《曲率半径》PPT课件
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Z
2、法截线的作用
3、基本思路
椭球面方程
X
X2 Y2 Z2 a2 a2 b2 1
P
O
P1 B K
P2 Y
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
4、新坐标系P-xyz的定义
5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤
Z
x
P
y
P1
X
z
BO
K
求P-xyz中的椭球面方程 求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径
P2 Y
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
椭球面基本几何元素及其相互关系 (a, b, c, , e, e)
a b 1 e'2 b a 1e2
c a 1 e'2 a c 1e2
e' e 1 e'2 e e' 1 e2
e2 2 2
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’顺时针
旋转(90°+B)，使Z’轴与P 点的椭球面 法线重合，得坐标系P-X’’Y’’Z’’
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
Z
Z
’
移轴：将原点O移至P点得坐标系PX'Y'Z’
P
Y ’
X
O
Y
’
B
X X X P X N cos B X
K
Y
Y
YP
Y
0
移轴
Z Z ZP Z N (1 e2 )sinB
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转换关系为
X
X
Y
RY
N
PK N a W
PQ N (1 e2 )
P
W
O
B
E
Q
QK Ne 2
K
构成直角三角形
QK Ne2 OK Ne2 sin B OQ Ne2 cos B
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
本节课主要内容
任意方向法截线曲率半径。 子午圈和卯酉圈曲率半径。 曲率半径变化规律。 平均曲率半径。
(90
B
) Y
Z
Z
Z
X
’
”
P
Y Y’
X ’
B
Z ”
O
”
K
X cos(90 B) 0 sin(90 B) X 第 一次转轴
Y
0
1
0
Y
Z sin(90 B) 0 cos(90 B) Z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系
X ”
x
PA
Y
y”
zZ
B”
OO
X
x XP
Y
RY
(90
B)
RZ
(
A)
y
YP
Z
z ZP
X (x cos A y sin A) sin B z cos B N cos B Y x sin A y cos A
辅助函数
W 1 e2 sin2 B V W 1 e'2
V 1 e'2 cos2 B W V 1 e2
W
大值 小值 1 e2
N
b
Oa
E
小值 大值 1 e2
S
参考椭球
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
重要结论
椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面
上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
第二次转轴： P-X’’Y’’Z’’绕Z’’轴， 顺时针旋转角A（A为P点处法截线方位 角），得坐标系P-xyz
X ”
x
PA
Y
y”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P点在O-XYZ中的坐标
YXPP0PP2 N cos B
Z
P
PP1
N (1 e2 )sin B
P
P2’ XP
ZP
O
Y
B
X
P1’ K
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x cos A
Y
RZ
(
A)
y
sin
A
Z
z 0
sin A cos A
0
0 x
0
y
1 z
X ”
x
PA
Y
y”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。 法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是一平面曲线。
Z
x
P
y
P1
X
z
BO
K
Hale Waihona Puke Baidu
P2 Y
坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合； x轴：为法截线P1PP2在P
点处的切线方向； y轴：与P点的法截面垂直，
使坐标系P-xyz成右手系
P-xyz中法截面方程
y0
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
2、法截线的作用
3、基本思路
椭球面方程
X
X2 Y2 Z2 a2 a2 b2 1
P
O
P1 B K
P2 Y
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
4、新坐标系P-xyz的定义
5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤
Z
x
P
y
P1
X
z
BO
K
求P-xyz中的椭球面方程 求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径
P2 Y
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
椭球面基本几何元素及其相互关系 (a, b, c, , e, e)
a b 1 e'2 b a 1e2
c a 1 e'2 a c 1e2
e' e 1 e'2 e e' 1 e2
e2 2 2
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’顺时针
旋转(90°+B)，使Z’轴与P 点的椭球面 法线重合，得坐标系P-X’’Y’’Z’’
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
Z
Z
’
移轴：将原点O移至P点得坐标系PX'Y'Z’
P
Y ’
X
O
Y
’
B
X X X P X N cos B X
K
Y
Y
YP
Y
0
移轴
Z Z ZP Z N (1 e2 )sinB
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转换关系为
X
X
Y
RY
N
PK N a W
PQ N (1 e2 )
P
W
O
B
E
Q
QK Ne 2
K
构成直角三角形
QK Ne2 OK Ne2 sin B OQ Ne2 cos B
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
本节课主要内容
任意方向法截线曲率半径。 子午圈和卯酉圈曲率半径。 曲率半径变化规律。 平均曲率半径。
(90
B
) Y
Z
Z
Z
X
’
”
P
Y Y’
X ’
B
Z ”
O
”
K
X cos(90 B) 0 sin(90 B) X 第 一次转轴
Y
0
1
0
Y
Z sin(90 B) 0 cos(90 B) Z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系
X ”
x
PA
Y
y”
zZ
B”
OO
X
x XP
Y
RY
(90
B)
RZ
(
A)
y
YP
Z
z ZP
X (x cos A y sin A) sin B z cos B N cos B Y x sin A y cos A
辅助函数
W 1 e2 sin2 B V W 1 e'2
V 1 e'2 cos2 B W V 1 e2
W
大值 小值 1 e2
N
b
Oa
E
小值 大值 1 e2
S
参考椭球
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
重要结论
椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面
上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
第二次转轴： P-X’’Y’’Z’’绕Z’’轴， 顺时针旋转角A（A为P点处法截线方位 角），得坐标系P-xyz
X ”
x
PA
Y
y”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P点在O-XYZ中的坐标
YXPP0PP2 N cos B
Z
P
PP1
N (1 e2 )sin B
P
P2’ XP
ZP
O
Y
B
X
P1’ K
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x cos A
Y
RZ
(
A)
y
sin
A
Z
z 0
sin A cos A
0
0 x
0
y
1 z
X ”
x
PA
Y
y”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。 法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是一平面曲线。
Z
x
P
y
P1
X
z
BO
K
Hale Waihona Puke Baidu
P2 Y
坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合； x轴：为法截线P1PP2在P
点处的切线方向； y轴：与P点的法截面垂直，
使坐标系P-xyz成右手系
P-xyz中法截面方程
y0
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)