3.平面与立体相交 PPT
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☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
1、平面与圆柱相交
截交线的形状有几种？
矩形
圆
椭圆
平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位 置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。
〔例1〕完成圆柱体被切后的左视图。
●
●
●
截交线的 ● ●
● ●
空间● 形状？
〔例1〕求作圆锥被Q与P平面截切的截交线投影
p
7'
q
5' 3' (6')
1' (4')
(2')
6" 4" 2"
7"
5" 3" 1"
24 6 7 5
13
Q
Ⅶ
Ⅵ
Ⅳ
Ⅴ
PⅡ
Ⅲ
Ⅰ
〔例2〕 求作圆锥被截切以后，截交线的投影
1'
4'
5'
2'
3'
1" 4" (5") 2"(3")
24 1 5 3
3、平面与球相交
6(3)
a2
验证结果 的正确性
例5 求出立体被截切后的三面投影。
s'
s"
4' 1' 6'(5') 3'
2'
4"
5"
3"
6" 1" 2"
d'
a' (c' )
b' c"
d"(b")
a"
c
65
d1
s4 b
23 a
验证结果 的正确性
二、平面与曲面立体相交
平面与曲面体相交，一 般情况下，截交线是由曲 线或曲线平与面直与线曲所面组体成相的交， 封闭一图般形情。况下，截交线是
Q P
投影分析
P面交线的H投影 为圆弧曲线 Q面交线的W投影 为圆弧曲线
〔例5〕 作出半圆球被切口以后交线的投影
1' (2') 2
2"
1"
1
综合举例 求作水平投影
p' 双曲线 q'
q"
p"
QP
先形体后交线
求求求与与与小大加圆圆圆深锥柱柱面面面的的的交交交线线线
四〔例、7立〕 求体作组圆锥合被Q截与切P平面截切以后，所截交线的投影
截由交平线面是曲截线平或面平与面回曲转线 体表和 形面直。的线共所有组线成。的封闭图
截交线截的交形线状的取形决状于取曲决 面体于的曲形面状体和表截面平的面形与状曲和 面体截的平相面对与位曲置面。体的相对
截位交置线。是曲面体和截平 面的共有截点交的线集是合曲。面体和
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
截交线的已知投影？
截交线的侧面投
★找影特是殊什点么形状？
●
●
★补充中间点
★光滑连接各点
★补全轮廓素线的投影
●
●
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
〔例2〕求圆柱体的截交线。
1'（2'
2"
3’（4'
4"
2(4
1"
解题步骤
一一））求求平平面面与与回回转转体体的的截截交交线线的的一一般般步步骤骤
⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交 线的已知投影，预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
的2"截1"交3"线2 4、3 5及2"4"、
b 3②"5"。
6(' 7' )
7"
3' (4' )
4"
2'
5'
5"
1'
e ' d ' a ' c ' b ' d("c" ) d 5 (4) c 7
6" 3"
2"
例题4 求作正五棱柱被截
切后交线的三面投影图。
1" e"(b" ) a"
Ⅶ Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
1
e
b
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 θ=90° 90°＞θ＞α
两相交直线 圆
椭圆
θ＝α 0°≤θ＜α 抛物线 双曲线
求正垂面截切圆锥的投影。
P
椭圆是短什轴么的点投？影 P
截交线分析 截交线投为影椭分圆析 截检交查线投影仍 外为形椭轮圆廓线投影
椭圆画法 外特形殊轮点廓线 投中影间终点止点 截光交滑线连投接影曲线 虚交实线分可界见点性
s"
5"
4"
例题3 求三棱锥正面
投影被Q、P 两面截切 以后交线的三面投影。
1' 2'(3')
3" 1"2"
a'
b 'c' c" a" b"
c 作作作图图图步步步骤骤骤：：：
a 1
3
5
s
2 4
②①③然作加后水粗作平可正截截见面面轮QP与廓与a线正's'’垂的面交点
△1',B又C与S交正出截正面垂P交线于4'（2'（5'）3 '，）， 并并对对应应在在△asb上cs求上出求1出，4且5，过1 在作△底b边"ca"bs"及上a求c的出平4"行5"线。1在2作和1 截3，面其P与侧△面A投B影S及积△聚A成C直S交线出
3.平面与立体相交
【例1】四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。
S
S
采
3
四边形
3
用
●
(4)
4●
● 2
线
2
面ห้องสมุดไป่ตู้
1
●
交
1
点
法
4●
1
3
●
●
S
●2
1) 空间分析： 截平面与立体的几个棱面相交？
2) 投影分析： 截交线的形状？
3) 求截交线 检查:尤其注意检查 截交线投影的相仿性
4) 补全棱线的投影
【例2】 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
虚实分界点
〔例5〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影
a'
b'
a"( b" )
a
b
AB
2、平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
PV
θ PV
PV
θ
α
PV
θ= 90° 过锥顶
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ PV α
α
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与 圆锥面的交线有五种形状。
1 分析 截交线的水平投影
为直线和部分圆，侧面投影
为矩形；
3" 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3 顺次连接各点，作出截
交线并判别可见性；
4 整理轮廓线。
1(3
〔例3〕由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。
1' (2') 3 ' (4')
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
(4)2 (3)1
〔例4〕 求左视图。
圆
圆球的截交线总是圆。
由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投 影可能是圆、椭圆或直线。
例题：求圆球被截切后的水平和侧面投影
分析：截交线的正面投影为直线，其余两投影为椭圆，可利用 球面上作点的方法作出椭圆上的点。 1 求特殊点：
2 求中间点： 3 依次平滑连接各点； 4 整理投影图
平面与圆球面相交其截交线均为圆
Pv
1
4
Qv
a´
S
2
(3) (c´) 3"
b´ c" c
3
4
s
a
1
2
S"
解题步骤:
1"
1)分析: 截平面为
正垂面和水平面
，正面投影有积
聚性；
4" 2" 2)求出点1、2、
a"
b" 3、4；
3)顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见；
4)补全轮廓线。
1.平面与棱锥相交
s'
p'
q'
4'(5')
S"
见性。
1、平面与圆柱相交
截交线的形状有几种？
矩形
圆
椭圆
平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位 置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。
〔例1〕完成圆柱体被切后的左视图。
●
●
●
截交线的 ● ●
● ●
空间● 形状？
〔例1〕求作圆锥被Q与P平面截切的截交线投影
p
7'
q
5' 3' (6')
1' (4')
(2')
6" 4" 2"
7"
5" 3" 1"
24 6 7 5
13
Q
Ⅶ
Ⅵ
Ⅳ
Ⅴ
PⅡ
Ⅲ
Ⅰ
〔例2〕 求作圆锥被截切以后，截交线的投影
1'
4'
5'
2'
3'
1" 4" (5") 2"(3")
24 1 5 3
3、平面与球相交
6(3)
a2
验证结果 的正确性
例5 求出立体被截切后的三面投影。
s'
s"
4' 1' 6'(5') 3'
2'
4"
5"
3"
6" 1" 2"
d'
a' (c' )
b' c"
d"(b")
a"
c
65
d1
s4 b
23 a
验证结果 的正确性
二、平面与曲面立体相交
平面与曲面体相交，一 般情况下，截交线是由曲 线或曲线平与面直与线曲所面组体成相的交， 封闭一图般形情。况下，截交线是
Q P
投影分析
P面交线的H投影 为圆弧曲线 Q面交线的W投影 为圆弧曲线
〔例5〕 作出半圆球被切口以后交线的投影
1' (2') 2
2"
1"
1
综合举例 求作水平投影
p' 双曲线 q'
q"
p"
QP
先形体后交线
求求求与与与小大加圆圆圆深锥柱柱面面面的的的交交交线线线
四〔例、7立〕 求体作组圆锥合被Q截与切P平面截切以后，所截交线的投影
截由交平线面是曲截线平或面平与面回曲转线 体表和 形面直。的线共所有组线成。的封闭图
截交线截的交形线状的取形决状于取曲决 面体于的曲形面状体和表截面平的面形与状曲和 面体截的平相面对与位曲置面。体的相对
截位交置线。是曲面体和截平 面的共有截点交的线集是合曲。面体和
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
截交线的已知投影？
截交线的侧面投
★找影特是殊什点么形状？
●
●
★补充中间点
★光滑连接各点
★补全轮廓素线的投影
●
●
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
〔例2〕求圆柱体的截交线。
1'（2'
2"
3’（4'
4"
2(4
1"
解题步骤
一一））求求平平面面与与回回转转体体的的截截交交线线的的一一般般步步骤骤
⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交 线的已知投影，预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
的2"截1"交3"线2 4、3 5及2"4"、
b 3②"5"。
6(' 7' )
7"
3' (4' )
4"
2'
5'
5"
1'
e ' d ' a ' c ' b ' d("c" ) d 5 (4) c 7
6" 3"
2"
例题4 求作正五棱柱被截
切后交线的三面投影图。
1" e"(b" ) a"
Ⅶ Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
1
e
b
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 θ=90° 90°＞θ＞α
两相交直线 圆
椭圆
θ＝α 0°≤θ＜α 抛物线 双曲线
求正垂面截切圆锥的投影。
P
椭圆是短什轴么的点投？影 P
截交线分析 截交线投为影椭分圆析 截检交查线投影仍 外为形椭轮圆廓线投影
椭圆画法 外特形殊轮点廓线 投中影间终点止点 截光交滑线连投接影曲线 虚交实线分可界见点性
s"
5"
4"
例题3 求三棱锥正面
投影被Q、P 两面截切 以后交线的三面投影。
1' 2'(3')
3" 1"2"
a'
b 'c' c" a" b"
c 作作作图图图步步步骤骤骤：：：
a 1
3
5
s
2 4
②①③然作加后水粗作平可正截截见面面轮QP与廓与a线正's'’垂的面交点
△1',B又C与S交正出截正面垂P交线于4'（2'（5'）3 '，）， 并并对对应应在在△asb上cs求上出求1出，4且5，过1 在作△底b边"ca"bs"及上a求c的出平4"行5"线。1在2作和1 截3，面其P与侧△面A投B影S及积△聚A成C直S交线出
3.平面与立体相交
【例1】四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。
S
S
采
3
四边形
3
用
●
(4)
4●
● 2
线
2
面ห้องสมุดไป่ตู้
1
●
交
1
点
法
4●
1
3
●
●
S
●2
1) 空间分析： 截平面与立体的几个棱面相交？
2) 投影分析： 截交线的形状？
3) 求截交线 检查:尤其注意检查 截交线投影的相仿性
4) 补全棱线的投影
【例2】 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
虚实分界点
〔例5〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影
a'
b'
a"( b" )
a
b
AB
2、平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
PV
θ PV
PV
θ
α
PV
θ= 90° 过锥顶
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ PV α
α
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与 圆锥面的交线有五种形状。
1 分析 截交线的水平投影
为直线和部分圆，侧面投影
为矩形；
3" 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3 顺次连接各点，作出截
交线并判别可见性；
4 整理轮廓线。
1(3
〔例3〕由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。
1' (2') 3 ' (4')
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
(4)2 (3)1
〔例4〕 求左视图。
圆
圆球的截交线总是圆。
由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投 影可能是圆、椭圆或直线。
例题：求圆球被截切后的水平和侧面投影
分析：截交线的正面投影为直线，其余两投影为椭圆，可利用 球面上作点的方法作出椭圆上的点。 1 求特殊点：
2 求中间点： 3 依次平滑连接各点； 4 整理投影图
平面与圆球面相交其截交线均为圆
Pv
1
4
Qv
a´
S
2
(3) (c´) 3"
b´ c" c
3
4
s
a
1
2
S"
解题步骤:
1"
1)分析: 截平面为
正垂面和水平面
，正面投影有积
聚性；
4" 2" 2)求出点1、2、
a"
b" 3、4；
3)顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见；
4)补全轮廓线。
1.平面与棱锥相交
s'
p'
q'
4'(5')
S"