第四章 光学三波耦合过程

处于初态布局（原子， 分子或电子）吸收光子 到虚能级激发态，在很 短的时间内辐射光子后 又回到初态，它不涉及 光波与材料的能量转移， 极化率是实数，光子能 量守恒。
例 2 光学混频 设入射光波的光场中包含两种频率成分时，即当：
E(t ) E10ei1t E20ei2t c.c
求二阶极化强度 P(2) (t )
(4.1.13)
（2) P3(2) ( z） 2 0 (3 ;1 , 2 ) : e1e2 E1 E2
(4.1.14)
分别代入耦合波方程(4.1.6），得到：
dE1 ( z ) i1 * e1 ( 2) (1; 2 , 3 ) : e2e3 E2 E3eikz dz cn1 dE2 ( z ） i2 e2 ( 2) (2;3 , 1 ) : e3e1E3 E1*eikz dz cn2 dE3 ( z ) i3 e3 ( 2) (3 ;1 , 2 ) : e1e2 E1E2eikz dz cn3 ( 4.1.15) ( 4.1.16) ( 4.1.17)
为了导出适用于各向异性介质的慢变振幅近似波方 程，假设一个单色平面波沿z方向传播，D沿x方向， H沿y方向，如图所示，具有频率的单色平面波的光 x 电场和非线性极化强度分别为：
E （z, ) E( z)e
NL
i ( kz t）
eE( z)e
i ( kz t )
D y
（4.1.1 ）
P (1) (t ) 0 (1) (0) E0 0 [ ( ) Eeit c.c.] P ( 2 ) (t ) 0 ( 2 ) (0,0) : E0 E0 2 0 ( 2 ) ( , ) : EE 2 0 [ ( 2 ) ( ,0) : E E0e it c.c.] 0 [ ( 2 ) ( , ) : E E0ei 2t c.c.]
2 i 21t 2 i 22t P 2 (t ) 0 (2) E 2 (t ) 0 (2) [( E10 e E20 e * i (1 2 ) t 2 E10 E20ei (1 2 )t 2 E10 E 20 e c.c)
2( E10 E10 E20 E )]
(4.1-2) (4.1-1)
因此, 相应于频率为ω的极化强度分量表示式为
(1) ( 2) P ( , t ) 0 [ ( ) E eit c.c.] 2 0 [ ( ,0) E E0 eit c.c.] (1) ( 2) 0{[ ( ) 2 ( ,0) E0 ]E eit c.c.}
( 2)
(4.1-4) 这里的εμα是相对介电常数张量元素。 因此, 由于直流电 场的作用, 使频率为ω的相对介电常数张量产生了一个变
化量
(: )
2 (,0)E0
( 2)
4.2 光 整 流 效 应
所谓光整流效应，就是一个光波通过非线性介质 时，由于二阶非线性极化作用产生一个直流极化 强度P0的现象。
设频率为 1， 2， 3的三个沿z方向传播的单色平面波，场 记为：
E ( z , 1 ) e1 E1 , E ( z , 2 ) e2 E 2 E ( z , 3 ) e3 E 3
它们相互作用产生的介质的二阶非线性极化强度分 别为：
P(2) ( z, 1 ) 2 0 (2) (1; 2 , 3）：E* ( z, 2 )E( z, 3 ) P(2) ( z, 2 ) 2 0 (2) (2 ;3 , 1 ) : E( z, 3 ) E* ( z, 1 ) P(2) ( z, 3 ) 2 0 (2) (3 ;1 , 2 ) : E( z, 1 ) E( z, 2 )
E E0ae
i
n
c
k r
(4.2-1)
式中, E0为光波电场的振幅, a为光振动方向的单位矢量, k 为光波传播方向的单位矢量 , 则由于二次非线性效应
产生的直流极化强度为
P0 2 0
(2)
( , ) : EE 2 0 E0 ( 2 ) ( , ) : aa

根据极化率的频率置换对称性，对非共振的非色 散介质有Kleinman近似关系：
e1 ( 2) (1 ; 2 , 3 ) : e2 e3 e2 ( 2) ( 2 ; 3 , 1 ) : e3 e1 e3 ( 2) ( 3 ;1 , 2 ) : e1e2
第四章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应 4.2 光整流效应 4.3二次谐波产生 4.4三波混频及和频、 差频产生 4.5 参量转换 4.6 参量放大与参量振荡
参量过程：
非参量过程： 处于初态的布局（原 子，分子或电子）从 一个实能级到另一个 实能级，极化率是复 数，光波与材料之间 有能量转移，光子能 量不守恒。
( 2) eff
(3.1.18)
实数，为有效非线性极 化率，用于量度三个波 之间的耦合强度
把上面的极化率分量写为标量形式，有
2 （） （1； -2，3 ） e1 ( 2) (1; 2 , 3 ) : e2e3
(4.1.19)
） (2 （ 2 ;3， -1） e2 (2) (2 ;3 , 1 ) : e3e1
x sin ,
将其代入（4.2-3）式, 便得
2
a y cos
( 2) P0 z 2 0 E0 zxy ( , ) sin 2
(4.2-4)
4.3 二次谐波产生
一 三波耦合方程 讨论远离共振区的各向异性无损耗介质。在各向异 性介质中，光波的传播方向（k）与能流方向（S） 不同，之间有一个夹角。大多数晶体<3°
(4.1-3)
由此可见, 直流电场的作用使得介质对频率为ω的极化率
张量改变了
为
( 2) 。 在这种情况下, 电位移矢量 2 (,0)E 0
D=ε0E+PL+PNL=ε·E+PNL
或用分量形式表示为
D 0 E P 0 ( 2 ( ,0) E0 ) E 0 ( )eff E
对于二阶非线性介质，两光波场作用于介质，引起二阶极化， 产生新的波场，包括和频、差频等过程。无论那种过程，三 波互相耦合必须遵循（1）能量守恒，即三种频率的光子能量 满足： 3 1 2 （4.1.7） （2）同时满足动量守恒时，才能得到最佳耦合。
k3 k1 k2
（ 4.1.8）
k

E
P ( z, ) P ( z)e
NL
i (k ' z t )
z
I=E×H
为了计算方便，将E( z, )和 P ( z, ) 分解为两个互相垂直 的分量，即垂直于k的横向分量（T）和平行与K的纵 向分量（S）， E( z, ) ET ( z, ) Es ( z, ) （4.1.2）
2
(4.2-2)
根据上面的假定, 光波在KDP晶体中传播时, 其寻常 光分量有ax≠0, ay≠0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az≠0。 又根据KDP晶体χ(2)的空间对称性, 只有 ( 2) ( , )中三个脚标都不相同的元素才不为零。 所 以, 如对于寻常光和非常光分别按（4.2-2）式展开, 就可以得到它们的P0x和P0y分量皆为零, 但对P0z分 量两者不同: 非常光的P0z=0, 寻常光的P0z≠0。 对于 寻常光来说,
1962年，阿姆斯特朗等人在理论上预见到这一效 应，同年，巴斯等人进一步从实验上观察到这个 现象。他们利用KDP晶体，在垂直于光轴的表面上 安置电极，当用调Q红宝石激光照射时，在电极两 端测量出大约几百微伏的直流电压。
现在考虑一个非常理想的特殊情况。取 一个平行板电容器，其 中充满KDP晶体，Z轴（光轴）垂直于电容器板，并使频率为 的光波在xoy平面内传播。 若令光波电场的空间变化部分为
z 1= 2 = 倍频晶体 L 3=2
光学倍频过程
1 不消耗基频光小信号近似 2 消耗基频光的高转换效率法
1 不消耗基频光小信号近似
PTNL P NL
E ( z ) i NL i kz 得： e P ( z ) e z 2 0cn cos2 （4.1.5）
各向异性介质中慢变振 幅近似波方程
2 cos 1 若取
( 3) 则：
（ 4.1.6）
E （z ) i e P NL ( z )eikz z 2 0cn
k0
，三波是相位匹配的，相当于三个光子能量守恒。
二 二次谐波
1961年，弗朗肯等人就用石英晶体对红宝石激光 （0.6943m）进行了二次谐波的实验，获得了
0.3471 m的紫外光，但效率很低
1962年，乔特迈以及马克尔等人分Байду номын сангаас提出了相位匹配
技术，才使二次谐波的转换效率得到提高。
尤其是调Q技术，短脉冲激光技术的出现和发展，使 效率达到70 80。
* * 2
4.1
线性电光效应
线性电光效应也叫做普克尔（Pockler）效应。
当没有反演中心的晶体受到直流电场或低频 电场作用时, 其折射率发生与外加电场成线性 关系的变化。 应当指出的是, 这里所说的低 频电场是与光频比较而言, 所以微波频率也包 括在内。
线性电光效应是一种特殊的二阶非线性光学效 应。 在这里, 作用于介质的两个电场， 一个是 光电场, 另一个是低频场或直流场, 在这两个电 场的作用下产生了二阶非线性极化。 现在假定 作用于介质的直流场为 E 0 、 光电场为 E exp(iωt)+c.c., 则极化强度为：
( 2) ( 2) P0 z 2 0 E0 [ zxy ( , )ax a y zyx ( , )a x a y ] ( 2) 4 0 E0 zxy ( , )a x a y 2 2
(4.2-3)

这表示在z方向有一个恒定的极化强度分量P0z。 假 设光波的传播方向k与晶轴x之间的夹角为θ, 则有
E2 ( z ) i2 ( 2 ) (2 ;3 , 1 ) E3 E1*eikz z cn2
( 4.1.23)
E3 ( z ) i3 ( 2) (;1 , 2 )E1E2eikz z cn3
( 4.1.24)
k k3 k1 k2
当
(4.1.25 ）
(4.1.20)
(4.1.21)
( 2) (;1 , 2 ) e3 ( 2) (3;1 , 2 ) : e1e2
则慢变近似条件下的三波混频的耦合波方程可写为：
E1 ( z ) i1 （2） * （1； -2，3 ）E2 E3eikz z cn1
(4.1.22)
NL
NL NL PNL ( z, ) P ( z , ) P T S ( z, )
（4.1.3）
横向分量应该遵循各向同性介质的慢变振幅近似波 方程
ET ( z ) i NL ikz P ( z ) e T z 20cn （ 4.1.4）
ˆ ，有 在方程两边点乘 e e ET ET cos E cos2
简并度D
（ 4.1.9） （ 4.1.10） (4.1.11)
* P1(2) ( z) 2 0 (2) (1; 2 , 3 ) : e2e3 E2 E3
* P2( 2) ( z ) 2 0 ( 2) ( 2; 3 , 1 ) : e3 e1 E3 E1
(4.1.12)