画法几何：第九周 立体与立体相交

《画法几何》
第9周 立体与立体相交
3*
• 相贯线的性质
➢ 表面性：相贯线必位于相交立体的表面上； ➢ 共有性：相贯线是相交立体表面上共有的线，线上的点都
是相交立体表面上共有的点; ➢ 封闭性：相贯线一般由封闭的空间曲线或折线组成。
求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若 干共有点的投影。
《画法几何》
• 辅助平面法
步骤：
辅助平面
1.用一个辅助平面截切相交 的两个立体；
2.分别求出辅助平面切两立 体表面所得的二组截交线；
3.二组截交线的交点，即相贯线上的点。
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
【例】完成圆柱与圆锥相交的主视图和左视图。
1’ b’ 2’,4’
a’
3’
分析：
圆柱与圆锥正交，相贯
1" b" b"
第9周 立体与立体相交
*
【例】完成两圆柱体相交的主视图。
3′ 5′
2′
4′ 6′
4″
3″5″ 2″6″
分析：
两圆柱偏交，相贯线 为一条光滑的空间曲线， 其水平投影和侧面投影
1′
7′
分别与相应圆柱面的积
1″7″ 聚性投影重合。
作图步骤：
* 作出相贯线上的特殊点；
4
3 2
5 6
1
7
5′ 6′
* 作出中间点： * 光滑连接，注意可见性； * 完成轮廓线投影。
ef c
中间点
光滑连接椭圆弧（其中a´e´,f´b´ 段不可见）
* 完成轮廓线投影：
圆柱轮廓线 棱柱轮廓线
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
9.2 回转体与回转体相交
回转体与回转体表面相交时，相贯线一般是封闭而 光滑的空间曲线。
基本步骤： ➢ 确定特殊位置点：如轮廓线上的点、极限位置位置点、椭
圆长短轴端点、可见与不可见部分的分界点……等）； ➢ 补充适当的中间点； ➢ 光滑连接曲线。
d' 1'6' 4' c' 5' 2' 8'
3'7'
6”(4 ”)8”
1” 5” 2” 3” 7”
1 5 64 (3) 7 d 8 c
2
《画法几何》
P5H
第9周 立体与立体相交
作图： (1)选辅助面(正平面); (2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点; (3)求中间点； (4)判断可见性并连线； (5)补画轮廓线；
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
讨论： 1.立体的布尔运算与相贯线
并运算，外表面相交
差运算，一外与一内 表面相交
差运算，两内表 面相交
结论：内外表面相贯线相同，轮廓线不同。
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
讨论： 2. 相贯线与直径的关系
结论：相贯线总是向着直径较大的圆柱体的轴线弯曲。
《画法几何》
第 9周
立体与立体相交
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
内容
9.1 平面体与回转体相交 9.2 回转体与回转体相交 9.3 多形体相交
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
2
*
• 定义
相贯：立体与立体的相交 相贯线：立体相贯时表面产生的交线
封闭的空 间折线
若干段平面 直线和曲线
封闭的空 间曲线
多段空间直 线或曲线
a’ k’ l’ b’ c’≡d’
d
a
b
k
l
c
分析：
a”≡b”
两圆柱体正交，相贯线是前后及左
d”
k”≡l” c”
右分别对称的封闭空间曲线；其水平投
影和侧面投影均为已知，即：水平投影
积聚在俯视图的小圆上，侧面投影积聚
在左视图中大圆上方圆弧上。
作图步骤：
* 作特殊点A、B、C、D；
* 求中间点K、L；
* 光滑连接曲线;
分析： 三棱柱的3个侧面与圆柱面均相交，相
贯线由3条截交线组成。其中，后侧面交 线为直线，两个前侧面交线为椭圆弧。
e′ f′
e″ f″ 相贯线的水平投影、侧面投影均已知。
a′
b′ a″ b″
c″ 作图步骤：
c′
虚线
* 画出两立体正面投影的轮廓草图；
* 作出后侧面产生的交线—直线AB；
棱线终点
a
b
* 作出前侧面的交线—椭圆弧： 特殊点C，E，F
注意：轮廓线要连到 轮廓线上的特殊点
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
11
*
讨论： 3. 相交体相对位置对交线的影响
结论：相贯线可为两支或者一支
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
9.2.2 辅助面法求相贯线
辅助面法：借助辅助面，利用“三面共点”的原理，求出辅助面
及两个相交回转体表面上的共有点，进而作出相贯线。
• 辅助球面法——同心球面法
若将球心放在回转体的轴线上，球将与回转体相交产生 交线——垂直于轴线的圆。
辅助球面法：以球面为辅助面，利用三面共点原理找点。
b' a' 1'6' 4'
5' 2' 3'
6” (4”)
1” 5”
2”
3”
1
a 5b 6 4
P4H
(3)
2
作图：
(1)选辅助面(正平面);
(2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点;
(3)求中间点；
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
d'
c'
1'6' 4' 5' 2' 8'
第9周 立体与立体相交
*
9.1 平面体与回转体相交
相贯线是由若干段平面曲线或直线组 成的空间折线，每一段都是平面体的棱面 与回转体表面的交线。
求相贯线的实质是求各棱面与回转 面的截交线。
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
【例】已知三棱柱与圆柱相贯的俯视图和左视图，求作主视图。
虚线
圆柱轮廓线终点
求作相贯线上的点的基本方法： ➢ 表面取点法 ➢ 辅助面法（辅助平面法，辅助球面法）
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
7
*
9.2.1 表面取点法求相贯线
表面取点法：先确定出共有点的某个已知投影，然后直接
利用回转体表面上取点的方法，求出共有点的未知投影。在这
一过程中，常常要利用回转表面的积聚性投影。 【例】两圆柱体垂直相交，求作相贯线的正面投影。
4"
2"
a"
a"
3"
线只有一个投影为已知， QW 即：侧面投影重合在圆柱
PW
的侧面投影圆上。
RW
4 ab
1
3 b
a2
作图步骤：
* 面上找点法作点; * 辅助平面法作点； * 光滑连接绘制相贯线，注意可见性； * 检查轮廓线。
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
3'7'
6”
Biblioteka Baidu
(4”) 8”
1” 5”
2”
3” 7”
1
56 (3) 7 d
4 8
c
2
《画法几何》
P5H
第9周 立体与立体相交
作图： (1)选辅助面(正平面); (2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点; (3)求中间点； (4)判断可见性并连线； (5)补画轮廓线；
二、辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。