九年级数学圆周角定理 (2)

1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF。

(1) 求证：∠1＝∠F；

(2) 若CD＝3，EF＝5

2，求⊙O的半径长。

知识点一圆周角定理及其推论

【知识梳理】

1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论：

推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲】 例.1、如图，已知A (32

，0)、B (0，2)，点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为

__________。

（第1题图） （第2题图）

2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°

B ．72°

C ．64°

D ．36°

3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为_______。

（第3 题图） （第4 题图）

4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝___________。

O

E

D

A B

C O

A

B

C

C

B

A

O

5、如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB＋∠AOB=60°。（1）求∠AOB的度数；

（2）若AE＝1，求BC的长。

【课堂练习】

1、如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是_________。

（第1题图）（第2题图）

2、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝2∠4；③∠3＋∠5＝180°。其中正确的是（）

A．①③B．①②C．①②③ D．②③

3、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC。

(1) 求证：∠ACB＝2∠BAC；

(2) 若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数。

知识点二圆内接三角形、四边形

【知识梳理】

1、圆内接三角形

定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

性质：（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

注意：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。

2、圆内接四边形

定义：四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

性质：（1）圆内接四边形对角互补；

（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即外角等于内对角。

注意：圆的内接四边形的性质可以由同一条对角线（同一条弦）所对的两种圆周角互补得到。

【例题精讲】

例.1、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，C 是劣弧BD 的中点，延长DA 到E 点。已知∠COD ＝70°，

则∠BAE 的度数是（ ） A ．100°

B ．110°

C ．120°

D ．140°

（第1题图） （第2题图）

2、如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，45AB AC ==，BC ＝8，则⊙O 的半径为_______。

3、如图，OA=OB ，点 A 的坐标是（﹣2，0），OB 与 x 轴正方向夹角为 60°，则过 A ，O ，B 三点的圆的圆心坐标是___________。

4、如图，点 A，B，C，D 在⊙ O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，求∠OAD+∠OCD 的度数。

5、如图，已知 A、B、C、D 是⊙ O 上的四点，延长 DC、AB 相交于点 E，若BC=BE。求证：△ADE 是等腰三角形。

【课堂练习】

1、如图，△ABC内接于圆⊙O，∠B＝∠OAC，OA＝8 cm，则AC＝___________cm。

（第1题图）（第2题图）

2、如图，四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，连接 AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则

∠D=__________。

3、如图，△ABC 的外心坐标是__________。

（第3题图）（第4题图）

4、如图，⊙ O 的半径为 4，点 A、B、C 在⊙ O 上，且∠ACB=45°，则弦 AB 的长是__________。

5、如图，⊙ O 为△ABC 的外接圆，∠A=72°，则∠BCO 的度数为_________。