倒易点阵习题集
固体物理(第4课)倒易空间
b3
b2
b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 4π a 2π a ( i j k ) b ( i k ) b 2 2 2 a a 2π a a (i j k ) b3 (i j ) 3 2 a
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格
a1 a i 2 b1 i a
(2) 二维晶格
a1、a 2 b1 2 b2 2
构造a 3，令a 3 ＝k a2 a3 a1 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 a 3
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵 (6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
a1 a3 CA ＝OA OC h1 h3 a 2 a3 CB ＝OB OC h2 h3 CA Gh 0 Gh CA CB Gh 0 Gh CB
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
2 Γ： 0,0,0 a 2 X： 1,0,0 a 2 3 3 K： , ,0 a 4 4 2 1 1 1 L： , , a 2 2 2
简约布里渊区：十四面 体 2 V 4 V倒易原胞 a
—— 第一布里渊区
原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有 十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
2-4-倒易点阵
第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
现代材料分析测试技术 第02章 3_倒易点阵爱瓦尔德作图法
1
倒易点阵的引入
• 倒易点和倒易原点 • 晶体点阵中的晶面和相应倒易点的关系
• 整个晶体中各种方位、各种面间距的晶 面所对应的倒易点之总和，构成了一个 三维的倒易点阵。正空间与倒空间
2
3
1.倒易点阵中单位矢量的定义式
• a*· b = a*· c = b*· a = b*· c = c*· a= c*· b =0 • • a*· a = b*· b = c*· c =1 a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞 的体积
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数 从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具有 同一坐标原点，则 正点阵中的每组平行晶面（hkl)在倒易点阵中只须 一个阵点就可以表示，此点处于hkl的公共法线 （倒易矢量方向上） 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定， 正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量 就能表示。 若已知某一正点阵，可求出相应的倒易点阵。
7
• • • •
2-4 爱瓦尔德图解法
• 倒易点阵的另一个应用
• 爱瓦尔德Βιβλιοθήκη 解法是布拉格定律的几何表达形式8
• 由于晶体中晶面方位，面间距不同，所以 当入射线沿一定方位入射时，可能同时存 在若干束衍射线
• 采用爱瓦尔德图解法，可求得衍射线的方 向
9
爱瓦尔德作图法
10
爱瓦尔德作图法
• 1.作倒易点阵，倒易原点为O*
• O*D＝oo*sinθ
• g=1/d （倒易矢量的定义）
13
爱瓦尔德球反映的性质
• 三个矢量的相对关系 • g代表与正空间相应的（hkl）衍射晶面的 特性：大小 方向 • 应用
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
倒易点阵的习题集材料.doc
例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()1ˆˆˆ2aa x y z =+- ()2ˆˆˆ2aa x y z =-++ ()3ˆˆˆ2aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()312312c V a a a a =⋅⨯=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ ()2123ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV a a a a b a a xy a a a π=⨯=-=+- ()2231ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a yz a a a π=⨯=-=+- ()2312ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a zx a a a π=⨯=-=+-于是有：()()()123222ˆˆˆˆˆˆ,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1ˆˆ2aa x y =+ ()2ˆˆ2aa y z =+ ()3ˆˆ2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =⋅⨯=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ⋅⨯，现计算()123b b b ⋅⨯．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 此处()123c V a a a =⋅⨯ 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
2-1倒易点阵
正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm · Gn=2πμ ，μ =0，±1， ± 2… • 推论：若两矢量点积为2π的整数倍，且其中一个矢量为正（倒）易点阵 位矢，则另一矢量必为倒易（正）点阵的位矢。
(2)V * V (2 )3
倒格基矢和正格基矢之间的几何关系？
5. 由定义可知： b
•
1
a2 , a3 ; b2 a3 , a1; b3 a1, a2 ;
推论：如果a1、a2、a3相互垂直，则b1、b2、b3分布平行于 a1、a2、a3，且有
b1
2 2 2 , b2 , b3 . a1 a2 a3
b
a
例1：两种原子组成下图所示的二维正方格子，晶格沿水平和垂直方向的总长度分 为4cm和2cm。试回答下列问题 ： （1）在图1中画出原胞图形，取基矢；计算原胞的面积及此 晶格包含的原胞数。 （2）此晶格的倒格子基矢？画出倒格子图形，其对应的原胞面积？
例2：六角晶系的倒格基矢？
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学 中各种重要关系式； • 引入倒格子，可方便地把三维周期函数展开成傅里叶 级数； • 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒 格矢有关)-->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶 体的(正格子)结构； • 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k， 通常用波矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的 振动状态。由倒易点阵基矢所张的空间称为倒易空间， 其可理解为状态空间（k空间）。
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．
[证明] (a)
知， 倒易点阵初基晶胞体积为 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ，现计算 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ．由式(2． 1)
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc
2π n G
(2.4)
这里 n 是 G 与
G G ( hkl )
(2.5)
由倒易点阵矢量与点阵晶面间的关系得到， 点阵平面的面指数就是和该点阵 平面垂直的最短倒易点阵矢量在特定的一组倒易点阵初基矢量上的三个坐标。 3．X-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件 X-射线的衍射条件有两种等价的表示法： (i)布喇格定律：布喇格假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每 个原子平面只反射很少一部分辐射，而将大部分辐射透射到下一层原子平面．如 图 2.1 所示．当来自平行原子平面的反射有相同位相时，发生相长干涉，于是得 到尖锐的反射峰(称为布喇格峰)，由此导出 X-射线反射的布喇格定律为
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc ˆ y a 2 a − 2 ˆ y a − 2 a 2 ˆ y a 2 a 2 ˆ z a a2 ˆ+ y ˆ) = (x 2 2 a 2 ˆ z a a2 ˆ+z ˆ) = (y 2 2 a − 2 ˆ z a a2 ˆ) ˆ+x − = (z 2 2 a 2
nλ = 2d sin θ
(2．6)
其中 λ 是入射波波长，n 为相应的反射级，θ 是入射束的布喇格角，d 为面间距． (ii) 劳厄条件: 劳厄对 X-射线衍射的处理方法和布喇格不同，他不需要把晶 体分解为互相平行的原子平面，也不需要作镜面反射的假定，而是把晶体看作由 放置在布喇格点阵阵点上的微观物体所组成， 每个微观物体都向各个方向将入射 辐射再辐射出去．由相距 r 的体元散射出的射线束之间的位相差因子是
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
画出倒易点阵的例题
画出倒易点阵的例题倒易点阵是一种常见的练习方法，可以帮助提高绘画技巧和观察力。
下面是一个简单的倒易点阵例题。
首先，准备一张正方形的纸，可以使用绘图纸或普通的白纸。
然后，在纸上画出一个小方格网格，如下图所示：```---------------| | | |---------------| | | |---------------| | | |---------------```接下来，选择一个对称的形状或图案，例如一个心形。
用铅笔在小方格中心的位置画出这个形状，如下图所示：```---------------| | | |---------------| | ● | |---------------| | | |---------------```然后，在其他的对称位置上也画出这个形状，如下图所示：```---------------| ● | | ● |---------------| | ● | |---------------| ● | | ● |---------------```最后，将所有的小方格中的图案连接起来，形成一个完整的倒易点阵图案，如下图所示：```---------------| ● | ● | ● |---------------| ● | ● | ● |---------------| ● | ● | ● |---------------```这就是一个简单的倒易点阵例题。
你可以尝试使用不同的图案和形状来练习倒易点阵，以提高你的绘画技巧。
2-4-倒易点阵
第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
倒易点阵习题集
倒易点阵习题集例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()12aa x y z =+- ()22aa x y z =-++ ()32aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()31231 2c V a a a a =??=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ==?=? ()212322222222c x y zV a a a a b a a xy a a a π=?=-=+- ()223122222222c xy z V a a a a b a a yz a a a π=?=-=+- ()23122222c xy zV a a a a b a a zx a a a π=?=-=+-于是有：()()()123222,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1??2aa x y =+ ()2??2aa y z =+ ()3??2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =??=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b bb ??．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ==?=? 此处()123c V a a a =?? 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ==??- ?这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D =??-?。
倒易点阵
厄瓦尔德图解:衍射矢量方程与倒易点阵结合, 厄瓦尔德图解:衍射矢量方程与倒易点阵结合,表示 衍射条件与衍射方向
反射球(衍射球, 反射球(衍射球,厄 瓦尔德球) 瓦尔德球):在入射线 方向上任取一点C为球 心,以入射线波长的倒 数为半径的球. 产生衍射的条件: 产生衍射的条件:若以入 射线与反射球的交点为原 点,形成倒易点阵,只要 倒易点落在反射球面上, 对应的点阵面都能满足布 拉格条件,衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向.
P1
SP1 / λ
r
* P1
SP2 / λ
S0 / λ
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1,劳埃法:单晶体试样固定不动,采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2,旋转晶体法:单晶体绕与入射线垂直的轴转动.
材料现代研究方法讲义
b×c b×c a*= = V a b × c
c×a c×a b* = = V bc× a a×b a×b c* = = V ca×b
aib * = bic * = cia * = 0
a* = 1 a , b* = 1 b , c* = 1 c
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点,线,面的关系 点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * 倒易点阵基本平移矢量: 倒易点阵基本平移矢量:a *, b *, c *
为新的三个基矢, 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢, 引入另一个点阵, 引入另一个点阵,显然该点阵 c×a 中的点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * b* = V 的方向就是晶面(hkl)的法线方 的方向就是晶面 的法线方 a×b 向,该矢量指向的点阵点指数 c* = V 即为hkl 即为 . 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面
材料分析题库含答案
材料分析题库含答案材料分析试题库选择题：一、1. M层电子回迁到K层后，多余的能量放出的特征X射线称（ B ）A.Kα；B. Kβ；C. Kγ；D. Lα。
2. 当X射线发生装置是Cu靶，滤波片应选（ C ）A．Cu；B. Fe；C. Ni；D. Mo。
3. 当电子把所有能量都转换为X射线时，该X射线波长称（ A ）A.短波限λ0；B. 激发限λk；C. 吸收限；D. 特征X射线4.当X射线将某物质原子的K层电子打出去后，L层电子回迁K 层，多余能量将另一个L层电子打出核外，这整个过程将产生（D ）A.光电子；B. 二次荧光；C. 俄歇电子；D. （A+C）二、1.最常用的X射线衍射方法是（ B ）。
A. 劳厄法；B. 粉末法；C. 周转晶体法；D. 德拜法。
2.射线衍射方法中，试样为单晶体的是（D ）A、劳埃法B、周转晶体法C、平面底片照相法D、 A和B3.晶体属于立方晶系，一晶面截x轴于a/2、y轴于b/3、z轴于c/4，则该晶面的指标为（ B）A、(364)B、(234)C、(213)D、(468)4.立方晶系中，指数相同的晶面和晶向（B ）A、相互平行B、相互垂直C、成一定角度范围D、无必然联系5.晶面指数（111）与晶向指数（111）的关系是（ C ）。
A. 垂直；B. 平行；C. 不一定。
6.在正方晶系中，晶面指数{100}包括几个晶面（ B ）。
A. 6；B. 4；C. 2D. 1；。
7.用来进行晶体结构分析的X射线学分支是（ B ）A.X射线透射学；B.X射线衍射学；C.X射线光谱学；D.其它三、1、对于简单点阵结构的晶体，系统消光的条件是（ A ）A、不存在系统消光B、h+k为奇数C、h+k+l为奇数D、h、k、l为异性数2、立方晶系{100}晶面的多重性因子为（ D ）A、2B、3C、4D、63、洛伦兹因子中，第一几何因子反映的是（ A ）A、晶粒大小对衍射强度的影响B、参加衍射晶粒数目对衍射强度的影响C、衍射线位置对衍射强度的影响D、试样形状对衍射强度的影响4、洛伦兹因子中，第二几何因子反映的是（ B ）A、晶粒大小对衍射强度的影响B、参加衍射晶粒数目对衍射强度的影响C、衍射线位置对衍射强度的影响D、试样形状对衍射强度的影响5、洛伦兹因子中，第三几何因子反映的是（ C ）A、晶粒大小对衍射强度的影响B、参加衍射晶粒数目对衍射强度的影响C、衍射线位置对衍射强度的影响D、试样形状对衍射强度的影响6、对于底心斜方晶体，产生系统消光的晶面有（ C ）A、112B、113C、101D、1117、对于面心立方晶体，产生系统消光的晶面有（ C ）A、200B、220C、112D、1118、热振动对x-ray衍射的影响中不正确的是（E ）A、温度升高引起晶胞膨胀B、使衍射线强度减小C、产生热漫散射D、改变布拉格角E、热振动在高衍射角所降低的衍射强度较低角下小9、将等同晶面个数对衍射强度的影响因子称为（ C ）A、结构因子B、角因子C、多重性因子D、吸收因子四、1、衍射仪的测角仪在工作时，如试样表面转到与入射线成30度角时，计数管与入射线成多少度角?（B）A. 30度；B. 60度；C. 90度。
倒易点阵
正点阵基矢间夹角和倒点阵 基矢间夹角间的关系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
• 最后得 • 同理得 • 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
a
Hhkl
垂直关系（方向）
在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的 倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc* Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
晶体学基础
倒易点阵
Outline
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质
• 由正点阵导出倒易点阵 • 倒易矢量在晶体学中几何关系的应用
倒易点阵引入（1）
• 1913-1921年Ewald根据Gibbs倒易空间概念提出了倒易点阵。 • 晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量Shkl。
• 底心点阵的倒易点阵仍为底心点阵，如果是C面有 心化，倒易点阵单胞的棱长已不是a*, b*, c*，而是 2a*, 2b*, c* 。单胞体积变为正点阵单胞的4倍。
SUMMARY
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质（垂直及倒数关系） • 如何由正点阵导出倒易点阵 • 求点阵平面的法线方向指数
倒易点阵定义
点阵参数分别为a, b, c和a*,b*,c* 的两个点阵的基矢存在如下关系：
则，这两个点阵互为倒易。 正点阵晶胞体积为V，则 V = a●b×c 因a ● a*=1，则 a* =(b×c)/V 同理 b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V 同理 a =(b* ×c*)/V*; b =(c* ×a *)/V*; c =(a* ×b)/V* 正点阵晶胞体积与倒易点阵晶胞体积之间也存在倒易关系，即 V● V*≡1
《材料现代分析方法》练习与答案
第一章一、选择题1.用来进行晶体结构分析的X射线学分支是（ B）A.X射线透射学；B.X射线衍射学；C.X射线光谱学；2. M层电子回迁到K层后，多余的能量放出的特征X射线称（ B ）A.Kα；B. Kβ；C. Kγ；D. Lα。
3. 当X射线发生装置是Cu靶，滤波片应选（ C ）A．Cu；B. Fe；C. Ni；D. Mo。
4. 当电子把所有能量都转换为X射线时，该X射线波长称（A ）A.短波限λ0；B. 激发限λk；C. 吸收限；D. 特征X射线5.当X射线将某物质原子的K层电子打出去后，L层电子回迁K层，多余能量将另一个L层电子打出核外，这整个过程将产生（D）（多选题）A.光电子；B. 二次荧光；C. 俄歇电子；D. （A+C）二、正误题1. 随X射线管的电压升高，λ0和λk都随之减小。
（）2. 激发限与吸收限是一回事，只是从不同角度看问题。
（）3. 经滤波后的X射线是相对的单色光。
（）4. 产生特征X射线的前提是原子内层电子被打出核外，原子处于激发状态。
（）5. 选择滤波片只要根据吸收曲线选择材料，而不需要考虑厚度。
（）三、填空题1. 当X射线管电压超过临界电压就可以产生连续X射线和特征X射线。
2. X射线与物质相互作用可以产生俄歇电子、透射X射线、散射X 射线、荧光X射线、光电子、热、、。
3. 经过厚度为H的物质后，X射线的强度为。
4. X射线的本质既是波长极短的电磁波也是光子束，具有波粒二象性性。
5. 短波长的X射线称，常用于；长波长的X射线称，常用于。
习题1. X 射线学有几个分支？每个分支的研究对象是什么？2. 分析下列荧光辐射产生的可能性，为什么？（1）用CuK αX 射线激发CuK α荧光辐射；（2）用CuK βX 射线激发CuK α荧光辐射；（3）用CuK αX 射线激发CuL α荧光辐射。
3. 什么叫“相干散射”、“非相干散射”、“荧光辐射”、“吸收限”、“俄歇效应”、“发射谱”、“吸收谱”？4. X 射线的本质是什么？它与可见光、紫外线等电磁波的主要区别何在？用哪些物理量描述它？5. 产生X 射线需具备什么条件？6. Ⅹ射线具有波粒二象性，其微粒性和波动性分别表现在哪些现象中？7. 计算当管电压为50 kv 时，电子在与靶碰撞时的速度与动能以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大动能。
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2?。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射x射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心o处，入射线经试样与球相交于o*；以o*为倒易原点，若任一倒易点g落在厄瓦尔德球面上，则g对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。