2013版高中全程复习方略配套课件：讲义23函数的奇偶性与周期性北师大·数学理·陕西专用

判定函数的奇偶性 【方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路 (1)符号定义法：
确定定义域
定义域 关于原点对称
否 既不是奇函数 也不是偶函数
是 计算f(-x)
确定f(x)与f(-x)的关系
结论
(2)图像定义法：
f(x) 的图象
关于原点对称 关于y轴对称
f(x)为奇函数 f(x)为偶函数
(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇 偶性
(3)求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数 的恒等式，由系数的对等性得参数的方程求解. (4)应用奇偶性画图像和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的 单调性.
③y=x+ 1
x
④y=3x-3-x
() () ()
⑤y=|x|cosx
()
⑥y=x2,x∈(-1,1］
()
【解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数①,⑤为偶函数， ②,③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数. 答案：①否 ②是 ③是 ④是 ⑤否 ⑥否
(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么 a+b的值是________.
【即时应用】 (1)已知函数f(x),对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2) 时，f(x)=2 012x2,则f(2 013)=________. (2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的 最小正周期为________.
【解析】(1)∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)的最小正周期为4， ∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2 012×12=2 012. (2)∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x). ∴最小正周期为2. 答案：(1)2 012 (2)2
1 x
1 x
函数的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此函数f(x)既不
是奇函数，也不是偶函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对 称， ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)； 当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数.
1.函数奇偶性的定义 (1)图像定义：①f(x)为奇函数⇔图像关于_原__点__对称； ②f(x)为偶函数⇔图像关于_y_轴__对称； (2)符号定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ①f(x)为偶函数⇔_f_(_-_x_)_=_f_(_x_)_; ②f(x)为奇函数⇔_f_(_-_x_)_=_-_f_(_x_)_.
【反思·感悟】利用符号定义法判断函数奇偶性时，先求定义域， 当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则 可能得到错误结论.
函数奇偶性的应用 【方法点睛】
应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，利用已知区间上 的解析式，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性构造关于f(x)的 方程(组)，从而得到f(x)的解析式.
2013版高中全程复 习方略配套课件： 23函数的奇偶性与 周期性北师大·数学
理·陕西专用
三年11考 高考指数:★★★ 1.了解函数奇偶性的含义； 2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性； 3.了解函数周期性．
1.函数奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向； 2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题.
于原点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出
函数的奇偶性.
【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又∵f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)使f(x)=(x+1) 1 有x 意义，则有 1≥ 0x 且1+x≠0,解得
【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=1 ,
3
∴f(x)= 1 +x 2bx,又f(-x)=f(x),
3
即 1x2bx1x2bx bx0,
3
3
又x∈［ 2 ,］2 ,∴b=0,故a+b= +1 0= 1 .
33
3
3
答案：1
3
(4)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则f(x)=
_____.
【解析】由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0,
∴f(-x)=(-x)2=x2,
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2,
x2, x 0 综上，f (x) 0，x 0 .
x2, x 0
答案：
x
x2, 2,x
x
0
0
2.周期性 (1)周期函数：常数T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; ②f(x+T)=_f_(_x_)_对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最__小__的__正__数___，那么这个_最__小__的__正__数__就称为它的最小正周期．
奇函数与奇函数 奇函数与偶函数
和
奇函数
差
奇函数
积
偶函数
奇函数
商
偶函数
奇函数
偶函数与偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才 成立的.
源自文库
【例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3-x; (2)f(x)=(x+1) 1 x ;
1 x
(3) f(x) x2x2 x,xx,x00. 【解题指南】由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否关
【即时应用】 (1)思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=x·sinx各自图像有什么对 称性？ 提示：f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称；g(x)为偶函 数，所以其图像关于y轴对称.
(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或
“否”)
①y=x2-|x|
()
②y=sin3x