第四章 ——第四次课自动控制理论

s 2 2s 0
据此，做出以 为参变量的根轨迹。 为了满足静态性能的要求，试取参 数 K1 = 20 ，则有 bs 1 2 0 s 2 s 20 上式中，开环传递函数的极点为 s = -1±j4.36。以 b 为参变量的根轨迹 如图所示。
由该图的坐标原点作一与负实轴成 45°角的直线，并与根轨迹相交于 点-3.15±j3.17。有根轨迹的幅值条 件，求得b = 4.3 = 20K2，即 K2 = 0.215。 由于闭环极点的实部 = -3.15，因 而系统的调整时间为
ts
4
zn

4

3s
这表示闭环极点的实部 必须小于-4/3。为了同时满足 z 和 ts 的要求，闭环极点位于下图所示的阴影区域内。
令 =K1, b =K2K1，则图所示系统的 闭环特征方程为 1 G(s) s 2 2s b s 0 令 b = 0，则上式变为
-1/T
K s
K s Ts 1
0
开环传递函数
根轨迹
j
K s T1 s 1T2 s 1
-1/T2
-1/T1
Байду номын сангаас
0 j 0 j
-1/T
K s2
K s 2 Ts 1
0
开环传递函数
K s 1 , T 2 s Ts 1
根轨迹
j
-1/T
1
0
控制系统的闭环零点是由开环传递函数中G(s)的零点和H(s)的极点 所组成的。而其极点与根轨迹增益K0有关。如果K0已知，就可沿 着特定的根轨迹分支，据幅值条件，用试探法求得闭环极点。 例：已知 Gs H s
K0 求K0=0.5时的闭环极点。 ss 1s 2
解： 在分离点s = -0.423处，由幅值条件 求得K0=0.385。由此可知，K0=0.5时，系 统有一对共轭复根和一个实根，经试探 法确定，当s3=-2.192时，K0≈0.5 一对共轭极点对应的多项式为
2、广义根轨迹的绘制 其余参变量 多个参变量 零度根轨迹
G s H s
K 0 s zi
i 1
m
s p
l 1 l
n
,n m
开环传递函数: 等效的开环传递函数 G s
2 s Ks 2 G1 s 2 闭环特征方程 s 1 2 s 4 0 : s s4 1 2 s 15 1 15 即 0 s 2 j 2 0s 2 j 2 1 2 1 G s H s s s 4
根据上式做出的根轨迹如图所示。 由劳斯判据求得该系统稳定的临 界增益 K0=12，此值与未增加零 点前的值一样大小。 当K>12，根轨迹中有两条分支进 入s的右半平面，这表明该附加零 点对系统根轨迹的影响较小。 系统的动态性能不会因此有明显 地改善。
（2）假设零点-b位于-1 ~ -3的实轴上，为了便于作图。令b=1.2
s s 1 s 2 0.5 s 3 3s 2 2s 0.5 s 2.192 s 2.192 s 2 0.808s 0.229
令 s2+0.808s+0.229=0 s2,3= -0.404 ± j0.256 系统的闭环传递函数为
C s 0.5 R s s 2.192 s 0.404 2 0.2562
第四章 根轨迹法
• • • • • • 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 非最小相位系统的根轨迹 增加开环零、极点对根轨迹的影响 用根轨迹分析控制系统
复习
1、常规根轨迹的绘制
1 G s H s 0
K0 : 0 ~
为条件稳定系统。
开环零、极点的位置，决定根轨迹的形状，而根轨迹 的形状又与系统的控制性能相关，因此在控制系统设计中， 一般就用改变系统的零、极点配置的方法来改变根轨迹形 状，以达到改善系统控制性能的目的。
• 一、增加开环零点对根轨迹的影响
例1 、系统的开环传递函数为： 当K由0≦变化时，系统的根轨迹如图所示。 若增加一个开环零点 -b，则开环传递函数变为
K1 G( s) s( s 2 K1K 2 )
图4-35 控制系统
相应的静态误差系数
由题意得
Kv
K1 2 K1K2
1 2 K1K2 ess 0.35 Kv K1
由上式可知，若要满足系统的稳态误差的要求，K2必须取值较 小，K1必须取值较大。 在s的左半平面上，过坐标原点作一与负实轴成 45°角的直线， 在此直线上闭环系统的阻尼比 z 均为0.707。 要求调整时间
（3）假设零点-b位于0 ~ -1的实轴上，为了便于作图。令b=0.4
K ( s 0.4) G( s) H ( s) s( s 1)( s 3)
根据上式做出的根轨迹如图所示。 i) 当K由0 ~ ∞变化时，系统的根 轨迹都位于s平面的左方，因而 系统总是稳定的。 ii) 当K > K1，闭环极点是一对共 轭复数极点s1与s2和一个实极点 s3。但由于s3距离虚轴较近，因 而相应的瞬态分量衰减的很缓慢， 导致系统的输出响应有较长的过 渡时间。 这是一般控制系统所不希望的。
4 s s 1 2
K0 : 0 ~
1）根轨迹全部位于虚轴的左边，意味着不管参数取何值，
闭环系统都是稳定的， 称为结构稳定系统。
2）根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边， 意味着不管参数
取何值，闭环系统都不可能稳定，称为结构不稳定系统。
3）系统没有一支根轨迹全部位于右半平面，根轨迹只要有 称 一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，
开环零点和极点是根轨迹的终点和起点，它们将根轨迹引 向右半平面，使系统稳定性变差。 （2) 左侧负实轴上新增加的零点和极点，距原点近的影响 较大。 增加右半平面的开环零点或极点？
第四章 根轨迹法
• • • • • • 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 非最小相位系统的根轨迹 增加开环零、极点对根轨迹的影响 用根轨迹分析控制系统
改善。
• 二、增加开环极点对根轨迹的影响
若在开环传递函数中增加一个开环极点 -p，则在根轨迹的相角方 程中相应地增加了一个负角度 -arg(s+p)，从而使系统的根轨迹向 右倾斜变化。这显然是不利于系统的稳定性及动态性能的改善。
-2
0
-4
-2
0
• 三、偶极子效应
闭环主导极点与偶极子
（1）闭环主导极点 如果系统中有一实数极点(或一对复数极点)距虚轴 最近，且其附近没有闭环零点；而其他闭环极点与虚轴 的距离都比这个（或这对）极点与虚轴的距离大5倍以 上，则此系统的瞬态响应可近似地视为由这个（或这对） 极点所产生。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅 持续时间最长，而且其初值幅值也大，充分体现了它在 系统响应中的主导作用，故称其这系统的主导极点。 （2）偶极子 一对靠得很近的闭环零、极点。
在开环传递函数上增加零点:
在原开环传递函数中增加开环零点，将使根轨迹产生 向左弯曲的倾向，因而对系统稳定性产生有利的影响。 在系统中增加微分作用，其实质是增加开环零点。 增加的开环零点于s平面实轴上的不同位置，它对系统 根轨迹所产生的影响是不同的。越靠近虚轴越显著。 对于某一具体的开环传递函数，只有选择合适的附加零 点，才有可能使控制系统的稳定性及动态性能得到显著地
1. 用根轨迹法确定系统中的有关参数
控制系统可供选择的参数不局限于开环增益 K 这一个参数。有 时，还需要对其它参数进行选择。这种情况，也可以用根轨迹 法求解。 例1. 设一反馈系统如图所示。试选择参数 K1 和 K2，以使得系 统同时满足下列性能指标的要求： 1）当单位斜坡输入时，系统的稳 态误差ess≤0.35； 2）闭环系统的阻尼比z ≥ 0.707； 3）调整时间ts≤3s 解：系统的开环传递函数
用根轨迹法分析 系统
√
典型传递函数的根轨迹
开环传递函数
根轨迹 j
K Ts 1
K T1 s 1T2 s 1
-1/T
0 j -1/T1 -1/T2 0
开环传递函数
K T1 s 1T2 s 1T3 s 1
根轨迹
j
-1/T3 -1/T2 -1/T1
0 j 0 j
ts 4


4 1.27 s 3s 3.15
在单位斜坡输入时，系统的稳态误差为
2 K1K 2 2 20 0.215 ess 0.315 0.35 K1 20
由此可见，参数 K1= 20，K2 = 0.215，能使系统达到预定的性能 要求。
2. 确定指定K0时的闭环传递函数
由根轨迹的相角方程可知，引入一 个开环零点-b，在相角方程中相应 地增加了一个正角度arg(s+b)，从而 使系统的根轨迹向左倾斜变化。 其变化后根轨迹的形状视所加零点 的具体情况而定。
（1）假设零点-b位于-3 ~ -∞的实轴上，为了便于作图。令b=5
K ( s 5) G(s) H (s) s( s 1)(s 3)
3. 确定具有指定阻尼比z 的闭环极点和单位阶跃响应
根据指定的阻尼比 z 值，有根轨迹图的坐标原点作一与负实轴夹
角为θ = arccosz 的射线。该射线与根轨迹的交点就是所求的一对 闭环主导极点，由幅值条件确定这对极点所对应的 K0 的值，并 据此确定闭环的其它极点。
本章小结
根轨迹的绘制
① 一般步骤 ② 八个规则 ③ 相角条件
K ( s 1.2) G( s) H ( s) s( s 1)( s 3)
根据上式做出的根轨迹如图所示。 由图可知，当K在0~∞范围内变 化时，系统总是稳定的。 当K > K1，系统总有一对距虚轴 较近的共轭复数极点s1与s2，另 一个为远离虚轴的实极点s3。 系统可以近似用极点s1与s2所描 述的二阶系统来表征。
j
K s3
0
例3: 系统的开环传递函数为：
K G( s) H (s) s( s 2)
讨论偶极子效应。 解：下面分别是原系统的根轨迹、增加一个极点p = -5后的根 轨迹和再增加一个零点z = -5.2后的根轨迹。
增加零、极点是系统校正常用的方法 注意：
（1) 不要企图增加位于右半平面的开环零点或极点，因为