静电场4-静电场的解(镜像法+场图)(1)

例10 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 q 离地面高度为h，则
E p = E+ + E− （方向指向地面）
Ep
=
2
q
4πε0r2
cosθ
=
qh
2πε0 (h2 + x2 )3/2
σp
=
−ε0 E p
=
−
qh 2π(h2 + x2 )3/ 2
整个地面上感应电荷的总量为
求解区域三个不变：
电荷分布 介质分布
不变
∇2ϕ = − ρ ε
微分方程不变
边界条件 不变
解唯一
镜像法
镜像法特点
• 虚设的电荷 —— 镜像电荷 • 求解区域 —— 有效区域 • 非求解区域 —— 无效区域 • 用镜像电荷取代无效区域的媒质不均匀性，把求解
空间变为无限大均匀介质；用真实电荷与镜像电荷 在有效区域产生的场的叠加给出原问题的解。 • 镜像电荷只能设置于无效区域； • 得到的解只适用于有效区域。
ε0
− •q1 上半空间
− q2
•
ε0
r2'
ε0
•Q
q•2 r2 下半空间
ϕP
=
q1
4πε 0 r1
+
− q1
4πε 0 r1 '
ϕQ
=
q2
4πε 0r2
+
− q2
4πε 0r2 '
EP
=
q1
4πε 0 r12
r10
−
q1
4πε0r1 '2
r1' 0
EQ
=
q2
4πε 0 r2
r2 0
−
q2
4πε0
r2
ρ22 = a12 + (h1 + b)2 − 2a1(h1 + b) cosθ
ϕP
=
τ 2πε 0
ln
ρ2 ρ1
=const
⇒
ρ
2 2
=
k 2 ρ12
电轴法
⇒ a12 + (h1 + b)2 − 2a1(h1 + b) cosθ
= k 2[a12 + (h1 − b)2 − 2a1(h1 − b) cosθ ]
静电场场图
等位线之间处处不相交； 电力线之间处处不相交。
V形电极对无限大平面
静电场场图
锥形电极对无限大平面导体
静电场场图
尖角处电场强， 凹陷处电场弱。
凹槽电极对平板
静电场场图
孤立导体从远处看象一个点电荷， 等位面呈球形；近处等位面接近 于导体表面形状。
L形截面电极
静电场场图
带电圆环产生的电场
电荷与镜像关于球 面反演。
球内是两个电荷作 用的叠加；球外电 位与电场都为0。
点电荷对球面导体的镜像
d.在问题c中，球壳不接地，求球壳内外的电位及电 场分布。
球内电场分布不变，但电位被抬高；球外的场相 当于电荷位于球心的作用。
镜像法
(4) 导电圆柱之间的镜像——电轴法
边值问题：
⎧∇ 2ϕ = 0 （导线以外空间）
'
r2'
0
导体板(无效区域)的厚薄对有效区的场没有影响；唯有边界重要。
镜像法
平面镜像的推广
•τ
ε0
•τ
ε0
ε0
•−τ
ρ ε0
ρ
ε0 ε0
−ρ
镜像法
（2）点电荷对无限大介质交界面镜像
•q
ε1 ε2
P
•
s
边值问题：∇ 2ϕ1 = 0 （S 上方 ε 1 中除 q 所在点）
∇ 2ϕ 2 = 0 （S 下方 ε 2 中）
电轴法
讨论： （1）两圆柱半径相同情况。
（2）两个导体中有一个可 看作电轴。
（3）距离d 远大于半径a时，可认为电轴 位于圆心，表面电位为
ϕA
=
τ 2πε 0
ln
d a
ϕB
=
τ 2πε 0
ln
a d
（4）一个圆柱导体位于另一个圆柱导体内部（偏心 电缆）问题。
答案：
h12 = a12 + b2 h22 = a22 + b2 d = h2 − h1
上式与θ 无关，故： q2 (b2 + R2 ) − q '2 (d 2 + R2 ) = 0
q '2 d − q2b = 0
得：
bd = R2, q′ = − R q
d
讨论： （1）写出空间任一点(球内与球外)的电位和电场。 （2）导体球是空心的还是实心的对场有何影响？ （3）计算导体球上的感应电荷。
点电荷对球面导体的镜像
b.在问题a中，如果导体球不 接地，求电位与电场分布。
边值问题：
∇2ϕ = 0
v∫s D ⋅ dS = q
ϕ = const
（除 q 所在点外的球外区域） （S 为包围 q 的小闭合面） （导体球表面）
v∫Sc D ⋅ dS = 0 （Sc为导体球表面）
如何在问题a的基础上加以修订得到本题的答案？
q + q' = q''
ε1
ε2
q − q'= q''
解出： q' = ε1 − ε 2 q ε1 + ε2
q'' = 2ε2 q ε1 + ε2
讨论：写出空间任一点的电位和电场。
（3）点电荷对导体球的镜像
a.设一点电荷位于一接地导 体球附近，求它所产生的电 位及电场分布。
边值问题：
∇2ϕ = 0 ϕ =0
点电荷 q 在地面引起 的感应电荷的分布
∫ ∫ S σ pdS =
∞ 0
2π
−qh (h2 + x2
)3/
2
⋅
2π
xdx
=
qh
⎡
⎢ ⎣
(h
2
+
1 x2
)1/ 2
⎤∞ ⎥ ⎦0
= −q
镜像法
例11 导板（接地）上下方各有一点电荷，求空间任 一点电场强度及电位分布。
解：由镜像法：
ε0
q1• r1
•P
r1'
工程电磁场基础
第 3 章 静电场（4） 静电场的解(二)：镜像法
主讲人：陈德智
dzhchen@mail.hust.edu.cn 华中科技大学 电气与电子工程学院
2010年3月
镜像法（教材3.6节）
(1) 点电荷对平面导体的镜像
边值问题：
点电荷对平面导体 两等量异号电荷
∇2ϕ = 0
（除 q 所在点外的区域）
上半空间任一点的电位：
ϕ = q + q′ 4πε0r1 4πε0r2
= q (1 − 1)
4πε0 r1 r2
( y ≥ 0)
电场强度：
E = qr10 + q′r20
4πε0r12 4πε0r22
=
q
4πε 0
(
r10 r12
−
r20 r22
)
( y ≥ 0)
镜像法
• 在不改变求解区域电荷分布、介质分布和边界条 件的前提下，用虚设的简单电荷分布（称为镜像 电荷）来等效地代替导体表面的感应电荷或介质 分界面上极化电荷对求解区域电场的贡献，使场 的解答满足唯一性定理，从而大大简化问题的求 解。
点电荷对球面导体的镜像
问题b的答案。
讨论： （1）如果导体球本身还带有电荷 Q ，结果如何？ （2）导体球表面的电位是多少？ （3）设球是空心的，内部电
位与电场怎样分布？
点电荷对球面导体的镜像
c.设一点电荷位于接地导体球壳内部，求它在球 壳内外所产生的电位及电场分布。
bd = R2, q′ = − R q d
ϕ1 s = ϕ2 s
⇒ E1t = E2t
ε1
∂ϕ1
∂n
来自百度文库
s
=
ε2
∂ϕ 2
∂n
s
⇒
D1n = D2n
镜像法的思路：假定不均匀的介质能够用一个点电荷 等效，我们设法确定它的位置和大小。确定的依据是 “三不变”。
ε 1 区的镜像
ε 2 区的镜像
点电荷对无限大介质交界面的镜像
ε 1 区的镜像
ε 2 区的镜像
• 镜像法只能解决一些特殊的边值问题。更一般的边值 问题的求解方法，包括解析法和数值法，下节讨论。
作业：
3.18, 3.24, 3.27
选做有奖题：能否用镜像法分析
两个带电导体球之间的电场？给出 详细分析论证。（满分2分）
一些典型的场图
方芯圆壳偏心电缆电 位分布与电力线分布
静电场场图
• 导体表面是等位面； • 两导体之间，等位面
静电场场图
均匀带电圆板产生的电场
静电场场图
三角形均匀带电体 产生的电场
⇒ k 2 = a12 + (h1 + b)2 = 2a1(h1 + b)
a12 + (h1 − b)2 2a1(h1 − b)
⇒ h12 = a12 + b2
类似，当 P 位于圆柱 B 表面时可得到
h22 = a22 + b2
又
d = h1 + h2
三个方程联立可确定参数 h1, h2 和 b，从而原来的问 题有解且唯一，镜像法成立。
进一步讨论： a. 电位表达式(参考点)； b. 电场强度与耐压问题。
（参看教材p64-p66之例3.11和3.12）
镜像法
不算题外的话：
• 深刻地理解唯一性定理，它表明，两个场形态上可以 千差万别，但只要满足相同的微分方程和边界条件，就 有相同的解答。
• 镜像法是求解边值问题的一种方法（构造式的，说白一 点，就是“凑出来”的方法），“凑”的依据是唯一性定理。
计算交界面上任一点P 点 E1t，D1n，E2t ， D2n
E1t
=
q
4πε1r 2
cosθ
+
q'
4πε1r 2
cosθ
E2t
=
q''
4πε 2r 2
cosθ
D1n
=
q
4π r2
sin θ
−
q'
4π r2
sin θ
D2n
=
q''
4πr 2
sin θ
由：
E1t = E2t D1n = D2n
⇒
⎧ ⎨ ⎩
2πε 0 ρ
ϕ
=
−∫
E ⋅ dl
=−
τ 2πε 0
ln
ρ
+C
预问题2：双电轴的电位。
ϕ = τ ln ρ2 2πε0 ρ1
电轴法
设镜像电荷（电轴）如图， 导体外任一点P的电位为：
ϕ = τ ln ρ2 2πε0 ρ1
当 P 位于圆柱 A 表面时，
ρ12 = a12 + (h1 − b)2 − 2a1(h1 − b) cosθ
• 电场强度 E 和电位函数 ϕ 是对同一个场的描述，除了 ϕ 可能有一个常数的差别外，二者是等价的。常数取决于
参考点的选择。
镜像法
• 关于受力问题的一个简单说明：带电体受的力只与带 电状态及它所处的场有关；对于导体材料，带电状态也 取决于所处的场。因此，使用镜像法时，带电体受力可 以用镜像电荷对它的作用力等效。
v∫s D ⋅ dS = q
（除 q 所在点外的球外区域） （导体球表面） （S 为包围 q 的小闭合面）
镜像法的思路：假定导体球能够用一个点电荷等效， 设法依据“三不变”原则确定它的位置和大小。
点电荷对球面导体的镜像
设镜像电荷 q′ ，则球表面上
任一 P点的电位为：
ϕp
=
q
4πε 0 r1
+
q'
4πε 0 r2
=
0
由余弦定理：
r12 = d 2 + R2 − 2Rd cosθ r22 = b2 + R2 − 2Rb cosθ
代入整理得到：
[q2 (b2 + R2 ) − q '2 (d 2 + R2 )] + 2R(q '2 d − q2b) cosθ = 0
[q2(b2 + R2) − q '2(d2 + R2)]+ 2R(q '2 d − q2b)cosθ = 0
v∫⎪⎪ϕ
⎪⎪ ⎨
SA SA
= con D ⋅dS
st1
=τ
l
⎪⎪ϕ SB = const 2
v∫⎪
⎪⎩ SB
D
⋅ dS
=
−τ l
两导电圆柱形传输线
圆柱的镜像—电轴法
镜像法的思路：假定导体圆柱能够用线电荷等效，设 法依据“三不变”原则确定它的位置和大小。
预问题1：单根电轴的电场与电位。
E = τ eρ
形状光滑过渡； • 电力线处处垂直于
等位面。
带盖的金属槽电场分布
静电场场图
在两电极夹角处， 电力线呈弧形，等 位面成辐射状分布。
成夹角的导体 板之间的电场
静电场场图
边界条件也称定解条件。合适的 边界可以降低求解难度，减小求 解规模；不恰当的边界会带来不 恰当的结果。
点电荷对无限大导电平面： 一个边界选取不当至于影 响计算结果的例子。
ϕ =0
（导板及无穷远处）
v∫s D ⋅ dS = q
（S 为包围 q 的小闭合面
上半场域边值问题：
∇2ϕ = 0
（除 q 所在点外的区域）
ϕ = q − q = 0 （对称面及无穷远处）
4πε0r 4πε0r
v∫s D ⋅ dS = q
（S 为包围q 的闭合面）
点电荷对平面导体的镜像
讨论：写出下半空 间任一点的电位和 电场。