晶体学基础

Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的
数目应最多； Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角
时，直角的数目应最多；
Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最 小的体积。
晶体（Crystal）可以认为是刚性球在三维空间的规则堆垛
晶体
点阵
晶胞
描述晶胞 （点阵常数） 阵点
a,b,c棱边长
或用点阵矢量 a , b, c 体积 V= a · ( b× c)
在立方晶系，晶面之间的夹角也就是为其法线的夹角， 用对应的晶向同样可以求出。
？如何计算立方晶系的晶向与晶面之间的夹角？
立方晶系中晶面与晶向的夹角等于90° 减去晶面法线方向与晶向的夹角。
立方晶系中两晶面的夹角等于两晶面法
线方向的夹角α。 注意：夹角值小于 90°，若计算值大 于90°，则两面或线的夹角为180- α。
性能上五大特点：固定的熔点 自发形成规则多面体外形
各向异性
均匀性 对称性
2.1.1 空间点阵和晶胞
1.空间点阵（Space Lattice），简称点阵 将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点（阵点），即可得到一个由无
数几何点在三维空间排列成规则的阵列—空间点阵
特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境
2）已知两不平行晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]，可确定由 其决定的晶面的指数（h k l ) u1h v1k w1l 0
u2 h v2 k w2l 0 h:k :l v1 v2 w1 w2 : w1 u1 w2 u2 u2 : u1 v1 v2
3）判断三轴是否同面：
第二章 固体结构 The structure of Solids
气态 物质 液态 固态
原子在空间呈有规则的周期性重复排列 晶体：
非晶体：原子在空间无规则排列
金的原子力 显微照片
高分辨率电镜直接观察晶体中原子的排列
※ 2.1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子、离子）在三维空 间呈周期性重复排列，即存在长程有序
例：[ 1 1 0 ] [ 1 0 1 0]
• 三轴指数与四轴指数之间的转换
Hale Waihona Puke Baidu
5.晶带
所有相交于某一晶向直线或平行于
此直线的晶面构成一个 “晶带”，
此直线称为晶带轴，所有的这些晶 面都称为共带面。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ————晶带定律
6．晶面间距
直角坐标系d hkl＝ 1 h 2 k 2 l 2 （ ） ＋（ ） ＋（ ） a b c
立方晶系 d hkl＝
六方晶系 d hkl＝
a h 2＋k 2＋l2
1
4 h 2＋hk＋k 2 l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
注意：对复杂晶胞如fcc、bcc还应考虑增加晶面的影响 如体心立方、面心立方的晶面间距仅为简单立方系的一半。
5.晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵
• 简单晶胞（初级晶胞）：只有在平行六面体每个顶角上有一阵点
• 复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
5.晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵
问题1：为什么只有14种布拉维点阵？
底心四方相当于简单四方 面心四方相当于体心四方
相邻两正方形中心和这两正方形的公共边两顶点
晶面：空间中不在一直线任三个阵点的构成的平面，
代表了晶体中原子列的方向。 c
阵点坐标
op ua vb wc
b a
1. 晶向指数
求法： [101] 1）确定坐标系 2）过坐标原点，作直线与待求 晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并 确定该点的坐标（x，y，z） 4）将此值化成最小整数u，v， w并加以方括号[u v w]即是。
Total: 12
{123} (123) ( 1 23) (123) (12 3) (132) ( 1 32) (1 3 2) (132) (231) ( 231) (2 3 1) (23 1 ) (213) ( 213) (2 1 3) (21 3) (312) ( 3 12) (3 1 2) (312) (321) ( 3 21) (321) (32 1 ) Total: 4×3！=24
位于晶胞内的原子与角上的 原子具有不同的周围环境。 将晶胞角上的一个原子与相 应的晶胞之内的一个原子共 同组成一点阵点，阵点可看 作由0,0,0和2/3,1/3,1/2这 一对原子所组成
2/3,1/3,1/2
0,0,0
2.1.2 晶向指数和晶面指数 晶向：空间点阵中节点列的方向。空间中任两节点的 连线的方向，代表了晶体中原子列的方向。
c
[110]
-
[011]
[111]
[010] [100] [110] [210] [110]
-
b
a
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数：[x2-x1,y2-y1,z2-z1]
*指数看特征，正负看走向
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。
六方晶系
当h＋2k＝3n（n＝0， 1， 2， 3， ），l=奇数，有附加面：
d hkl＝ 1 2 1 4 h ＋hk＋k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
，如{0 0 1}面
通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小
两晶向之间的夹角： 在立方晶系中按矢量关系，晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]之间 的夹角满足关系：
注意：非立方系对称性改变。如正交系（a≠b≠c）
（100）（010）（001）非等同晶面
a）h k l三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有
3 ！ 4＝24组，如{1 2 3}
b）h k l有两个数字相等 且都≠0，则有， 3 ！ 4＝12 如{1 1 2} 2 ！ c) h k l三个数相等且不为0，则有，
在立方晶系中有：
（hkl）⊥[ hkl ]
晶面族{h k l}中的晶面数 晶面族：在晶体内凡晶面间距和原子的分布完全相同，只是
空间位向不同的晶面可以归为同一晶面族。用｛｝表示
{111} (111) (1 11) (1 1 1) (11 1)
(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响 立方晶系： 面心立方（FCC)，当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面：
1 a d hkl＝ ，如{1 0 0},{1 1 0} 2 h 2＋k 2＋l2
体心立方（BCC)，当h＋k＋l＝奇数时，有附加面： 如{1 0 0},{1 1 1}
若方向相反，则晶向的数字相同，但符号相反 晶向族<u v w>：因对称关系而等价的各组晶面
可归纳为一个晶向族。
问：立方晶系的<111>和<110>晶向族分别包括哪些晶向？
2.晶面指数
求法： 1）确定坐标：
2）求截距：晶面与三轴的截距，m(a), n(b), p(c)；
3）取倒数：1/m, 1/n, 1/p 4）互质化：加括号，记为（h k l）
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w 2 ＝0，则三个晶轴同在一个晶面上 w3
4）判断三面是否同晶带：
h1 h2 h3
k1 l1 k2 l2 ＝0，则三个晶面属一个晶带 k3 l3
6．晶面间距
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间距，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l） 面所交截的距离即是 推导：以简单立方为例 设ABC为具原点最近的晶面 在abc上截取a/h，b/k，c/l 则法线ON的长度即晶面间距。 设法线与3个坐标轴的夹角分别为 αβγ，则 a b c d hkl cos cos cos h k l dhkl2[(h/a)2+ (k/b)2 +(l/c)2]= cos2α+cos2β+cos2γ 直角坐标系：cos2α+cos2β+cos2γ=1
？8个晶面？
{111} (111) (1 11) (1 1 1) (11 1)
{110} (110 ) (101) (011) (1 10) (1 01) (0 1 1) (1 1 0) (1 0 1 ) (0 1 1 ) (1 1 0) (10 1 ) (01 1 )
α,β,γ晶轴间的夹角
ruvw= ua + vb + wc
4.原胞（Primitive cell）
根据晶体内部原子排列的周期性，把晶体划分为一个个
形状和大小完全相同，相互紧密排列在一起的平行六面体 。这种根据实际晶体结构划分出的，最小体积单位构成的 基本单位称为原胞。
晶胞 原胞
差别：晶胞能完整反映晶体内部原 子或离子在三维空间分布；原胞一 般不能保持晶体结构的对称性
(111)
(001)
不能将坐标原点选在待 定的晶面上
(110)
若晶面与坐标轴平行，
则截距为无穷大 若有负号，表示在数字
上方.
(112)
(111)
注意：
1、（hkl）并不是一个晶面，而是一组平行晶面；
2、平行晶面的指数相同，或数字相同符号相反； 3、晶面通过原点或不与三个坐标轴相交，平移或延伸； 4、以点阵常数为单位，不是统一单位。
12个晶面？
{110} (110) (101) (011) (1 10) (1 01) (0 1 1)
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112 ) (121 ) ( 1 21) (1 21) (12 1 ) (211 ) ( 2 11) (2 1 1) (21 1 )
非立方晶系，晶面或晶向之间的夹角可以计算，但要复杂许多。
四方晶系：
cos
h1h2 k1k2 l1l2 2 2 a c 2 2 2 h12 k12 l12 h2 k2 l2 2 2 2 2 a c a c
六方晶系：
cos
4 1 l1l2 [h1h2 k1k2 (h1k2 h2 k1 )] 2 2 3a 2 c 2 2 4 l 4 l 2 2 2 2 1 2 ( h h k k ) ( h h k k ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3a c 3a c2
2.晶格（crystal lattice） ：为了表达
空间原子排列的几何规律，把粒子(原子
或分子)在空间的平衡位置作为节点，人 为地将节点用一系列相互平行的直线连 接起来形成的空间格架称为晶格。
3．晶胞（Unit cell）：代表性的基本单元（最小平行六面体）。
晶胞在三维空间重复堆砌可构成整个空间点阵，通常为小的平行六面体。 选取晶胞的原则： Ⅰ) 选取的平行六面体应反应出点 阵的最高对称性；
凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带。
1）两不平行晶面（h1 k1 l1)和（h2 k2 l2) ，可确定 由其决定的晶带轴[u v w] h1u k1v l1w 0
h2u k2 v l2 w 0 u :v:w k1 l1 k2 l2 l2 : l1 h1 h2 : h1 h2 k1 k2
问题2：为什么无面心四方而有面心立方呢？
面心立方可以转变为体心四方，但那样对
称性就变了。（不是立方的对称性了）
问题3：为什么无底心立方？
因为立方底心型会破坏立方体对角线上 的三重轴的对称性，不再满足立方晶系 特征元素的需要。
6. 晶体结构与空间点阵
• 为什么密排六方是一种晶体结构而不是一种 空间点阵？
120°
（h k i l ) [u v t w]
i= -( h+k ) t= -( u+v )
三指数系统
四指数系统
（h k l）
（h k i l） i＝-（h＋k）
[U V W] [u v t w] U=u-t, V=v-t, W=w 1 1 u= [2U-V], v= [2V-U], t=-(u+v), w=W 3 3
3! 4 4组，如{111} 3!
3! 4 12组，如{1 2 0} 2
d）h k l 有一个为0，应除以2，则有
有二个为0，应除以22，则有
3! 4 3组，如{1 0 0} 2 2!2
3.六方晶系指数
三坐标系 a1，a2，c 四轴坐标系 a1，a2，a3，c
120°
120°