非线性半参数EV模型的经验似然置信域
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明了经验似然方法在参数 的置信域精度及其覆盖概率大小方面优于最小二乘方法．
§ 方法 与主要结 果 ２
假设记录数据｛ ， ， ） 是来自 五 ｌ 模型（ 和（） １ ３的一组独立同分布的可观测随机样本， ） 即
２ ｒ ，＋（ ＋ 【 ＝ 夕 ） ， ） 正 ｚ』 （
归模型． 在实 际操作 中， 协变量 ， 往往 不能直接 观测到 或不能被 准确地测 出， 所能观 测到 的是 受 了误差干扰 的变量 和Ｚ， 即
Ｕ ＝Ｘ Ｕ － ４ ，
Ｚ＝Ｔ ４ ｅ ， －
收 稿 日期 ： ０ ８１ ．３ ２ ０ －１０
（） ２
（） ３
基 金项 目：国家 自然科 学基 金（０ ７０ ３； 京 市 自然 科 学基 金（１２０ ） １８ １１） 北 １０ ０８；高等 学校 博 士 学科 点专 项科 研基 金（０ ７０ ５０ ）北京市属市管高等学校人才强教计划； ２０ ００ ０３； 北京工业大学 自然科学基础研究基金； 北京工业大学博士启动 基金和河 南省教育厅 自 然科 学研 究（０８ ｌ００ ） ２０ Ｂ １０ ９
时， 崔恒 建［在假定 ， ￡ ４ 】 ，均服 从正态 分布的条件下证 明了参数分量 的强相 合性和渐近正态性，
并给 出了非参数分量 的强一致收敛速度． 留根【借 助于核实数据， 薛 ５ ］ 利用经验似然方法得到 了参
数 的置信域．
本文 在协 变量 带有测 量 误差， （ ） 的 非线 性 函数情 况下， 于模 型（） 用 且ｆｘ， 是Ｘ， 基 １利
通 信 作 者 ， － ｉ ｉａ ｒ ｎ ＠ｇ ｉｃ ｍ Ｅ ｍａｌ ｇ ｏｏ ｇ ｍａｌ ｏ ：ｌ ．
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ５ 期
通常称这种带有变量误差的模型称为Ｅ （ ｒｒ ｉ ｖｒ ｂ ｓ Ｖ ｅ ｏｓｎ ａｉ ｌ ） ｒ — — ａ ｅ 模型， 也称为测量误差模型． 对协 变量 带有测量误差 的情况 已有许 多文献讨论． 如， （ ） Ｘｒ 例 当ｆＸ， ＝ 时， ｉ ｇ ｋ 】 Ｌａ ￣Ｊ［在测量 ｎ １
摘
要 ：考虑非参数协 变量 带有测量误差的非 线性 半参数 模型， 构造 了模 型 中未知参
数 的 经验 对 数 似 然 比 统 计 量 ， 测 量 误 差 分 布 为普 通 光 滑 分 布 时， 明 了所 提 出的 统 在 证
计量具 有渐近 分布， ０ 由此 结果可 以用来构造未知参数 的置信域． 另外也构造 了未知 参数的最小二乘估计量， 并证明 了它的渐近性质． 就置信域及其覆盖概率 大小方面， 通 过模 拟研 究比较 了经验似然方法与最小二 乘法的优 劣．
关键 词： 测量误差； 线性半参数模型； 非 经验似然； 普通光滑； 置信域 中图分类号： ２ ２７ Ｏ １．
文献标识码： Ａ
文章编号：００ ４４２ １）１ ０３１ １０— ２（ ００— ５．１ ４ ０ ０
§ 引 言 １
在 许多实 际问题 中， 响应变量 与某 些协变量 是通过 回归参数 函数 相关， 与其它变量 的关 而
高校应用数学学报
２１， ５１： ３６ ００ ２（） ５—３
非 线性 半 参数 Ｅ 模 型 的经 验 似然 置 信域 Ｖ
冯三营 李高荣 ， 薛 留根 陈 放３ ， ，
（． 阳师 范学 院 数学科学学院， １洛 河南洛阳 ４ １ ２ ； ． ７ ０ ２ ２ 北京工业 大学 应 用数理学 院， 北京 １０ ２ ０ １４ ３ ．广州南洋理工 学院 基础部， 东广州 ５ ０ ８ ） 广 １９ ０
Ｏ ｅ ［７ ｗ ｎ － 提出的经验似然方法 构造模型中未知参数 的置信域． ６１ 经验似然方法是 构造置信域的
一
个有效的方法， 已被 许多统计学者应用到 了各种模型．例如， ｕ等人【构造 了线性Ｅ Ｃｉ ８ 】 Ｖ回归模
型 中未知参数 的经验 似然置信域； ｉ Ｌ等人［提 出了广义经验似然 方法研究 了具有纵 向数据 的半 ９ 】
误差 向量协方差 阵 已知 的情 形下， 获得 了诸 多参 数和非参 数估计及其渐 近性质．Ｌ￣Ｘｕ ［利 ｉ ｅ】 ２ 用纠偏 的经验似然构造 了模 型中兴趣 参数 的置信域． 崔恒建【在 ， ３ 】 ｙ有重 复观 测的情 形下讨 论
了 的估计及其渐近性质， 并得到 了非参数估计的最优收敛速度． ， ， 是Ｘ， 当． ） 的非线性函数 （
系却不容易参数化． 在这种情形下， 人们 自然会考虑如下非线性半参数 回归模 型：
ｙ ＝ｆＸ， ４ｇＴ） Ｅ （ ） － （ ４ ， －
（） 百度文库
其中ｙ 为实值响应变量， （ ・ 已知可测函数， （是定义于闭区间【 １ ，・） ，为 ９・ ） ０ 】 ， 上的未知光滑函数． 是ｄ 维随机变量， 是取值于【 １ ０ ］ ， 上的随机变量， 是随机模型误差， ∈０ 未知参数 ￡ 为ＰＸ１ 向量．模 型（） 一类非 常广 泛 的模 型， （ ）＝ １是 当ｌｘ， 时， 该模 型 即为 部 分线 性 回归模 型； 当ｇ ） 时， （ ＝０ 该模 型即为非线 性回归模 型； 厂 ） Ｘ ＪｇＴ ＝０ 该模 型即为线性回 当． ， ＝ （ ｉ ｆｔ （ ） 时，
参数回归模型； ｈ 等人 【】 Ｚｕ ｌ 构造 了部分线性单指标回归模型 中未知参数的经验似然置信域 ． ０ 本文利用经验似然方法构造 了非线性半参数Ｅ Ｖ模型（） ３中未知参数 的经验对数似然比 １和（） 统计量， 在适当条件 下证明了所提 出的统计量具有渐近× 分布， ０ 并利用所得结果构造 了参数 的 置信域． 另外， 本文也用最小二乘法构造 了 的估计量， 并证 明了它 的渐近性质 ． 通过模拟研究说
＋ｅ・ ｉ
（ ４ ）
其中｛ ） 是相互独立的模型误差， （ ）＝ ０ Ｖ ｒ ｉ ＝ ￡ ｌ ＲＥｅ ｉ ， ａ（ ） ＜ ∞，ｉ １２… ， ． ｅ ＝ ，， ｎ 测 量误差｛ｔ 独立同分布， ｅ １ ） 服从均值为０ 方差为 的已知分布． ｛ 五 ， ， ） 互独立， ， 且ｅ 与（ ￡ 相 ｔ 与（ ， ） 相互独立 ．
§ 方法 与主要结 果 ２
假设记录数据｛ ， ， ） 是来自 五 ｌ 模型（ 和（） １ ３的一组独立同分布的可观测随机样本， ） 即
２ ｒ ，＋（ ＋ 【 ＝ 夕 ） ， ） 正 ｚ』 （
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Ｕ ＝Ｘ Ｕ － ４ ，
Ｚ＝Ｔ ４ ｅ ， －
收 稿 日期 ： ０ ８１ ．３ ２ ０ －１０
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基 金项 目：国家 自然科 学基 金（０ ７０ ３； 京 市 自然 科 学基 金（１２０ ） １８ １１） 北 １０ ０８；高等 学校 博 士 学科 点专 项科 研基 金（０ ７０ ５０ ）北京市属市管高等学校人才强教计划； ２０ ００ ０３； 北京工业大学 自然科学基础研究基金； 北京工业大学博士启动 基金和河 南省教育厅 自 然科 学研 究（０８ ｌ００ ） ２０ Ｂ １０ ９
时， 崔恒 建［在假定 ， ￡ ４ 】 ，均服 从正态 分布的条件下证 明了参数分量 的强相 合性和渐近正态性，
并给 出了非参数分量 的强一致收敛速度． 留根【借 助于核实数据， 薛 ５ ］ 利用经验似然方法得到 了参
数 的置信域．
本文 在协 变量 带有测 量 误差， （ ） 的 非线 性 函数情 况下， 于模 型（） 用 且ｆｘ， 是Ｘ， 基 １利
通 信 作 者 ， － ｉ ｉａ ｒ ｎ ＠ｇ ｉｃ ｍ Ｅ ｍａｌ ｇ ｏｏ ｇ ｍａｌ ｏ ：ｌ ．
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ５ 期
通常称这种带有变量误差的模型称为Ｅ （ ｒｒ ｉ ｖｒ ｂ ｓ Ｖ ｅ ｏｓｎ ａｉ ｌ ） ｒ — — ａ ｅ 模型， 也称为测量误差模型． 对协 变量 带有测量误差 的情况 已有许 多文献讨论． 如， （ ） Ｘｒ 例 当ｆＸ， ＝ 时， ｉ ｇ ｋ 】 Ｌａ ￣Ｊ［在测量 ｎ １
摘
要 ：考虑非参数协 变量 带有测量误差的非 线性 半参数 模型， 构造 了模 型 中未知参
数 的 经验 对 数 似 然 比 统 计 量 ， 测 量 误 差 分 布 为普 通 光 滑 分 布 时， 明 了所 提 出的 统 在 证
计量具 有渐近 分布， ０ 由此 结果可 以用来构造未知参数 的置信域． 另外也构造 了未知 参数的最小二乘估计量， 并证明 了它的渐近性质． 就置信域及其覆盖概率 大小方面， 通 过模 拟研 究比较 了经验似然方法与最小二 乘法的优 劣．
关键 词： 测量误差； 线性半参数模型； 非 经验似然； 普通光滑； 置信域 中图分类号： ２ ２７ Ｏ １．
文献标识码： Ａ
文章编号：００ ４４２ １）１ ０３１ １０— ２（ ００— ５．１ ４ ０ ０
§ 引 言 １
在 许多实 际问题 中， 响应变量 与某 些协变量 是通过 回归参数 函数 相关， 与其它变量 的关 而
高校应用数学学报
２１， ５１： ３６ ００ ２（） ５—３
非 线性 半 参数 Ｅ 模 型 的经 验 似然 置 信域 Ｖ
冯三营 李高荣 ， 薛 留根 陈 放３ ， ，
（． 阳师 范学 院 数学科学学院， １洛 河南洛阳 ４ １ ２ ； ． ７ ０ ２ ２ 北京工业 大学 应 用数理学 院， 北京 １０ ２ ０ １４ ３ ．广州南洋理工 学院 基础部， 东广州 ５ ０ ８ ） 广 １９ ０
Ｏ ｅ ［７ ｗ ｎ － 提出的经验似然方法 构造模型中未知参数 的置信域． ６１ 经验似然方法是 构造置信域的
一
个有效的方法， 已被 许多统计学者应用到 了各种模型．例如， ｕ等人【构造 了线性Ｅ Ｃｉ ８ 】 Ｖ回归模
型 中未知参数 的经验 似然置信域； ｉ Ｌ等人［提 出了广义经验似然 方法研究 了具有纵 向数据 的半 ９ 】
误差 向量协方差 阵 已知 的情 形下， 获得 了诸 多参 数和非参 数估计及其渐 近性质．Ｌ￣Ｘｕ ［利 ｉ ｅ】 ２ 用纠偏 的经验似然构造 了模 型中兴趣 参数 的置信域． 崔恒建【在 ， ３ 】 ｙ有重 复观 测的情 形下讨 论
了 的估计及其渐近性质， 并得到 了非参数估计的最优收敛速度． ， ， 是Ｘ， 当． ） 的非线性函数 （
系却不容易参数化． 在这种情形下， 人们 自然会考虑如下非线性半参数 回归模 型：
ｙ ＝ｆＸ， ４ｇＴ） Ｅ （ ） － （ ４ ， －
（） 百度文库
其中ｙ 为实值响应变量， （ ・ 已知可测函数， （是定义于闭区间【 １ ，・） ，为 ９・ ） ０ 】 ， 上的未知光滑函数． 是ｄ 维随机变量， 是取值于【 １ ０ ］ ， 上的随机变量， 是随机模型误差， ∈０ 未知参数 ￡ 为ＰＸ１ 向量．模 型（） 一类非 常广 泛 的模 型， （ ）＝ １是 当ｌｘ， 时， 该模 型 即为 部 分线 性 回归模 型； 当ｇ ） 时， （ ＝０ 该模 型即为非线 性回归模 型； 厂 ） Ｘ ＪｇＴ ＝０ 该模 型即为线性回 当． ， ＝ （ ｉ ｆｔ （ ） 时，
参数回归模型； ｈ 等人 【】 Ｚｕ ｌ 构造 了部分线性单指标回归模型 中未知参数的经验似然置信域 ． ０ 本文利用经验似然方法构造 了非线性半参数Ｅ Ｖ模型（） ３中未知参数 的经验对数似然比 １和（） 统计量， 在适当条件 下证明了所提 出的统计量具有渐近× 分布， ０ 并利用所得结果构造 了参数 的 置信域． 另外， 本文也用最小二乘法构造 了 的估计量， 并证 明了它 的渐近性质 ． 通过模拟研究说
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（ ４ ）
其中｛ ） 是相互独立的模型误差， （ ）＝ ０ Ｖ ｒ ｉ ＝ ￡ ｌ ＲＥｅ ｉ ， ａ（ ） ＜ ∞，ｉ １２… ， ． ｅ ＝ ，， ｎ 测 量误差｛ｔ 独立同分布， ｅ １ ） 服从均值为０ 方差为 的已知分布． ｛ 五 ， ， ） 互独立， ， 且ｅ 与（ ￡ 相 ｔ 与（ ， ） 相互独立 ．