七年级数学多项式 教案人教版
2.1.2 多项式
教学内容
课本第56页至第59页．
教学目标
1．知识与技能
使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．
2．过程与方法
通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感态度与价值观
培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背景，进一步感受字母表示数的意义．
重、难点与关键
1．重点：多项式以及有关概念．
2．难点：准确确定多项式的次数和项．
3．关键：掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系．
教具准备
投影仪．
教学过程
一、复习提问
1．什么叫单项式？举例说明．
2．怎样确定一个单项式的系数和次数？-
2
3
7
ab c
的系数、次数分别是多少？
3．列式表示下列问题：
（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．
（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买
3个篮球，5个排球，2个足球共需________元．
（3）如图1，三角尺的面积为________．
(1) (2)
（4）如图2是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平方米．老师操作投影仪，展示上述问题，关注学生列式情况，学生小组交流、合作学习．思路点拨：（1）数x的2倍表示为2x，因此比x的2倍小3的数为2x-3；
（2）一个篮球x（元），3个篮球为3x元；一个排球y（元），5个排球要5y元；?一个足球z（元），2个足球要2z元，因此一共需（3x+5x+2z）元；
（3）三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积，三角形的面积为1
2
ab，?圆面积
为πr2，因此三角尺的面积为1
2
ab-πr2；
（4）每个房间的建筑面积分别为x2平方米，2x平方米，6平方米，12平方米，?因此这所住宅的建筑面积为（x2+2x+18）平方米．
上面列出的式子2x-3，3x+5y+2z，1
2
ab-πr2，x2+2x+18，它们是单项式吗？这些式
子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
2x-3可看作2x与-3的和：3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样1
2
ab-πr2
看作1
2
ab与-πr2的和，x2+2x+18可以x2、2x、18的和．二、新授
请同学们阅读课本第57页有关内容，并回答下列问题．
1．几个单项式的和叫做_________；
2．在多项式中，每个单项式叫做_________；
3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；
4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数． 5．多项式的次数与单项式的次数有什么区别？
6．请说出上面各多项式的次数和项．
思路点拨：（1）多项式的各项应包括它前面的符号，比如，多项式6x2-1
2
x-3中第二
项是-1
2
x，而不是
1
2
x，常数项是-3，不是3．多项式没有系数概念，但其每一项均有系
数，每一项的系数应包括自己的符号．
（2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，?首先求出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．
（3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，?如，?多项式
3x2y-1
2
xy2+x2-xy-5中，最高次项为3x2y和-
1
2
x y2，二次项也有2项，x2和-xy，?这个多
项式为二次五项式．
单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式．
三、范例学习
例1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（1）温度由t℃下降5℃后是_______℃．
（2）甲数x的1
3
与乙数y的
1
2
的差可以表示为_________．
（3）如课本图2．1-3，圆环的面积为________．（4）如课本图2．1-4，钢管的体积是________．
思路点拨：（1）t-5，它的项为t和-5，次数是1；（2）甲数x的1
3
表示为
1
3
x，乙数
y?的1
2
表示为
1
2
y，它们的差为
1
3
x-
1
2
y，它的项为
1
3
x和-
1
2
y，次数为1；（3）?圆环面
积等于大圆面积减去小圆面积，因此圆环面积为πR2-πr2，它的项是πR2-πr2，次数是2（π是常数是R2的系数）．（4）?钢管的体积等于大圆柱的体积减去小圆柱的体积，即πR2a-πr2a，它的项是πR2a和-πr2a，次数是3．
例2．一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、?乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时，?则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？
教师操作投影仪，展示例2，并引导学生进行分析：
顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度
这里水流速度为2.5千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为v千米/时，?那么船在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时，船在逆水行驶时的速度为（v-2.5）千米/时．
当v=20时，则v+2.5=20+2.5=22.5，v-2.4=20-2.5=17.5；当v=35时，则v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5．因此，甲船顺水行驶的速度是22.5千米/时，逆水行驶的速度为17.5千米/时；乙船顺水行驶的速度是37.5千米/?时，?逆水行驶的速度为32.5千米/时．
思路点拨：从例2可以看到：用整式表示实际问题中的数量关系，然后再将整式中的字母所表示的不同数代入计算，从而可求出相应的值，这给问题的解决带来方便．?代入时，要将整式中省略掉的乘号添上．例如，当x=-1时，整式2x23x+1的值为2×（-1）2-3×（-1）+1=2×1+3+1=6．
四、巩固练习
1．下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
3x，2x-1，
1
3
m+
，-ab，-5，
2
x
-1，3m-4n+m2n．
（3x，-ab，-5都是单项式；2x-1，
1
3
m+
，3m-4n+m2n都是多项式；题目中除
2
x
-1
以外都是整式）
思路点拨：
1
3
m+
=
3
m
+
1
3
，是一次二次项，因为
2
x
不是单项式，所以
2
x
-1不是多项
式，?当然也不是整式．
2．判别正误：
（1）多项式-x2y+2x2-y的次数2．（）
（2）多项式-1
2
-a+3a2的一次项系数是1．（）
（3）-x-y-z是三次三项式．（）
思路点拨：要求学生说明错误原因，并加以改正．
（1）次数是3；（2）一次项系数是-1，（3）是一次三项式．
3．课本第59页练习．
4．课本第61页第10题．
点拨：观察图形易知每增加一个梯形，图形的周长就增加3a，因此梯形个数为5时，周长为17a，梯形个数为6时，周长为20a．因为梯形的长、下底之和为3a，所以n个梯形按课本所示拼在一起所得图形较长两边长之和为3a·n，?另外两边之和为2a，所以n 个梯形拼成的图形周长为3an+2a．
根据这个整式3an+2a，我们很容易计算出n为任意正整数时，图形的周长，?例如当n=10时，周长为32a，当n=56时，周长为170a．?用整式表示实际问题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便．教师引导，关注学生思路，指导学生合作交流，探索规律．
五、课堂小结
师生互动，共同小结本节课内容．
1．什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？
2．什么叫多项式的基？什么叫做常数项？举例说明？
3．什么叫做多项式的次数？ 六、作业布置
1．课本第60页，习题2．1第2、3、4、5、6、7题．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、填空题．
1．在式子-35ab ，229,32x y x +，-a 2bc ，1，x 3
-2x+3，3a ，1x
+1中，单项式的是______，多项式的是_______．
2．多项式-23
x y
+2x-3是_______次_______项式，最高次项的系数是______，常数项是________．
3．2x 2-3x y 2+x-1的各项分别为________． 二、选择题．
4．一个五次多项式，它任何一项的次数（ ）．
A ．都小于5
B ．都等于5
C ．都不小于5
D ．都不大于5 5．下列说法正确的是（ ）． A ．x 2+x 3是五次多项式 B ．
3
a b
+不是多项式 C ．x 2-2是二次二项式 D ．xy 2-1是二次二项式 三、列式表示．
6．n 为整数，不能被3整除的整数表示为________．
7．一个三位数，十位数字为x ，个位数字比十位数字少3，?百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数可表示为________．
8．某班有学生a人，若每4人分成一组，有一组少2人，则所分组数是________．9．如图3所示，阴影部分的面积表示为________．
(3) (4)
10．用火柴棒按图4的方式搭塔式三角形．
（1）观察填表：
一条边火柴棒根数 1 2 3 4
小三角形个数
火柴棒总根数
（2）照这样下去，搭起的大三角形一条边用了n根火柴棒，这样的小三角形有多少个？
答案:
一、1．-3
5
ab，
2
2
29
,,1
32
x y x
a bc
+
-，x3-2x+3
2．三三 -1
3
-3 3．2x，-3x y2，x，-1
二、4．D 5．C
三、6．3n+1，3n+2 7．300（x-3）+10x+（x-3）
8．
2
4
a+
9．ab-π·（
2
a
）2
10．（1）?小三角形个数依次是1，4，9，16，火柴棒总根数依次为3，9，18，30 （2）n2