(新课标)高考数学总复习第一节坐标系练习文新人教A版选修44

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第一节坐标系

A组基础题组

1.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)截得的弦长.

解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(ρ,θ),

在Rt△OAM中,∠OMA=,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.

因为cos∠AOM=,

所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,

即ρ=4cos=4cos,

验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,

故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.

(2)易知l过点O,设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于另一点P,

连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=,

易得∠AOP=,

所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.

解法二:(1)圆C是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,

所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.

(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,

得ρ=2,

所以圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)截得的弦长为2.

2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0(a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为直角坐标方程;

(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

解析(1)将C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.

(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8si n θcos θ+1-a2=0,

由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,

从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,

所以a=1.

3.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.

(1)求出圆C的直角坐标方程;

(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l'.若直线l'上存在点P 使得∠APB=90°,求实数m的最大值.

解析(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,

即x2+y2-4x=0,

故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.

(2)l:y=2x关于点M(0,m)对称的直线l'的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,

故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,

故≤2,

解得-2-≤m≤-2,

于是,实数m的最大值为-2.

B组提升题组

1.(2018湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cos θ.

(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程;

(2)若直线l与C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.

解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),

ρsin2θ=2cos θ,即ρ2sin2θ=2ρcos θ,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.

(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得

t2sin2α-(2cos α+8sin α)t+20=0,

设A,B对应的参数分别为t1,t2,

由一元二次方程根与系数的关系得,t1+t2=,t1t2=,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA|·|MB|=|t1t2|==40,得α=或α=.

又Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0,所以α=.

2.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B,若A、B都在曲线C1上,求+的值.

解析(1)因为C1的参数方程为

所以C1的普通方程为+y2=1.

由题意设曲线C2的极坐标方程为ρ=2a·cos θ(a为半径),将D代入,得2=2a×,所以a=2,

所以圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,

所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.

(2)曲线C1的极坐标方程为+ρ2sin2θ=1,

即ρ2=.

所以=,

=

=.

所以+=+=.

3.(2018河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=5.

(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;

(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标.

解析(1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0,

因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,

所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsin θ,即ρ=2sin θ.

ρ(cos θ+sin θ)=5即ρcos θ+ρsin θ=5,

因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,

所以直线l的直角坐标方程为y=-x+5.

(2)曲线C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆.

设圆上点A(x0,y0)到直线l:y=-x+5的距离最短,所以圆C在点A处的切线与直线l:y=-x+5平行.

即直线CA与l的斜率的乘积等于-1,即×(-)=-1.①

因为点A在圆上,所以+(y0-1)2=1,②

联立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=.

所以点A的坐标为或.

又由于圆上点A到直线l:y=-x+5的距离最小,

所以点A的坐标为,

点A的极径为=,极角θ满足tan θ=且θ为第一象限角,则可取θ=.

所以点A的极坐标为.

4.在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.

(1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;