偏微分方程(PDEs)在图像去噪中的运用
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2 2 2
inf ∫ u − Hu 0 dx
u0
2
(10)
Ω
其中| • |为欧氏泛数。如果(10)的极小取值 u 0 存在，其必定满足相应的欧拉等式：
H *u − H * Hu 0 =0
*
(11)
这里的 H 是H的伴随矩阵。式(11)实际上是不适定的,为解决上述不适定问题,Tikhonov等 人提出在(4) 能量泛函中添加一个正则项,从而得到如下最小化问题： F (u) = u − Hu 0 dx + λ ∇u 0 dx
此微分方程的阶数为m= m1 + m 2 +…+ m n .偏微分方程问题由两部分组成：1)偏微分方程表达 式；2)求解区域及边值条件。初始条件和边界条件都称为定解条件。我们把方程中所有未知 函数及其导数之间的关系是线性的， 且其系数仅与自变量有关的偏微分方程称为线性偏微分 方程。若PDE的解存在、唯一且关于定解条件稳定，就称PDE为适定的。
δI＝ ∫∫ (v
D
∂F ∂v ∂F ∂v ∂F + + )dxdy （4） ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q ∂u ∂u 和q＝ 。函数Ｉ取得其极值的一个 ∂x ∂y
其中：v＝v(x,y)且在边界 ∂D 上为零，而p＝ 必要条件是，它的一阶变分为零，即δI＝0, 可写成δI＝
∫∫ v( ∂u − ∂x ( ∂p ) − ∂y ( ∂q ))dxdy +
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类
在二维图像处理中， 自变量为像素坐标(x,y)， 涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方 程，其一般形式是[12]：
a11 u xx +2 a12 u xy + a 22 u yy +F (x, y, u x , u y )=0
2
(2)
0
记 Δ （x,y）= a12 - a11 a 22 ,可得二阶半线性两个方程在点 x ∈ Ω 的分类： 1) 双曲型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）>0。双曲型方程的第一标准型为
经典的 Euler-Lagrange变分问题是，在域D ∈ R 中寻找函数u(x,y)，满足在D的边 界 ∂D 上的边界条件，并使泛函
2
Ｉ［u(x,y)］＝ ∫∫ F ( x, y,
D
∂u ∂u , )dxdy ∂x ∂y
（3）
达到极值。式中函数F的定义域为D，且具有二阶连续偏导数。根据一个自变量函数的泛函的 性质，函数Ｉ的一阶变分 δ I(u,h)＝I(u+h)－I(u)。 用 Taylor级数展开，可得
2. 国内外研究现状
PDEs在图像处理领域的应用研究最早可以追溯到D.Gabor[2]和A.K.Jain[3]的工作。然而 该领域研究的真正兴起源于Koenderink[4]和Witkin[5]各自独立的研究。他们严格引入尺度空
1
http://www.paper.edu.cn
间的概念，他们的这种原创性工作是PDEs在图像处理领域运用的基础。 Perona和Malik[6]在各向异性扩散方面的论文是图像正则化领域最有影响的研究成果。 他们建议用一种保边界的扩散来代替基于热传导等式的各向同性扩散的高斯光滑滤波。 在此 [7] [8] 基础上S.Osher和L.Rudin 等提出了冲击滤波器(Shock Filters)，L.Rudin 提出的全变分 (Total Variation)下降法，Price等提出的反应-扩散等式，都成为当前PDEs在图像恢复领 域成功应用的典范与当前研究的热点。 在图像处理和计算机视觉中应用的PDEs大多数研究如何基于曲率的速率流来改变曲线、 曲面或图像的位置。在该领域Osher和Sethian[9]提出的水平集数值方法具有深远的影响，该 方法的基本思想就是用高维的超曲面的水平集表征变形的曲线、 曲面或图像。 该技术不但提 供了PDEs的非常精确的数值解法，而且解决了非常棘手的拓扑问题。 此外D.Mumford与J.Shah[10]提出的M-S图像分割方法，Kass提出的snake[11]活动轮廓模型 等都是PDEs在图像分割与目标提取领域开创性的成果。
D
∂F
∂ ∂F
∂ ∂F
∫∫ (v( ∂x ( ∂p ) + ∂y ( ∂q )) + ( ∂x ∂p + ∂y ∂q )dxdy （5）
D
∂ ∂F
Fra Baidu bibliotek∂ ∂F
∂v ∂F
∂v ∂F
假设在边界 ∂D 上有分段连续的斜率，根据Green定理，式（5）可简化为
δI＝ ∫∫ v[
D
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂F ∂F dy ) =0。 （6） − ( ) − ( )]dxdy + ∫ v( dx − ∂u ∂u ∂x ∂p ∂q ∂y ∂q
3
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自变量的Euler-Lagrange方程。仿此，也可以得到两个以上独立自变量的Euler-Lagrange 方程。特别是，如果函数u=u(x)只有一个独立自变量x，那么泛函式（2）为： I［u(x)］＝ 其中： u =
'
∫
b
a
F ( x, u , u ' )dx ， （8）
3. 微分方程(PDEs)理论基础
在 R 空间中，令自变量x=(x1,x2,…,xn)，未知函数u(x)=u(x1,x2,…,xn)，偏微分方 程形式可以写为： F ⎨ x1, x 2,..., xn,
n
⎧ ⎩
⎫ ∂u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ mu (1) , ,..., , ,..., mn ⎬ m1 m2 ∂x1 ∂x 2 ∂xn ∂x1∂x 2 ∂x1 ∂x 2 ...∂xn ⎭
∂u ( x, y, t ) = Δu ( x, y, t ) ∂t
（初值为u 0 =u(x,y,0)）
(14)
式（14）中 Δu ( x, y , t ) 是图像的拉普拉斯算子。上式实际上是热传导方程。其解为：
u ( x, y, t ) = Gt * u ( x, y,0)
这里的 ∗ 表示卷积， G t ( x, y ) = Ct
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偏微分方程（PDEs）在图像去噪中的运用
谢进
(厦门大学 信息科学与技术学院 2004 级通信工程系，福建 厦门 361005)
E-mail:jin_xie1986@163.com
摘要: 图像去噪是图像处理的重要组成环节,经典的处理方法由于涉及的数学理论较浅，一 直制约着计算机视觉的发展。近年来,一种基于偏微分方程(Partial Differential Equations，PDEs)的图像处理方法正在兴起，其在降噪的同时能够很好的保持图像的边界。 文章介绍了基于PDEs 的图像处理方法的发展历程及相关理论背景,重点分析了其在图像去 噪中的应用。 关键词: 图像去噪；图像处理；偏微分方程；图像恢复；
du ,并且Euler-Lagrange方程（7）简化成标准形式: dx ∂F d ∂F − [ ]=0 ∂u dx ∂u '
4. 基于偏微分方程(PDEs)的图像去噪(image denoising)模型
4.1 图像退化模型
在图像信息的形成、 传输与记录过程中存在着信息丢失, 从而引起图像质量的退化。 在 图像恢复过程中, 总是尽可能是选择与实际情况相吻合的退化模型,这种模型一般用概率分 布描述,多数情况下我们假定服从高斯分布。然而, 对于实际图像我们通常不可能知道其噪 声的具体类型,对于图像退化模型未知的情况,我们通常假设其服从加性噪声与线性模糊卷 积的简单退化模型：
−1
1. 引言
图像处理是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。 图像处理 最早出现于20世纪50年代， 当时的电子计算机已经发展到一定水平， 人们开始利用计算机来 处理图形和图像信息。 数字图像处理作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。 早期的图 像处理的目的是改善图像的质量， 它以人为对象， 以改善人的视觉效果为目的。 图像处理中， 输入的是质量低的图像，输出的是改善质量后的图像，常用的图像处理方法有图像增强、复 原、编码、压缩等。 早期由于图像处理领域涉及的数学理论较浅， 尽管图像处理与分析与计算机科学有很强 的联系，但在相当长的一段时间里一些在特定条件下的算法的正确性没有得到很好的证明， 图像处理研究的进展不大。近年来由于该领域研究者数学功底的增强，同时，由于该领域的 巨大市场需求吸引了越来越多的数学工作者的加入。使该领域得到了前所未有的发展。 图像增强、 图像恢复和图像分割是图像处理与分析中的主要问题， 对图像进行平滑和边 缘检测等处理是常用的方法；然而，图像的平滑和边缘的保持是一对矛盾的关系；图像的低 通滤波在降噪的同时模糊的图像的边界。而人对图像的高频部分（边缘细节）是很敏感的， 图像的大部分信息存在于边缘和轮廓部分。传统的滤波和边缘检测方法难以处理这类问题。 由于基于PDEs的图像处理方法在平滑噪声的同时可以使边界得到保持， 因此在图像处理中得 到广泛的运用。 近年来， 图像处理和计算机视觉中应用偏微分方程受到国内外学者的极大关注。 国际上 一些图像处理和计算机视觉领域的顶级学术期刊(如：IEEE Trans.on PAMI、IEEE Trans.on image Processing与International Journal of Computer Vision Journal of Visual Communication and Image Representation等)分别专门发表过以PDE应用为主题的特刊，国 际学术会议CVPR， ICCV， ICIP等也为此召开了特别国际会议。 目前美国加州大学洛杉矶分校、 法国Sophia Antipolis等机构在该领域研究处于领先地位。近年来国内也非常重视对该领域 的研究，中科院自动化所等单位也为此召开了专题研讨会[1]。
0
∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u =A +B +Cu,第二标准型为 2 - 2 =A1 +B1 + C1 u. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂s ∂t ∂s ∂t
如波动问题. 2) 椭圆型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）<0。椭圆型方程的标准型为
0
2
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u=H u 0 +n
2
(9)
其中， u 0 : Ω ∈ R → R 为真实图像，u是实际观测到的图像(即退化后的图像),n表示加性 白噪声。H为线性卷积算子。 u , u 0 和n都是 N 维列向量，H为 N × N 的矩阵。在已知退化 模型(9)的情况下，要从u中恢复 u 0 实际上个反问题，我们可以通过求解以下最小能量泛函 问题得到 u 0 的近似解：
∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂u + =A +B + C u. ∂s ∂t ∂s 2 ∂t 2
如弹性问题, 稳态热传导问题
3) 抛物型：方程(2)在 x 0 处有 Δ （x,y）=0。抛物型方程的标准型为
∂ 2u ∂u ∂u = A +B +Cu. 2 ∂ξ ∂η ∂η
如瞬态热传导问题
3.2 变分原理和Euler-Lagrange方程
Ω Ω
∫
2
∫
2
(12)
这里λ是正的权值常量,第一项测量数据的保真度,第二项是光滑项。 亦即搜索既与观测图像
4
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最佳匹配,又能确保梯度足够低(从而除去噪声)的解u 0 .图像正则化效果取决于第二项,在 Tikhonov 等人之后,科研工作者提出了许多改进的图像正则化方法。 下面具体介绍几种去噪 模型。
4.2 各向同性扩散
设初始图像为u(x,y,0),u(x,y,t)为在t时的平滑图像。其中t为引入的人工参数。各 向同性光滑是最早的一种图像正则化方法,来自Tikhonov 能量泛函正则化项的极小取值问 题:
inf ∫ | ∇u | 2 dΩ
u Ω
（13）
式(13)对应的欧拉等式是Δu=0。通过求解其梯度下降PDE的稳态解,可得初值为噪声图像 u(x,y,0)的扩散等式:
因为在边界 ∂D 上函数v=0，方程（6）中第二个积分为零。而函数v=v(x,y)在域D内不为零， 要使方程（6）为零的必要条件是
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( )− ( ) =0 ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q
(7)
即函数u(x,y)使泛函（3）取极值的必要条件是满足偏微分方程（7） 。这就是具有两个独立
inf ∫ u − Hu 0 dx
u0
2
(10)
Ω
其中| • |为欧氏泛数。如果(10)的极小取值 u 0 存在，其必定满足相应的欧拉等式：
H *u − H * Hu 0 =0
*
(11)
这里的 H 是H的伴随矩阵。式(11)实际上是不适定的,为解决上述不适定问题,Tikhonov等 人提出在(4) 能量泛函中添加一个正则项,从而得到如下最小化问题： F (u) = u − Hu 0 dx + λ ∇u 0 dx
此微分方程的阶数为m= m1 + m 2 +…+ m n .偏微分方程问题由两部分组成：1)偏微分方程表达 式；2)求解区域及边值条件。初始条件和边界条件都称为定解条件。我们把方程中所有未知 函数及其导数之间的关系是线性的， 且其系数仅与自变量有关的偏微分方程称为线性偏微分 方程。若PDE的解存在、唯一且关于定解条件稳定，就称PDE为适定的。
δI＝ ∫∫ (v
D
∂F ∂v ∂F ∂v ∂F + + )dxdy （4） ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q ∂u ∂u 和q＝ 。函数Ｉ取得其极值的一个 ∂x ∂y
其中：v＝v(x,y)且在边界 ∂D 上为零，而p＝ 必要条件是，它的一阶变分为零，即δI＝0, 可写成δI＝
∫∫ v( ∂u − ∂x ( ∂p ) − ∂y ( ∂q ))dxdy +
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类
在二维图像处理中， 自变量为像素坐标(x,y)， 涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方 程，其一般形式是[12]：
a11 u xx +2 a12 u xy + a 22 u yy +F (x, y, u x , u y )=0
2
(2)
0
记 Δ （x,y）= a12 - a11 a 22 ,可得二阶半线性两个方程在点 x ∈ Ω 的分类： 1) 双曲型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）>0。双曲型方程的第一标准型为
经典的 Euler-Lagrange变分问题是，在域D ∈ R 中寻找函数u(x,y)，满足在D的边 界 ∂D 上的边界条件，并使泛函
2
Ｉ［u(x,y)］＝ ∫∫ F ( x, y,
D
∂u ∂u , )dxdy ∂x ∂y
（3）
达到极值。式中函数F的定义域为D，且具有二阶连续偏导数。根据一个自变量函数的泛函的 性质，函数Ｉ的一阶变分 δ I(u,h)＝I(u+h)－I(u)。 用 Taylor级数展开，可得
2. 国内外研究现状
PDEs在图像处理领域的应用研究最早可以追溯到D.Gabor[2]和A.K.Jain[3]的工作。然而 该领域研究的真正兴起源于Koenderink[4]和Witkin[5]各自独立的研究。他们严格引入尺度空
1
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间的概念，他们的这种原创性工作是PDEs在图像处理领域运用的基础。 Perona和Malik[6]在各向异性扩散方面的论文是图像正则化领域最有影响的研究成果。 他们建议用一种保边界的扩散来代替基于热传导等式的各向同性扩散的高斯光滑滤波。 在此 [7] [8] 基础上S.Osher和L.Rudin 等提出了冲击滤波器(Shock Filters)，L.Rudin 提出的全变分 (Total Variation)下降法，Price等提出的反应-扩散等式，都成为当前PDEs在图像恢复领 域成功应用的典范与当前研究的热点。 在图像处理和计算机视觉中应用的PDEs大多数研究如何基于曲率的速率流来改变曲线、 曲面或图像的位置。在该领域Osher和Sethian[9]提出的水平集数值方法具有深远的影响，该 方法的基本思想就是用高维的超曲面的水平集表征变形的曲线、 曲面或图像。 该技术不但提 供了PDEs的非常精确的数值解法，而且解决了非常棘手的拓扑问题。 此外D.Mumford与J.Shah[10]提出的M-S图像分割方法，Kass提出的snake[11]活动轮廓模型 等都是PDEs在图像分割与目标提取领域开创性的成果。
D
∂F
∂ ∂F
∂ ∂F
∫∫ (v( ∂x ( ∂p ) + ∂y ( ∂q )) + ( ∂x ∂p + ∂y ∂q )dxdy （5）
D
∂ ∂F
Fra Baidu bibliotek∂ ∂F
∂v ∂F
∂v ∂F
假设在边界 ∂D 上有分段连续的斜率，根据Green定理，式（5）可简化为
δI＝ ∫∫ v[
D
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂F ∂F dy ) =0。 （6） − ( ) − ( )]dxdy + ∫ v( dx − ∂u ∂u ∂x ∂p ∂q ∂y ∂q
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自变量的Euler-Lagrange方程。仿此，也可以得到两个以上独立自变量的Euler-Lagrange 方程。特别是，如果函数u=u(x)只有一个独立自变量x，那么泛函式（2）为： I［u(x)］＝ 其中： u =
'
∫
b
a
F ( x, u , u ' )dx ， （8）
3. 微分方程(PDEs)理论基础
在 R 空间中，令自变量x=(x1,x2,…,xn)，未知函数u(x)=u(x1,x2,…,xn)，偏微分方 程形式可以写为： F ⎨ x1, x 2,..., xn,
n
⎧ ⎩
⎫ ∂u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ mu (1) , ,..., , ,..., mn ⎬ m1 m2 ∂x1 ∂x 2 ∂xn ∂x1∂x 2 ∂x1 ∂x 2 ...∂xn ⎭
∂u ( x, y, t ) = Δu ( x, y, t ) ∂t
（初值为u 0 =u(x,y,0)）
(14)
式（14）中 Δu ( x, y , t ) 是图像的拉普拉斯算子。上式实际上是热传导方程。其解为：
u ( x, y, t ) = Gt * u ( x, y,0)
这里的 ∗ 表示卷积， G t ( x, y ) = Ct
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偏微分方程（PDEs）在图像去噪中的运用
谢进
(厦门大学 信息科学与技术学院 2004 级通信工程系，福建 厦门 361005)
E-mail:jin_xie1986@163.com
摘要: 图像去噪是图像处理的重要组成环节,经典的处理方法由于涉及的数学理论较浅，一 直制约着计算机视觉的发展。近年来,一种基于偏微分方程(Partial Differential Equations，PDEs)的图像处理方法正在兴起，其在降噪的同时能够很好的保持图像的边界。 文章介绍了基于PDEs 的图像处理方法的发展历程及相关理论背景,重点分析了其在图像去 噪中的应用。 关键词: 图像去噪；图像处理；偏微分方程；图像恢复；
du ,并且Euler-Lagrange方程（7）简化成标准形式: dx ∂F d ∂F − [ ]=0 ∂u dx ∂u '
4. 基于偏微分方程(PDEs)的图像去噪(image denoising)模型
4.1 图像退化模型
在图像信息的形成、 传输与记录过程中存在着信息丢失, 从而引起图像质量的退化。 在 图像恢复过程中, 总是尽可能是选择与实际情况相吻合的退化模型,这种模型一般用概率分 布描述,多数情况下我们假定服从高斯分布。然而, 对于实际图像我们通常不可能知道其噪 声的具体类型,对于图像退化模型未知的情况,我们通常假设其服从加性噪声与线性模糊卷 积的简单退化模型：
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1. 引言
图像处理是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。 图像处理 最早出现于20世纪50年代， 当时的电子计算机已经发展到一定水平， 人们开始利用计算机来 处理图形和图像信息。 数字图像处理作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。 早期的图 像处理的目的是改善图像的质量， 它以人为对象， 以改善人的视觉效果为目的。 图像处理中， 输入的是质量低的图像，输出的是改善质量后的图像，常用的图像处理方法有图像增强、复 原、编码、压缩等。 早期由于图像处理领域涉及的数学理论较浅， 尽管图像处理与分析与计算机科学有很强 的联系，但在相当长的一段时间里一些在特定条件下的算法的正确性没有得到很好的证明， 图像处理研究的进展不大。近年来由于该领域研究者数学功底的增强，同时，由于该领域的 巨大市场需求吸引了越来越多的数学工作者的加入。使该领域得到了前所未有的发展。 图像增强、 图像恢复和图像分割是图像处理与分析中的主要问题， 对图像进行平滑和边 缘检测等处理是常用的方法；然而，图像的平滑和边缘的保持是一对矛盾的关系；图像的低 通滤波在降噪的同时模糊的图像的边界。而人对图像的高频部分（边缘细节）是很敏感的， 图像的大部分信息存在于边缘和轮廓部分。传统的滤波和边缘检测方法难以处理这类问题。 由于基于PDEs的图像处理方法在平滑噪声的同时可以使边界得到保持， 因此在图像处理中得 到广泛的运用。 近年来， 图像处理和计算机视觉中应用偏微分方程受到国内外学者的极大关注。 国际上 一些图像处理和计算机视觉领域的顶级学术期刊(如：IEEE Trans.on PAMI、IEEE Trans.on image Processing与International Journal of Computer Vision Journal of Visual Communication and Image Representation等)分别专门发表过以PDE应用为主题的特刊，国 际学术会议CVPR， ICCV， ICIP等也为此召开了特别国际会议。 目前美国加州大学洛杉矶分校、 法国Sophia Antipolis等机构在该领域研究处于领先地位。近年来国内也非常重视对该领域 的研究，中科院自动化所等单位也为此召开了专题研讨会[1]。
0
∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u =A +B +Cu,第二标准型为 2 - 2 =A1 +B1 + C1 u. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂s ∂t ∂s ∂t
如波动问题. 2) 椭圆型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）<0。椭圆型方程的标准型为
0
2
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u=H u 0 +n
2
(9)
其中， u 0 : Ω ∈ R → R 为真实图像，u是实际观测到的图像(即退化后的图像),n表示加性 白噪声。H为线性卷积算子。 u , u 0 和n都是 N 维列向量，H为 N × N 的矩阵。在已知退化 模型(9)的情况下，要从u中恢复 u 0 实际上个反问题，我们可以通过求解以下最小能量泛函 问题得到 u 0 的近似解：
∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂u + =A +B + C u. ∂s ∂t ∂s 2 ∂t 2
如弹性问题, 稳态热传导问题
3) 抛物型：方程(2)在 x 0 处有 Δ （x,y）=0。抛物型方程的标准型为
∂ 2u ∂u ∂u = A +B +Cu. 2 ∂ξ ∂η ∂η
如瞬态热传导问题
3.2 变分原理和Euler-Lagrange方程
Ω Ω
∫
2
∫
2
(12)
这里λ是正的权值常量,第一项测量数据的保真度,第二项是光滑项。 亦即搜索既与观测图像
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最佳匹配,又能确保梯度足够低(从而除去噪声)的解u 0 .图像正则化效果取决于第二项,在 Tikhonov 等人之后,科研工作者提出了许多改进的图像正则化方法。 下面具体介绍几种去噪 模型。
4.2 各向同性扩散
设初始图像为u(x,y,0),u(x,y,t)为在t时的平滑图像。其中t为引入的人工参数。各 向同性光滑是最早的一种图像正则化方法,来自Tikhonov 能量泛函正则化项的极小取值问 题:
inf ∫ | ∇u | 2 dΩ
u Ω
（13）
式(13)对应的欧拉等式是Δu=0。通过求解其梯度下降PDE的稳态解,可得初值为噪声图像 u(x,y,0)的扩散等式:
因为在边界 ∂D 上函数v=0，方程（6）中第二个积分为零。而函数v=v(x,y)在域D内不为零， 要使方程（6）为零的必要条件是
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( )− ( ) =0 ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q
(7)
即函数u(x,y)使泛函（3）取极值的必要条件是满足偏微分方程（7） 。这就是具有两个独立