数学建模习题-第二章

数学建模第二章 习题

1．学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数

①按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者

②2.1节中的Q 值方法。

③Hondt d 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用1，2，3，…正整数相除，其商数如下表

将所得商数从大到小取10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2、3、5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10人增至15人，分配名额如何改变。

2．用2.5节实物交换模型中介绍的无差别曲线概念，讨论雇员和雇主之间的协议关系。

①以雇员一天的工作时间t 和工资w 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。

②如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）作出计时工资线族。根据雇员的无判别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论他们将在怎样的一条曲线上达成协议。

③设雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间1t 和工资1w ）。如果雇主想使雇员的工作时间增加到2t ，他有两种办法，一是提高计时工资率，在协议线的另一点（2t ，2w ）达成新的协议；另一种办法是实行超时工资制，即对工时1t 仍付原计时工资，对工时2t -1t 付给更高的超时工资，于是协议点为（2t ，2w ）。试用作图方法分析哪各办法对雇主更有利]4[。

3．在2.6节核武器竞赛模型中，如果甲方引进多弹头导弹（每枚导弹都装上N 个弹头），平衡点将如何改变。如果乙方也引进多弹头导弹呢？

4．用初等概率方法讨论随机性的核武器竞赛模型。设一方的每枚导弹被对方一枚导弹击中的概率为p ，攻击是相互独立的。问当一方以全部导弹攻击对方时，对方平均能幸存多少枚导弹。由此得到双方的安全线，讨论平衡点的存在性。

5．将2.7节的传染病随机感染模型从静态的发展为动态的，即仍利用原来的假设。记第k 天的病人和健康者的人数为k i 和k s ，求k i 或k s 的平均值。

6．在2.8节传送带效率模型中，设工人数n 固定不变。若想提高传送带效率D ，一个简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，其他条件不变。当钩子数增加一倍，按（3）式可使“效率”E 减少一倍。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中有一只是空的，他就可以挂上产品。试推导这种情况下传送带的效率公式，从数量关系上证明这种办法比第一种办法好。

*7．购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？譬如蓝天牙膏60克装的每支0.96元，150克装的每支2.15元，二者单位重量的价格比是1.17:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。

①分析商品价格c 与商品重量的w 关系。价格由生产成本、运输成本和包装成本等决定。这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积s 成正比，还有与w 无关的因素。

②写出单位重价格c 与w 的关系，说明w 越大c 越小。

③说明单价c 随w 增加而下降的速度是负的，其实际意义是什么

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