(1 + ϕ / ϕr )
Ln(1 + 106 / ϕr )
公式中，体积含水量的取值范围为：θ ∈[0,θs ] ，基质吸力的取值范围
为：ϕ ∈[0,ϕmax ] ，ϕmax 为土体含水量 θ =0时，所能达到的最大基质吸力。由 此可见，公式适用于全吸力范围的任何土类。但公式形式较为复杂， 给实际应用者带来诸多不便。
θ /θs
1.00 0.96 0.91 0.82 0.72 0.58 0.44 0.33 0.28 0.22 0.10
kr
1 0.975 0.937 0.525 0.225 0.075 0.037 0.025 0.012 0.000 0.000
θ = 1＋0.042241ϕ − 0.03824ϕ 2 + 0.014413ϕ3＋0.005239ϕ 4＋0.000346ϕ5 θs
般工程需求。
一、非饱和土特性
2、土水特征曲线数学模型-5
比较上面已有的土水特征曲线数学模型不难发现，体积含水量都是基 质吸力的函数，不妨考虑应用Taylor级数展开式将它们写成统一的模 型，并推导出以基质吸力为变量的土水特征曲线通用表达式。由于上 述四类数学模型的右项都是关于基质吸力的函数，可以写成：
一、非饱和土特性
4、利用约束优化模型求解土水特征曲线-4
体积含水量
0.3
试验数据
0.25
多项式约束模型
Van Genuchten模型
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
基质吸力（k P a ）
θ
=
0.01 +
0.29
⎡⎣1+ (ϕ
) 2.2
⎤ 2.9 0.7 ⎦
一、非饱和土特性
2、土水特征曲线数学模型-2
Van Genuchten通过对土水特征曲线的研究，得出非饱和土体含水量 与基质吸力之间的幂函数形式的关系式：
θ −θr θs −θr
=
F
(ϕ
)
=
[1
+
1
(ϕ α
)n
]m
式中：α ，n ，m为拟合参数，其中 m = 1−1 n ，符号意义同前。
公式中，体积含水量的取值范围为：θ ∈[θr ,θs ] ，基质吸力的取值范围 为 θ ∈[θr ,θs ]。公式适用与描述基质吸力变化范围为 ϕ ∈[0,ϕr ] 的土水特
征曲线。
一、非饱和土特性
2、土水特征曲线数学模型-3
土水特征曲线的分形模型基于土体质量分布具有分形特征，以及孔隙 数目与孔径之间的具有分形关系的认识。依据分形孔隙数目与孔径之 间关系和Young-Laplace方程得到分形模型的通用表达式：
θ −θr θs −θr
=
F
(ϕ
)
=
⎜⎜⎝⎛
ϕ ϕb
⎟⎟⎠⎞ Dv
二、非饱和渗流基本理论
2、非饱和流动基本方程
质量守恒是物质运动和变化普遍遵循的原理，将质量守恒原理具体应 用在多孔介质中流体的流动即可得到渗流的连续性方程。将达西定律 和连续性方程相结合，就可以得到水流运动的基本方程。
( ) −
⎡ ⎢
∂
(
ρ
vx
)
+
∂
ρvy
+
∂
(
ρ
vz
)
⎤ ⎥
ΔxΔyΔz
=
∂
( ρnΔxΔyΔz)
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汇报题目：非饱和渗流关键问题探讨
罗红明 中国科学院武汉岩土力学研究所
2010年6月
汇汇报报提提纲纲
一、非饱和土特性 二、非饱和渗流基本理论 三、非饱和数值求解关键问题 四、降雨数值分析中几个问题 五、应用实例分析
一、非饱和土特性
1、土水特征曲线
基质吸力直接影响着非饱和土的力学性质。对于非饱和土体，其基质 吸力的大小则是土体含水量的函数。非饱和土的基质吸力随着含水量 的变化而变化，含水量和基质吸力的关系曲线称为土水特性曲线。
码为i，j，k，以逆时针编码为正向，如图所示。
y
y k(xk,yk)
k j
i
x
i(xi,yi)
j(x j,yj)
x
二、非饱和渗流基本理论
1、非饱和渗流有限单元法
在建立各单元的方程时，首先要假定一种插值函数式近似表达单元内 任意点的未知变量分布。对二维渗流问题，较多的是采用简单的线性 插值函数，设三角形单元ijk内的水头为一次多项式，表达如下
∑[ ] ( ) k
(θ
) i
=
ks ksc
30T 2
μ gη
ξp
n2
m j =i
2 j + 1 − 2i
h−2 i
③VG（Van Genuchten） 渗透系数预测模型
Van Genuchten 于1980年提出了模型来描述水力渗透系数作为土介 质的基质吸力的函数形式：
( ( ) ) kw
=
k s
0
c
△x
c'
Vz
b
Vy
△z
d
ya
b' Vx
d' △y a'
x
二、非饱和渗流基本理论
1、非饱和渗流有限单元法
对二维问题划分的单元为多边形的面单元，常用的有三角形单元、四 边形单元，其中三角形单元适应不规则边界的特点较强，计算比较简 单。考虑此特点，本文用三角形单元来分析。如图所示所示，二维域 离散为有限个三角形单元。任取其中的一个三角形单元，设其结点编
θ = F(ϕ )
θs
θ −θr = F(ϕ )
θs −θr
黄润秋等将公式上述几种模型在处展开为Taylor级数：
θ θs
=
F(ϕb )+ F′(ϕb )(ϕ
−ϕb) +
F′′(ϕb ) (ϕ
2!
− ϕb )2
+ …… +
F
(n) (ϕ
n!
b
)
(ϕ
−
ϕ
b
)n
+ Qn (ϕ)
一、非饱和土特性
2、土水特征曲线数学模型-5
∑ ∑ ∑ E(A) =
m
ωi
R2 i
(
A)
=
m ωi ⎜⎜⎛1 +
n
ϕij Aj
−θi
⎟⎞2 ⎟
i =1
i=1 ⎝ j =1
⎠
对于求解这样的多项式也是比较麻烦的事情，我们借助excel工具提供 的“规划求解”工具能够很好的解决这个问题，“规划求解”原理同上，这 样我们在实际计算中不需要求目标函数即可求得我们所要求的系数
∑N θ (ey ) − θ (ψ ) θ ′ (eyi )
∑ kw = ks
i= j N
e yi
θ
(ey
)
−
θ s
θ
′ ( eyi
)
i= j
e yi
一、非饱和土特性
3、非饱和渗透系数数学模型-2
②Green & Corey 渗透系数预测模型 Green & Corey于1971年根据他们的土水特征曲线预测模型又提出了 非饱和渗透系数预测模型，而且经过应用检验对于大多实际工程应用 有足够的精度，其控制方程为：
表达式。为了提高多项式拟合土水特征曲线的精度，可以增加多项式 的项数，同时选取的样本应该具有代表性。
一、非饱和土特性
3、非饱和渗透系数数学模型-1
对于非饱和多孔介质来说，其渗透系数为饱和度和体积含水量的函 数，由于Байду номын сангаас积含水量和饱和度与基质吸力之间的关系可以用土水特征
曲线来体现，渗透系数也是基质吸力的函数。下面简要介绍几种渗透
z
⎢⎣ ∂x
∂y
∂z ⎥⎦
∂t
∂θ
∂t
=
∂ ∂x
⎡⎢⎣k
(θ
)
∂H ∂x
⎤ ⎥⎦
+
∂ ∂y
⎡⎢k (θ
⎣
)
∂H ∂y
⎤ ⎥
+
⎦
∂ ∂z
⎡⎢⎣ k (θ
)
∂H ∂z
⎤ ⎥⎦
∂θ = ∇[k(θ )∇H ]
∂t
∂θ ∂t
=
∂ ∂x
⎢⎣⎡k
(θ
)
∂H ∂x
⎤ ⎥⎦
+
∂ ∂y
⎡ ⎢⎣k
(θ
)
∂H ∂y
⎤ ⎥⎦
近年来，由于非饱和土力学理论在斜坡稳定性评价以及降雨型滑坡预 测等方面的广泛应用，对非饱和土的土水特性曲线进行了更加深入的 研究。
一、非饱和土特性
2、土水特征曲线数学模型-1
Fredlund等通过对土体孔径分布曲线的研究，用统计分析理论推导出 适用于全吸力范围的任何土类的土水特征曲线的表达式：
−3
公式中，体积含水量的取值范围为：θ ∈(θr ,θs ]，基质吸力的取值范围
为 ϕ ∈[ϕb,ϕr ) 。公式适用于描述基质吸力变化范围为 ϕ ∈[ϕb,ϕr ) 的土水
特征曲线。实际上，公式也是一种幂函数形式的数学模型。
一、非饱和土特性
2、土水特征曲线数学模型-4
包承纲等通过对非饱和土气相形态的研究和划分，认为在实际工程应 用中，只有部分连通内部两种气相形态需要着重研究。对照Fredlund 等的土水特征曲线（Fredlund的公式），发现该曲线在进气值和残余 含水量两个特征点之间近乎为一条直线。于是用对数方程来表征土水 特征曲线，并将其简化为：
非饱和土中空气占有孔隙的形状可视为与固相介质相似，土可以处理 为一种减小含水量的饱和土，从而饱和土中的Darcy定律同样可以适 用于非饱和土中。
υ = −k(h)∇H
υ = −k(θ )∇H
通常，Darcy定律对于饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势 能梯度成正比。
在饱和土中，水压力为正值，总水头为压力水头与重力水头之和；在 非饱和土中，基质势为负值，土水势在只考虑重力势和基质势，而不 考虑其他势时，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
假设存在一个由基质吸力表达多项式，能最大程度接近非饱和带含水 量特征。则其可以写成
θ θs
=
A0 + A1ϕ + A2ϕ 2 + …… + Anϕ n
θ θs
= 1 + A1ϕ + A2ϕ 2 + …… +
Anϕ n
上式中体积含水量的取值范围为： θ ∈[0,θs ] ，基质吸力的取值范围
为 ϕ ∈[0,ϕmax ]。也就是说多项式是非饱和土水关系曲线的通用数学模型
θ −θr = F (ϕ ) = lgϕr − lgϕ
θs −θr
lgϕr − lgϕb
公式中，体积含水量的取值范围为：θ ∈[θr ,θs ]，基质吸力的取值范围 为 ϕ ∈[ϕb,ϕr ]。上式适用于描述基质吸力变化范围为ϕ ∈[ϕb,ϕr ] 的土水特
征曲线。上式较公式前面的几个数学模型大为简化，其精度能满足一
h = PT (x) ⋅ a = α1 + α2x + α3 y
⎧⎪hi ⎨hj
= α1 = α1
+ α2 xi +α2x
一、非饱和渗流基本理论
4、利用约束优化模型求解土水特征曲线-3
h（cm） ϕ （kPa）
0
0
-5
-0.5
-10
-1
-15
-1.5
-20
-2
-25
-2.5
-30
-3
-35
-3.5
-40
-4
-50
-5
-100
-10
θ
0.3 0.289 0.274 0.245 0.216 0.174 0.133 0.1 0.085 0.067 0.03
系数函数的预测模型。
①Fredlund 渗透系数预测模型
Fredlund于1994年提出了他的渗透系数拟和方法，利用Fredlund& Xing法，通过沿整个体积含水量函数进行积分即可得到渗透系数函 数，一般的有限元程序中假设残余含水量为饱和含水量的10％，整个 基质吸力范围为0～106kPa，但它对砂土的预测精度要比粘性土高。 其控制方程为：
⎡⎣1 − (αψ n−1 ) ⋅
1 + (αψ
1 + (αψ )n m / 2
)n
⎤ − m l ⎦
一、非饱和土特性
4、利用约束优化模型求解土水特征曲线-1
如果用n次多项式拟合土水特征曲线（m≥n），求解多项式系数的方 程组写成矩阵形式为
[ϕ
]{A}
=
⎧θ ⎩⎨θ s
⎫ ⎬ ⎭
⎡1
[φ
]
=
⎢⎢1 ⎢⎢M
汇汇报报提提纲纲
一、非饱和土特性 二、非饱和渗流基本理论 三、非饱和数值求解关键问题 四、降雨数值分析中几个问题 五、应用实例分析
二、非饱和渗流基本理论
1、非饱和土体水流动的Darcy定律
处于非饱和状态下的土体水和饱和土体水一样，也遵循热力学第二定 律，水分从水势高处自发地向水势低处运动。一般认为，适用于饱和 水流动的Darcy定律在很多情况下也适用于非饱和土体水分的流动。