第5章互感与变压器

5.1.3
耦合系数和同名端
1.耦合系数 两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与 它们之间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数 有关，并且取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。 我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用耦 合系数“K” 来表示：
M K L1L2
通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈， 所以一般情况下耦合系数 K<1； 若漏磁通很小且可忽略不计时：K=1； 若两线圈之间无互感，则 M=0，K=0 。 因此，耦合系数的变化范围：0 ≤ K ≤ 1
2.同名端
实际应用中，电气设备中的线圈都是密封在壳体 内，一般无法看到线圈的绕向，因此在电路图中常常 也不采用将线圈绕向绘出的方法，通常采用“同名端 标记”表示绕向一致的两相邻线圈的端子。如： * *
·
·
同名端统一用“· ”或“*”标识
同名端：同一变化电流在本线圈中产生的自感电压 和在另一线圈中产生的互感电压的实际极性相同端。 ♣ 电流同时由两线圈上的同名端流入(或流出)时， 两互感线圈的磁场相互增强；否则相互消弱。
L顺 18 0.057 2 50
反向串联时，线圈电阻不变，由已知条件可求出反向串 联时的等效电感：
L反 (
L反
U 2 60 ) R 2 ( ) 2 242 7 I反 2.4
+ * u1 L1 _
M
i2 * + L2 u2 _
i1 + * u1 L1 _
M L2 *
i2 + u2 _
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
1
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*
L2 uM2 uL2
i
*
L1
M
L2
uL1 uM1
uM2 uL2
*
i
*
L1
M
uL1 uM
1
*
L2 uM2 uL2
1. 两线圈顺串时，电流同时由同名端流入（或流出)， 因此它们的磁场相互增强，自感电压和互感电压同方 向，总电压为：
U U 1 U 2 ( jL1 I jM I ) ( jL2 I jM I ) j ( L1 L2 2 M ) I jL顺 I
－
d
由于线圈2中没有电流，因此L2上无自感电压。但 L1上有电 流，因此线圈2中有互感电压，根据电流对同名端的方向可 知，cd端的电压：
jMI U j 2 2 53.1o 100o U cd 1 ab 436.9o 10 13.410.3o V
3.确定同名端的方法 （1）在已知线圈绕向时，用右手螺旋法则确定 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出) 时，两个电流产生的磁场相互增强。 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时， 将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 当i1、i2分别由端纽a和d流入 （或流出）时，它们各自产 生的磁通相互增强，因此a端 和d端是同名端（b端和c端也 是同名端）；a端与c端（或b 端与d端）称异名端。
*
·
Δ
·
Δ
3 3'
判断下图两线圈的同名端。已知在开关S闭合 时，线圈2两端所接电压表的指针正偏。
S 1 *
M
开关S闭合时，电流由零增 US 大由1流向1'，由于线圈2与 － － 1' 线圈1之间存在互感，所以 当线圈1中的电流变化时，首先要在线圈1中引起一个 自感电压，这个自感电压的极性和线圈中的电流成关 联方向（吸收电能、建立磁场）； 由于两个线圈之间存在互感，所以线圈1中的电 流变化必定在线圈2中也要引起互感电压，这个互感 电压正是电压表所指示的数值，因电压表正偏，所以 互感电压的极性与电压表的极性相符，可以判断： 1和2 是一对同名端！

即两线圈反串时等效电感量为：
L反 L1 L2 - 2M
互感的测量方法
L顺 L1 L2 2M
L反 L1 L2 2M
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
例： 将两个线圈串联接到50Hz、60V的正弦电源上，顺向
第5章 互感与变压器
5.1 耦合 互感元件
5.3 变压器
5.2 耦合电路的 去耦等效
本章教学目的及要求
了解互感、耦合系数的含义，掌握具有互
感的两个线圈中电压与电流之间的关系； 理解同名端的意义，掌握互感线圈串联、 并联的计算及互感的等效； 理解理想变压器的概念、掌握含有理想变 压器电路的计算方法。
5.2 耦合电路的去耦等效
5.2.1 耦合线圈的串联 耦合线圈L1和L2相串联时有两种情况： (1)一对异名端相联，另一对异名端与电路相接， 此连接方法称为顺接串联（顺串），下左图所示； (2)一对同名端相联，另一对同名端与电路相接， 此连接方法称为反接串联（反串），下右图所示。
i *
L1 M
uL1 uM
例： 图示互感电路已处于稳态，t = 0 时开关打开， 求t >0+时开路电压u2(t)。 5 + – 40V 10 10 10 M=0.1H * 0.2H i * 0.4H u2
－
+
解： 副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t) 中只有互感电压。先应用三要素法求电流i(t)
40 1 i (0 ) i (0 ) 1A 10 // 10 15 2
uL1 i1
uM2
注脚中的12是说明线圈1的磁场在线圈2中的作用。
5.1.2
互感电压
通过两线圈的电流是交变 的电流，交变电流产生交变的 磁场，当交变的磁链穿过线圈 L1和L2时，引起的自感电压：
di1 di2 u L1 L1 ， u L2 L2 ， dt dt
L1
ψ1 uL1 i1 uM1
L2
ψ21 ψ2 ψ12
由图中所示参考方向可列出 两线圈端电压的相量表达式：
U 1 jX L1 I 1 jX M I 2 U 2 jX M I 1 jX L 2 I 2 XM M

uM2 i2 uL2
自感电压总是与本线圈中通过的电流取关联参考 方向，因此前面均取正号； 互感电压前面的正、负号要依据两线圈电流的磁 场是否一致。 如上图所示两线圈电流产生的磁场方向一致，因 此两线圈中的磁场相互增强，这时它们产生的互 感电压前面取正号；若两线圈电流产生的磁场相 互消弱时，它们产生的互感电压前面应取负号。
L2
ψ21 ψ2 ψ12
uM2 i2 uL2
两线圈套在同一个芯子上，因此它们电流的磁 场不仅穿过本线圈，还有相当一部分穿过相邻线圈， 因此这部分交变的磁链在相邻线圈中也必定引起互 感现象，由互感现象产生的互感电压：
uM1 di2 di1 M ， uM2 M dt dt
L1 ψ1 uL1 i1 uM1
uL
+
＋
2* + V 正偏 2' －
5.1.4
耦合电感元件及其伏安关系
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不 需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i 参考方向 即可。 M * i1 M
* +
* –
u21 –
di1 u21 M dt
* i1
u21 +
di1 u21 M dt
例： i1

即两线圈顺串时等效电感量为：
L顺 L1 L2 2M
i
*
L1
M
L2
uL1 uM1
uM2 uL2
*
2. 两线圈反串时，电流同时由异名端流入（或流出)， 因此它们的磁场相互消弱，自感电压和互感电压反方 向，总电压为：
U U 1 U 2 ( jL1 I jM I ) ( jL2 I jM I ) j ( L1 L2 2M ) I jL反 I
12 21 M M 12 M 21 i1 i2
练习：写出右图两线圈
端电压的解析式 和相量表达式。
ψ21
ψ2
ψ1 i1
ψ12 i2
uL1 uM1
uL2 uM2
互感现象的应用和危害
• 互感现象在电工电子技术中有着广泛的应用，变 压器就是互感现象应用的重要例子。 • 变压器一般由绕在同一铁芯上的两个匝数不同的 线圈组成，当其中一个线圈中通上交流电时，另 一线圈中就会感应出数值不同的感应电动势，输 出不同的电压，从而达到变换电压的目的。利用 这个原理，可以把十几伏特的低电压升高到几万 甚至几十万伏特。如高压感应圈、电压、电流互 感器等。 • 互感现象的主要危害：由于互感的存在，电子电 路中许多电感性器件之间存在着不希望有的互感 场干扰，这种干扰影响电路中信号的传输质量。
串联时的电流为2A，功率为96W，反向串联时的电流 为2.4A。 求：互感 M
解：顺向串联时，等效电感为 L顺 = L1+L2+2M
P I R
2
P 96 R 2 2 24 I顺 2
U I
Z R2 X 2 ， Z
U 2 60 2 2 L顺 ( ) R ( ) 242 18 I顺 2
例： 如图所示电路中，M=0.025H ，
i1 2 sin 1200 tA
I1
．
M ＋ * * U 21 －
求：互感电压u21
解：互感电压u21与电流i1的参考方向对同名端一致
di1 u21 M dt 其相量形式为：
U 21 jM I 1

．
I 1 10 A

U 21 jM I 1 j1200 0.02510 3090 V u21 30 2 sin(1200 t 90) V
t 0
0.2 0.01s 20
10 M=0.1H 10 * 0.2H * 0.4H u2
－
t
+
t
i ( ) 0

i(t ) i() [i(0 ) i()]e e

100t
A
di d 100t 100t u2 (t ) M 0.1 (e ) 10e V dt dt
5.1 耦合互感元件
5.1.1 互感现象
两个相邻的闭合线圈L1和L2，若一个线圈中的电 流发生变化时，在本线圈中引起的电磁感应现象称为 自感，在相邻线圈中引起的电磁感应现象称为互感。 在本线圈中产生的感应电压 称为自感电压，用uL表示； 在相邻线圈中产生的感应电 压称为互感电压，用uM表示。
L1 ψ1 L2 ψ12
（2）同名端的实验测定 + R
S 1i 1 i *
1’
2 * 2'
2
2’
V
+ –
1'
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di 0, dt
u22' M di 0 电压表正偏。 dt
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组， 要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加 以判断。
判断下列线圈的同名端
例：图示互感电路中，ab端加10V的正弦
电压，已知电路的参数为R1=R2=3Ω， ωL1=ωL2= 4Ω, ωM= 2Ω 。 a 求：cd端的开路电压 ＋ 解：当cd端开路时，线圈2中无电流，因此在
． U ab R 2 ． I 1 L 2
＋
c
+ -
MU M2
·
． U cd
L 1 R
1 线圈1中没有互感电压。以ab端电压为参 － b 考电压， o U 10 0 o ab U ab 10 0 V I 2 53.1o A 1 R1 jL1 3 j 4
互感电压中的“M”称为互感系数，单位和自感 系数 L 相同，都是亨利[ H ]。 由于两个线圈的互感属于相互作用，因此对任意 两个相邻的线圈总有：
互感系数简称互感，其大小只与相邻两线圈的几 何尺寸、线圈的匝数、相互位置及线圈所处位置媒质 的磁导率有关。互感的大小反映了两相邻线圈之间相 互感应的强弱程度。 L1 L2
1· * 1' i1
i2
2 · 2' *
1
2
假设电流同时由1和2流入， 两电流的磁场相互增强， 因此可以判断：1和2是一对同名端； 同理，1'和2'也是一对同名端。
判断下列线圈的同名端
*
1
1' 2 2'
线圈的同名端必须两两确定 1 和 2' 同时流入电流时产生的磁场方向 一致，是一对同名端； 2 和 3' 同时流入电流时产生的磁场方向 一致，也是一对同名端； 3 和 1' 同时流入电流时产生的磁场方向 一致，同样也是一对同名端。