第7章 期权价值上下限

• 推论
– P > p＝c+Xe-r(T-t)－S＝ C+Xe-r(T-t)－S – C－P < S－Xe-r(T-t)
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美式看涨与看跌期权价格关系
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金X 组合B：一份美式看跌期权，施权价X，加上一份股票
• 时点τ
– 如果组合B执行了看跌期权，那么价值为X – 组合A的价值为现金Xer(τ-t)加上看涨期权价值
• 到期时
– 如果ST>X，则组合A和组合B的价值均为ST – 如果ST≤X，则组合A和组合B的价值均为X
• 所以组合A与组合B的价值相等，即
c＋ Xe-r(T-t) ＝p＋ S
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示例
• 某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有一 年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和1.00 元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合期权 平价公式，如果不是，你将如何进行套利？
• 现货价格
– 对于看涨期权来说，现货价格越高，期权价格就越高。 – 对于看跌期权来说，现货价格越高，期权价格越低。
• 施权价
– 对于看涨期权来说，施权价越高，期权价格越低。 – 对于看跌期权来说，施权价越高，期权价格越高。
3
期限与现货价格的波动性
• 到期期限
– 对于欧式期权来说，期限越长对期权价格的影响不确 定。
– 对于美式期权来说，期限越长对期权的拥有者越有利 。
• 价格的波动性
– 期权规避了不利风险，同时保留了有利风险。 – 价格波动性越剧烈，期权价格也越高。
4
无风险利率与红利
• 无风险利率
– 无风险利率是资金的成本，或者说是持有现货的机会成本。 – 无风险利率越高，预期的现货价格就越高。 – 但是无风险利率越高，未来利润折现值也越低。 – 两种因素综合，无风险利率越高，看涨期权的价格越高，看跌期
• 到期时
– 如果ST≥X，组合A和组合B的价值都是Der(T-t) +ST – 如果ST<X，组合A的价值为Der(T-t) +X，组合B的价值
为Der(T-t) +ST – 所以组合A的价值大于组合B
c + D + Xe-r(T-t) >S，从而， c > S－D－ Xe-r(T-t)
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红利的影响
• 到期时
– 如果ST≥X，组合A和组合B的价值都是ST – 如果ST<X，组合A的价值为X，组合B的价值为ST – 所以组合A的价值大于组合B
c + Xe-r(T-t) >S，从而， c > S－ Xe-r(T-t)
9
示例
• 假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18 元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问 该看涨期权的最低价值是多少？假如该期权目前报 价3.00元，你将如何操作进行套利？
• 期权价格下限
– 欧式看涨期权的下限变为S－D－ Xe-r(T-t) – 欧式看跌期权的下限变为D＋ Xe-r(T-t) － S – 美式看涨期权的下限变为不确定，但高于欧式期权 – 美式看跌期权的下限也是不确定，高于欧式期权
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红利的影响
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，加上现金D +Xe-r(T-t) 组合B：一份股票。
• 对于一个美式看跌期权来说，
P≥X－S≥ Xe-r(T-t) －S
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美式看跌期权价值与股票价格
看跌期权价值
施权价
A
施权价
股票现货价格
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欧式看跌期权价值与股票价格
看跌期权价值
施权价 Xe-r(T-t)
B
施权价
股票现货价格
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5. 期权平价公式
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t) 组合B：一份欧式看跌期权，加上一份股票
－
＋
－
＋
6
假设与符号
• 假设
– 不存在交易成本。 – 所有交易盈利都适用同一税率。 – 投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。
• 符号
– S: 当期股票价格 – X：施权价格 – T：期权到期的时点 – t：当期时点 – ST：时点T的股票价格 – r：无风险利率
– σ：股票价格波动的标准差
• 股票价格的波动性
– 指股票价格变动的剧烈程度，可以用方差/标准差来衡量。
• 无风险利率
– 一般用3月期国债利率来代替，指无风险投资的收益或者借贷的成本。
• 期权有效期内的股票红利
– 作为交割品的现金流入，红利会引起股票价格下跌。
2
现货价格与施权价
• 期权到期时的利润：
– 看涨期权＝Max（现货价格－施权价，0） – 看跌期权＝Max（施权价－现货价格，0）
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答案
该看涨期权的价值下限为
S－Xe-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71
该期权报价低于价值下限，因此可以采用下列策略套利：卖 空该股票，获得20元，买入看涨期权，支出3.00元，并将17 元按无风险利率借贷出去
到期时： 如果股票价格超过18元，以18元的价格施行期权，回补空头 ，利润为17e0.1－18＝0.79； 如果股票价格低于18元，则以市价回补空头，利润为17e0.1 －股票市价>0.79。
中国看涨权证定价错误幅度
*定价错误幅度定义为内在价值与权证价格的差占内在价值的比例。样本为2008年6月30日前到期 的32只权证日数据。
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定价错误幅度与权证期限
12.00% 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% 0.00% 49 45 41 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 离到期所剩周数
买入正股并卖空（创设）权证
可行
0%
认购权证价格<下限
卖空正股并买入权证
不可行
29.35%
认沽权证价格>上限
卖空（创设）权证
可行
0.15%
认沽权证价格<下限
买入权证并买入股票
可行
0.25%
*本比例的计算方法为出现定价错误的观测值总数除以总观测数。样本为2008年6月30日前到期的 32只权证日数据。
15
– c,C：欧式及美式看涨期权价值 – p,P：欧式及美式看跌期权价值
7
2. 期权价格的上下限
• 看涨期权上限
– 看涨期权给予持有人按照一定价格在将来购买特定股票的权利。 – 看涨期权的价值＝PV（股票价格）－PV（施权价） – 所以看涨期权的价值小于当期的股票价值，即
c≤S， 同时， C ≤S
• 看跌期权上限
p + S > D+Xe-r(T-t) ，从而， p > D +Xe-r(T-t) － S
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欧式期权平价公式
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，加上现金D +Xe-r(T-t) 组合B：一份欧式看跌期权，加上一份股票
• 到期时
– 如果ST>X，则组合A和组合B的价值均为Der(T-t) +ST – 如果ST≤X，则组合A和组合B的价值均为Der(T-t) + X
– 看跌期权给予持有人按照一定价格在将来卖出特定股票的权利。 – 看跌期权的价值＝PV（施权价）－PV（股票价格） – 所以看跌期权的价值小于施权价的现值。
p ≤Xe-r(T-t)，同时，P ≤X
8
欧式看涨期权的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t) 组合B：一份股票。
*定价错误幅度定义为内在价值与权证价格的差占内在价值的比例。样本为2008年6月30日前到期 的32只权证日数据。
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示例：五粮YG(030002)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
485
442
397
357
309
271
231
193
146
107
65
20
离到期日数
权证调整后价格
权证调整后内在价值
一年后： 如果股价低于24元，则执行期权获得24元，并偿还贷款本息 ，利润为：24－21e0.1＝0.79； 如果股票价格高过24元，则不执行期权，将股票卖掉并偿还 本息，利润为：股价－21e0.1>0.79。
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中国市场的权证定价错误
定价错误类型
即期套利操作
中国市场是否可行 比例*
认购权证价格>上限
12
示例
• 假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为 24元，离到期还有一年时间，无风险利率为10% ，问该看跌期权的最低价值是多少？假如该期权 目前报价1.00元，你将如何操作进行套利？
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答案
该看跌期权的价值下限为：
Xe-r(T-t) － S＝24e-0.1－20＝1.71
该期权目前报价为1.00元，低于价值下限，因此可用下列策 略套利： 从市场上借入21元，以1.0元买入该期权，以20元购买股票A 。
– 如果股票价格高于20元，看跌期权不被执行，将所持 股票用于施权，获得20元，偿还贷款本息，利润＝20 －18e0.1＝0.11元。
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Hale Waihona Puke Baidu
美式看涨与看跌期权价格关系
• 条件
– 美式与欧式看涨期权价值相等，c = C – 美式看跌期权价值高于欧式看跌期权价值，P > p – 欧式期权平价公式：c + Xe-r(T-t)＝p +S
内容提要
• 1 影响期权价格的因素 • 2 期权价格的上下限 • 3 美式看涨期权价格的下限 • 4 美式看跌期权价格的下限 • 5 期权平价公式 • 6 红利的影响
1
1. 影响股票期权价格的因素
• 现货价格
– 指交割品在现货市场上的价格。
• 施权价
– 指期权约定的交割价格。
• 期权的期限
– 指当期到期权到期时点的时间长度。
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3. 美式看涨期权价格的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份美式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t) 组合B：一份股票
• 假设在时点τ，该期权被执行
– 组合A的价值为Sτ－X＋Xe-r(T-τ) – 组合B的价值为Sτ
• 如果是在时点T，期权才被执行
– 组合A的价值为Max(ST, X) – 组合B的价值为ST
权价格越低。
• 红利
– 作为交割品的现金流，派发红利会导致交割品价格下降。 – 预期红利支付越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。
5
影响期权价格的因素
因素
欧式看涨期权 欧式看跌期权 美式看涨期权 美式看跌期权
现货价格
＋
－
＋
－
施权价
－
＋
－
＋
期限
？
？
＋
＋
价格波动性
+
＋
＋
＋
无风险利率
+
－
＋
－
预期红利
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票 组合B：现金D + Xe-r(T-t) 。
• 到期时
– 如果ST < X，组合A和组合B的价值都是X+ Der(T-t) – 如果 ST ≥X ，组合A的价值为ST + Der(T-t)，组合B的价
值为X + Der(T-t) – 所以组合A的价值大于组合B
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欧式看跌期权的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票 S
组合B：现金Xe-r(T-t) 。
• 到期时
– 如果ST<X，组合A和组合B的价值都是X – 如果 ST ≥X ，组合A的价值为ST ，组合B的价值为X – 所以组合A的价值大于组合B
p + S > Xe-r(T-t) ，从而， p > Xe-r(T-t) － S
• 答案：
c＋Xe-r(T-t)＝3.00＋20e-0.1＝21.10；p＋S＝20＋1.00＝
21.00 显然上述数据不符合期权平价公式。
26
示例（续）
• 套利策略
– 卖出一份看涨期权获得3.00元，同时借入资金18.00元 – 以20元买入一份股票，同时以1元买入一份看跌期权。
• 到期时：
– 如果股票价格低于20元，看涨期权不会被执行，执行 看跌期权获得20元，偿还贷款本息，利润＝20－18e0.1 ＝0.11元；
• 到期时T
– 如果ST≤X，组合A的价值为Xer(T-t)，组合B的价值为X
– 如果ST>X，组合A的价值为ST－X+Xer(T-t)，组合B的价值为ST
• 因此组合A的价值大于组合B
C+X > P+S，从而，S－X < C－P
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6. 红利的影响
• 期权价格上限
– 对于看涨期权来说，上限仍然是S – 对于欧式看跌期权来说，上限仍然是Xe-r(T-t) – 对于美式看跌期权来说，上限是X
20
看涨期权价值与股票价格
看涨期权价值
施权价
股票现货价格
21
4. 美式看跌期权的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份美式看跌期权，施权价为X，加上一份股票 组合B：现金Xe-r(T-t) 。
• 假设在时点τ，该期权被执行
– 组合A的价值为X – 组合B的价值为Xe-r(T-τ) – 此时执行期权可能是合理的。
• 因此美式看涨期权的最佳执行时间为到期时点。
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美式看涨期权的价值
• 在股票不支付红利的情况下
– 美式看涨期权的最佳执行时间是到期日 – 一份美式看涨期权的价值与一份欧式看涨期权价值相等
• 解释
– 看涨期权提供了价值保障，而一旦提早施行期权，这份保 障的价值就变为0。
– 越晚施行期权，施权所需的现金越晚付出，从而节省了资 金成本。