初中几何模型与解法中考几何专题：等面积法

初中几何模型与解法：等面积法
教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；
2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系
3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积
重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积
知识导图
知识梳理
方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！
技巧归纳：
1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.
2、计算多边形面积的常用方法：
(1)面积计算公式
(2)对于公式⑤的证明（如右图）：
S=S △ABD +S △CBD
=
=
=*(3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.
+
=
又∵ABC =AC AB
∴该直角三角形斜边AB上的高CD=导学一：等面积法在直角三角形的应用
知识点讲解
1
在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：
基本公式:①勾股定理:
②等面积法：
证明②：
即：,
例题
1.如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?
【参考答案】
=
2.如图，在Rt ABC (BC AC ),∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?【参考答案】
解：设AC =x,BC =y,(y
由勾股定理：==100
又∵
ABC =AC AB ∴x y=48再由
.
得到解得：答：AC =6，BC =8
同步练习
1.如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24,BC=7，作ABC的三个内角的角平分线交于点P，再过点P依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F.
(1)求证：PD=PE=PF;
(2)求出：PD的值.
【参考答案】
（1）证明
∵AP平分∠CAB，且PD⊥AB,PF⊥AC
∴PD=PF同理，PD=PE
综上，PD=PE=PF
（2）解：
C、=
5设：PD=PE=PF=d
ABC =AC =84sp;
ABC&en=
APB
BPC CPA 84=++
d =3,PD=3
2.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）
B、
D、
A、【参考答案】C 解：∵S
△ABC ＝3×4−
×2×3−×2×1−×2×4＝4∵BC＝
＝，∴BC边长的高＝
＝
故选：C．导学二：等面积法在等腰三角形
的应用
知识点
讲解1
在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！
例题
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的高BD=10cm.
（1）如图1,求AB边上高CE的长；
（2）如图2,若点P为BC边上任意一点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,求PM+PN的值；
（3）如图3,若点P为BC延长线上任意一点,PM⊥AB于M,PN⊥AC于点N,在①PM+PN；②PM PN中有一个是定值,判断出来并求值.
【参考答案】
(1)由S△ABC=×AB×CE=×AC×BD
∵AB=AC,BD=10∴CE=10
(2)如图，连接AP
由S△ABP+S△ACP=S△ABC
×AB×PM+×AC×PD=×AC×BD
∵AB=AC，BD=10
∴PM+PN=10
(3)如图，连接AP
PM−PN是定值
理由如下：
连接AP,由S△ABP−S△ACP=S△ABC
×AB×PM−×AC×PD=×AC×BD
∵AB=AC，BD=10
∴PM−PN=10
2.已知等边△ABC和内部一点P，设点P到△ABC三边的AB、BC、AC的距离分别是h1，h2，h3，
△ABC的高为h，问h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由。

【参考答案】
如图：
解：
h＝h1＋h2＋h3，
理由如下：
连接AP、BP、CP，
则S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＋S△ACP
∴BC AM＝AB PD＋C PF＋C PE
即BC h＝AB h1＋C h2＋C h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC
∴h＝h1＋h2＋h3
同步练习
1.已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是PD h1，PE h2，PF h3，△ABC的高AM为h，若点P在△ABC外，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由.
【提示】
连接AP、BP、CP，
则S△ABC＝S△ABP＋S△ACP S△BPC
2.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AE＝AD，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，若正方形ABCD 的面积是12，证明PM＋PN是一个定值，并且计算出这个定值．
【参考答案】
如图③，连接AP，过E作EF⊥AB于F，
∵正方形ABCD的面积是12，
∴AB＝AE＝AD＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝=，
∵S△AEB＝S△AEP＋S△ABP，
AB•EF＝AB•PN＋AE•PM，
∵AE＝AB，
∴PM＋PN＝EF＝
导学三：等面积法在勾股定理中的应用
知识点讲解1
勾股定理的证明充分体现了“数形结合思想”，它有500多种证明方法，但几乎每一种都要用到等面积思想.从几何角度认识代数关系，用等面积思想建立等式进行推导！
勾股定理描述的是三边的平方关系=因此只要以这个直角三角形三边往外所作图形的面积根对应边的平方成
正比（S
小=k，S中=k,S大=k,k是常数）就会有较小的两个图形的面积之和等于较大者的面积.
(即：k k=k，简记为：S
小S中S大）
例题
1.请您运用右下图和如下四个辅助定理：
（1）如果两个三角形有两组对应边和这两组对应边所夹的角相等，则两三角形全等（SAS）；
（2）三角形面积是任一等底等高的平行四边形面积的一半；
（3）任意一个正方形的面积等于其边长的平方；
（4）任意一个矩形的面积等于其相邻两边长的乘积；
证明勾股定理：=
【参考答案】
如手拉手模型图：
因为：
△FBC≌△ABD(SAS)
△BCI≌△ECA(SAS)
所以可设：
FBC=ABD=x
BCI=ECA=y
如上图：
因为：
FBC=ABD=x
ABFG=2FBC=2x
BDLK=ABD=2x
所以：
ABFG=2x=BDLK
如上图：
因为：
BCI=ECA=y
ACIH BCI=2y
KLEC ECA=2y
所以：
ACIH=2y KLEC
于是：
ABFG=BDLK
ACIH KLEC
BDLK KLEC=BDEC
进一步：
ABFG ACIH=BDEC
更进一步：
=
2.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2＋S3
（1）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系：（不必证明,直接写出）
（2）如图③，△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明
（3）利用图①的结论，解决下列问题：如图④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分别以AB、AC、BC为边在AB的
同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则
S1＋S2＋S3＋S4＝.
【参考答案】
解：（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2
＋S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝AC2＋BC2，即S1＝S2＋S3；
（2）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，S1、
S2、S3之间的关系为S1＝S2＋S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝AC2＋BC2，即S1＝S2＋S3；
（3）如图：
过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝S Rt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1＋S3＝S Rt△AQF＝
S Rt△ABC．易证
Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝S Rt△ABC，
∴S1＋S2＋S3＋S4
＝（S1＋S3）＋S2＋S4
＝S Rt△ABC＋S Rt△ABC＋S Rt△ABC
＝S Rt△ABC×3
＝5×8÷2×3
＝60．
故答案为：60．
同步练习
1.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）
A、16
B、25
C、144
D、169【参考答案】B
【题目解析】
如图所示：
根据勾股定理得出：AB
＝＝＝5，
∴EF＝AB＝5，
∵=
∴阴影部分面积是25，
故选：B.
2.如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则图中S1、S2、S3、S4的关系为（）
A、S1＋S2＋S3＝S4
B、S1＋S2＝S3＋S4
C、S1＋S3＝S2＋S4
D、不能确定
【参考答案】C
【题目解析】如图所示：
设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG−S5＝b2−S5，
S3＝S△BCH−S6＝a2−S5，
∴S1S3=2b2)S5−S6
∵S2＋S4＝S△ABF−S5−S6＝c2S5−S6
且
∴S1S3=S2＋S4
故选C.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）
A、4
B、4π
C、8π
D、8
【参考答案】A
【题目解析】
如图所示：
设以AB、AC、BC为直径的半圆面积分别为：
、、
其中O、Q、P分别是它们的圆心.
则阴影部分面积=++
又∵,且=
∴+
∴阴影部分面积==AC BC=4
故选A.
4.有一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过第二次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）
A、1
B、2018
C、2019
D、2020
【参考答案】D
【题目解析】勾股树的本质是三个正方形之间的等面积关系
导学四：等面积法在其它图线中的应用
知识点讲解1
题目中出现“高、垂线段、角平分线、中线、平行线”，以及与线段有关的乘积、分式等量，也可以试一试等面积思想
建立等式进行突破！
如上图，若GF=ED，且△PFG的面积△PED的面积,则可以证明射线BP平分,读者自行证明.
例题
1.如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE＝2，则AF
的长为（）
A、3
B、
C、D、
【参考答案】B
【题目解析】如图：
作DH⊥BC于H
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
△ABD的面积＋△CBD的面积＝△ABC的面积，
∴×4×2＋×6×2＝×6×AF，
解得，AF＝，故选：B
2.平行线分线段成比例亦称“平行截割定理”.平面几何术语是指“三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例”.如图，已知∥∥，请连接辅助线AE、BD、CE、BF作高EH⊥AC于H,BG⊥DF
于G后，请您从面积的角度去证明.
【参考答案】
知
综上得：
证明：如图，∥S △ABE =S △DEB ①
S △BCE =S △EFB ②
①和②左右相比
同理
知：
即：
【题目解析】平行线之间的等面积抓住同底等高，把面积作商，约分后就得到线段之间的比例同步练习
1.如图,把△ABC的BA边延长1倍到点D,AC边延长2倍到点F，点CB边延长3倍到点E,
连接DE、EF、FD,得到△DEF.已知△DEF的面积为54,△ABC的面积是.A 、1B 、3C 、6D 、9
【参考答案】
如图，连接CD、AE、BF
设
，则
,
,
进一步∵
，，=∴
即
【题目解析】
等面积思想建立等式
由，推出
2.如图BE、CF 分别是ABC 的中线，且BE=CF，AM⊥CF 于M，AN⊥BE 于N，求证：AM=AN。

【参考答案】
【题目解析】∵BE、CF 分别是ABC 的中线
∴
,
同理
∴
即
且BE=CF,∴AM=AN
等面积思想建立等式
由，推出
B、
C、
C、
课后练习
1.如左图，在直角三角形中，任意一个锐角“∠A的对边与斜边的比”叫做
∠A的正弦，记作SinA（由英语sine简写），即SinA=.再看右图，在22正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则Sin CAB=().
A、D、
【参考答案】B
【题目解析】
如图：
过C作CD⊥AB，
根据勾股定理得：AB＝＝，
S△ABC＝4−1−−1＝＝CD•AB＝CD•，
解得：CD＝
则Sin CAB
2.已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE＋PF等于（）.
A、
B、D、
【参考答案】C
【题目解析】
解：如图，连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝OA（PE＋PF）＝××（PE＋PF）＝15，
∴PE＋PF＝，
故选：C．
3.如图已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AC
＝6，BD＝8．AE⊥BC于E，则AE＝（）
D、4
A、5
B、C、
【参考答案】B
【题目解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴BC＝＝5，
∵•AC•BD＝BC•AE，
∴AE＝，
故选：B．
4.正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（）
A、
C、D、
【参考答案】A
【题目解析】
在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2＋CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2＋S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，
∴S n＝．
当n＝5时，S5＝＝，
故选：A．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E 作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM＋EN的值为（）
A、6
B、1.5
【参考答案】D
【题目解析】
C、D、
B、
解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°，
∵O是AD的中点，
∴AO＝DO＝1，
∴OB＝OC＝＝，
∵△OBE的面积＋△OCE的面积＝△OBC的面积，
∴OB•EM＋OC•EN＝BC•AB，
∴（EM＋EN）×＝×2×3，
解得：EM＋EN＝；
故选：D．
6.对任意Rt△ABC，∠A,∠B,∠C的对边依次记为a、b、c，且∠C=90°，斜边c上的高记为h.证明：.
【参考答案】
即：,
又由勾股定理：=
∴
即:
【题目解析】勾股定理，结合等面积法
7.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b−a
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a（b−a）
∴b2＋ab＝c2＋a（b−a）
∴a2＋b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2．
【参考答案】
证明：如图：
连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b−a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a（b−a），
∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a（b−a），
∴a2＋b2＝c2．
【题目解析】勾股定理的证明，典型的等面积法
8.（1）如图1，已知△ABC的面积是30，CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD、BE相交于点O，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连结AO，由AD＝DB得：S△ADC＝S△ABC
＝15，S△ADO＝S△BDO，同理：S△ABE＝S△ABC＝15，S△AEO＝S△CEO，设S△ADO＝x，S△AEO＝y，则S△BDO＝x，S△CEO＝y，由题意，可列方程组为：，通过解这个方程组可求得四边形ADOE的面积为．
（2）如图2，△ABC的面积是36，D、E分别是边AB、AC边上的点，且AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE 的面积．
（3）如图3，▱ABCD中，E是BC上一点，F是AB上一点，AE＝CF，AE与CF交于点P，连结PD．求证：PD平分∠APC．
【参考答案】
解：（1）由可得，
∴S四边形ADOE＝S△ADO＋S△AEO＝x＋y＝
10．故答案为10．
（2）
如图2中，连结AO．
∵AD：DB＝1：3，
∴S △ADO ＝S △BDO ，
∵CE：AE＝1：2，
∴S △CEO ＝S △AEO ，
设S △ADO ＝x，S △CEO ＝y，则S △BDO ＝3x，S △AEO ＝2y，
由题意得：S △ABE ＝
S △ABC ＝24，S △ADC ＝S △ABC ＝9，
可得∴S 四边形ADOE ＝S △ADO ＋S △AEO ＝x＋2y＝．
（3）证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，并连接DF和DE，如图3中：
S △DFC ，又∵AE＝FC，可得DQ＝DG，
∵DQ⊥AE，DG⊥CF，
∴∠DPA＝∠DPC，
∴PD为∠APC的角平分线
【题目解析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，角平分线的判定
定理，解得的关键是学会构建方程组解决问题，学会利用角平分线的判定定理，添加相应的辅助线，体现
了数形结合的思想，属于中考压轴题
自我测试
1.如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或对边的延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF 的面积为（）
A、3
B、C、2.5D、2
【参考答案】D
【题目解析】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，
∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的
高相等，
则由S △ADE ＝
＝可得：＝，
∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF−S△ABE＝S△BEC−S△ABE＝S△ABC
∴S△DEF＝S△ADE＋S△ADF＋S△AEF＝S△ABD＋S△ADC＋S△ABC＝
2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．
∵S△ABC＝1，
∴S△DEF＝2，
故选：D．
2.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，那么PG
＋PH的值为.
【参考答案】4
【题目解析】
过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．
∵AD＝8，CF＝3，
∴BF＝BC−CF＝AD−CF＝5．
由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．
∴DF＝5．
∵∠C＝90°，∴DC＝＝＝4．
∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．
∴四边形EQCD是矩形．
∴EQ＝DC＝4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB．
∵∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB．
∴BE＝BF．
由由S△EBP+S△BFP=S△EBF
×BE×PG+×BF×PH=×BF×EQ
结论可得：PG＋PH＝EQ．
∴PG＋PH＝4．
∴PG＋PH的值为4
3.阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他
先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于
点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于.
【参考答案】
解：△BDE的面积等于1．
（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．
（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE，
∴四边形AFEP为平行四边形，
∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，
又∵AP∥FN，F为AB的中点，
∴N为PC的中点，
∴E为△PFC各边中线的交点，
∴△PEC的面积为△PFC面积的
连接DE，可知DE与PE在一条直线上
∴△EDC的面积是△ABC面积的
所以△PFC的面积是1××3＝
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．。