复数域中的微积分基本定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
接 。 ２ 的任 意 一条 逐 段光 滑 曲线 ， 及 ： 有
函数 ， ｚ （ ）不能保 证 有 原 函数 ， 即使 区域 内的 解 析 函
数 也不 能保 证有 原 函数 ．
Ｊ （ ｄ —Ｊ ｆｚ ｚ （ ） （ ） Ｉ ｚ ｚ Ｉ （ ｄ —Ｆｚ 一Ｆｚ ． ） Ｃ ｆ ） ２ 。
摘 要 根据 复变函数与 实变函数在许多概念 、 理论和方法上 的相似 之处 ， 实数域 上 的微积分基 本定理适 将 当推广 至复数域． 此外 ， 出一个复平面 区域上的每一个解析函数都有原 函数 的等价条件 ． 给
关 键 词 原 函数 Ｉ 积 分 基 本 定 理 ； 析 函 数 ｔ 西 积 分定 理 ． 微 解 柯 中 图 分 类 号 Ｏ ７ ． １４５
实数 域 中的许 多概 念 和理 论 可 以推广 到 复数域 ， 析 函数 ， 且
但微 积分基 本定 理 推 广 到 复 数 域 中条 件 远 不 像 在 实
Ｆ （ ）一 厂（ ），
数域 中那样 简单 ． 文 主要 讨论 微 积分 基 本定 理在 复 即 Ｆ（）是 厂 本 （）的一 个 原 函数 ， 意 两 个原 函数 相 任 数域 中成立 的条 件 ， 给 出一 个复 平 面 区域 Ｇ上 的每 差一 个 常数 ． 并 如果 （ ） ， 名 是 （）的任 一原 函数 ， 则
２一 ｚ ￡ （ （）口≤ ｔ ≤ ， 口 （）一 ｌ ＝ ， ， （ ２
Ｉ （） ｚ ｌ ｚ ｄ ， ｄ — ，（）ｚ．
固定 起点 。∈ Ｇ， 终点 在 Ｇ 内变 动 ， 让 因而 在 Ｇ内
可确定 一单 值 函数
那 么 由复 积分 的计 算 公 式 ， 得
ｒ ｒｆ ．
微积分基本定理很 容易推广到 区间［ ６ 口，］上 的
实变量 连续 复值 函数 ， 是 复平 面 区域 内连续 的复 变 但
源自文库
牛顿 一 布 尼茨 公 式 仍成 立 ． 莱
定理 ３ 设 复变 函数 ，（ ） 区域 Ｇ内连续且 有 在 原 函数 Ｆ（ ） 则 对 Ｇ内任 意 的点 。 ｚ ， Ｇ内连 ｚ， 及 ２Ｃ是
定 理 成立 ．
间［ ，］ 的 连续 实值 函数 ， 变 上 限积分 函数 ｎ６ 上 则
区域 Ｇ为单 连通 并 非原 函数存 在 的必要 条件 ， 例
Ｆ ＝ Ｉ ｄ ｚ∈［ ，］） （） ，（）ｘ（ 口６
是 ，ｚ （ ）在 ［ ，］上 的一 个 原 函 数 ， 意 两 个 原 函数 口６ 任
零 ， 等价于 ， 沿 区域 Ｇ内任 意逐 段光 滑曲线 Ｃ的 Ｇ 内任意 闭 曲线 积分 为零 ， 而 由解 析 函数 的 等价 条 这 （） 从
积分只与 Ｃ的起点 ａ和终点 ｂ 有关 ， 故积 分可写成
件 知 ， （ ） Ｇ 内解 析． 厂ｚ 在
证 明 不妨 设 Ｃ是光 滑 曲线 ， Ｃ的参 数方程 为
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １１ ． ． Ｊｎ ａ ．，２ １ ００
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ∞ ＬＬ ＥＳ Ｉ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
高 等 数 学 研 究
６ ９
复数 域 中 的微 积 分 基 本 定 理
马 米 佳 ， 仕 敬 。 曲
（ ． 台大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， １烟 山东 烟 台 ，６ ０ ５ ２ 鲁 东 大 学土 木 工 程 学 院 ， ２４ ０ ；． 山东 烟 台，６ ０ ５） ２４２
Ｆ（）一 １ ．（） 厂 ｄ
Ｊｌ ｏ 。 。
Ｊ （）ｚ Ｊ ｆｚｄ ＝ Ｉ ｚｄ ＝ Ｉ （）ｚ ． ｆ ‘
ｌ
容 易证 明 ， 面定 义 的 函数 Ｆ（ ）是 区 域 Ｇ 内解 上
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ０ ， 改 日期 ：０ ８— １ ２０ — ３ ４ 修 ２０ Ｏ一 １ ． ０ 作 者 简 介 ： 米佳 （９ ６－） 女 ， 疆 哈 密 人 ， 士 ， 台大 学 副 教 授 ， 马 １５ － ， 新 硕 烟 主要研究 方 向 为 函数 论 ， Ｅ—ｍａｌ ｉ ：ｍａ ｊ ０ ＠ ａｎ． ｏ ・ ｍｉａ ６ ｉａｃ ｒ ｉ ｎ 曲仕 敬 （ ９５－） 男 ， 东 烟 台人 ， 东 大 学 副 教 授 ， 要 从 １５ － ， 山 鲁 主
间 ［ ， 上 的 连续 实值 函数 ， ｚ 是 ， ｚ 口 （ ） （ ）的任 一 原
函数 ， 则
下 面的定 理 说 明 只要 复 变 函 数 厂 （ ）在 区域 Ｇ
内连 续 且 有 原 函 数 ，而 不 要 求 Ｇ 是 单 连 通 区 域 ，
Ｊ（ｄ ６ ｎ ． （一（． ＝ ）一 ） ） ， ｒ
ＪＦ２ｚ Ｊ ，（）（ｄ． ｒ ，） —ｆ （￡ｚ￡ （ｄ ２）， Ｆ ）
￡ｌ
而 当 ， 在单 连通 区域 Ｇ内解析 时 ， （） 根据柯 西积
由此 可 得 ， ｚ 沿 区域 Ｇ内任 意逐 段光 滑 曲线 Ｃ ，（ ）
分定理 ，（）沿 区域 Ｇ 内任 意逐段 光滑 闭 曲线积 分为 的积 分 只与 Ｃ的起 点和 终 点 有关 ， 等 价 于 ， ｚ 厂ｚ 这 （）沿
相差 一个 常数 ． 定理 ２ 牛 顿 一莱 布 尼 茨公 式 ） 设 ， ）是 区 （ （
如设区域Ｇ为复平面去掉 ＝（＋去）（ 是任意整 ｔ 五 ７愚 ｃ
厶
数）的 点所成 的多 连通 区域 ， 名 ，（ ）一 Ｓ Ｃ２在 Ｇ 内解 ｅ
析 ， （ ） 原 函数 ｔｎ ． ，ｚ 有 ａｚ
一
个解 析 函数都 有 原 函数 的等 价条 件 ． 实数域 中的微 积分 基本 定 理 可 以叙述 为 ： 定 理 １ 原 函 数 存 在 定 理 ） 设 厂（ （ ）是 区
ｒ‘ Ｊ ｚ ｏ
Ｉ 厂 ｄ 一 （） （ ． （ 一 ）
因此 ， 厂（ ） 当 在单 连 通 区域 Ｇ内解 析 时 ， 积分基 本 微
函数 ， ｚ （ ）不能保 证 有 原 函数 ， 即使 区域 内的 解 析 函
数 也不 能保 证有 原 函数 ．
Ｊ （ ｄ —Ｊ ｆｚ ｚ （ ） （ ） Ｉ ｚ ｚ Ｉ （ ｄ —Ｆｚ 一Ｆｚ ． ） Ｃ ｆ ） ２ 。
摘 要 根据 复变函数与 实变函数在许多概念 、 理论和方法上 的相似 之处 ， 实数域 上 的微积分基 本定理适 将 当推广 至复数域． 此外 ， 出一个复平面 区域上的每一个解析函数都有原 函数 的等价条件 ． 给
关 键 词 原 函数 Ｉ 积 分 基 本 定 理 ； 析 函 数 ｔ 西 积 分定 理 ． 微 解 柯 中 图 分 类 号 Ｏ ７ ． １４５
实数 域 中的许 多概 念 和理 论 可 以推广 到 复数域 ， 析 函数 ， 且
但微 积分基 本定 理 推 广 到 复 数 域 中条 件 远 不 像 在 实
Ｆ （ ）一 厂（ ），
数域 中那样 简单 ． 文 主要 讨论 微 积分 基 本定 理在 复 即 Ｆ（）是 厂 本 （）的一 个 原 函数 ， 意 两 个原 函数 相 任 数域 中成立 的条 件 ， 给 出一 个复 平 面 区域 Ｇ上 的每 差一 个 常数 ． 并 如果 （ ） ， 名 是 （）的任 一原 函数 ， 则
２一 ｚ ￡ （ （）口≤ ｔ ≤ ， 口 （）一 ｌ ＝ ， ， （ ２
Ｉ （） ｚ ｌ ｚ ｄ ， ｄ — ，（）ｚ．
固定 起点 。∈ Ｇ， 终点 在 Ｇ 内变 动 ， 让 因而 在 Ｇ内
可确定 一单 值 函数
那 么 由复 积分 的计 算 公 式 ， 得
ｒ ｒｆ ．
微积分基本定理很 容易推广到 区间［ ６ 口，］上 的
实变量 连续 复值 函数 ， 是 复平 面 区域 内连续 的复 变 但
源自文库
牛顿 一 布 尼茨 公 式 仍成 立 ． 莱
定理 ３ 设 复变 函数 ，（ ） 区域 Ｇ内连续且 有 在 原 函数 Ｆ（ ） 则 对 Ｇ内任 意 的点 。 ｚ ， Ｇ内连 ｚ， 及 ２Ｃ是
定 理 成立 ．
间［ ，］ 的 连续 实值 函数 ， 变 上 限积分 函数 ｎ６ 上 则
区域 Ｇ为单 连通 并 非原 函数存 在 的必要 条件 ， 例
Ｆ ＝ Ｉ ｄ ｚ∈［ ，］） （） ，（）ｘ（ 口６
是 ，ｚ （ ）在 ［ ，］上 的一 个 原 函 数 ， 意 两 个 原 函数 口６ 任
零 ， 等价于 ， 沿 区域 Ｇ内任 意逐 段光 滑曲线 Ｃ的 Ｇ 内任意 闭 曲线 积分 为零 ， 而 由解 析 函数 的 等价 条 这 （） 从
积分只与 Ｃ的起点 ａ和终点 ｂ 有关 ， 故积 分可写成
件 知 ， （ ） Ｇ 内解 析． 厂ｚ 在
证 明 不妨 设 Ｃ是光 滑 曲线 ， Ｃ的参 数方程 为
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １１ ． ． Ｊｎ ａ ．，２ １ ００
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ∞ ＬＬ ＥＳ Ｉ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
高 等 数 学 研 究
６ ９
复数 域 中 的微 积 分 基 本 定 理
马 米 佳 ， 仕 敬 。 曲
（ ． 台大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， １烟 山东 烟 台 ，６ ０ ５ ２ 鲁 东 大 学土 木 工 程 学 院 ， ２４ ０ ；． 山东 烟 台，６ ０ ５） ２４２
Ｆ（）一 １ ．（） 厂 ｄ
Ｊｌ ｏ 。 。
Ｊ （）ｚ Ｊ ｆｚｄ ＝ Ｉ ｚｄ ＝ Ｉ （）ｚ ． ｆ ‘
ｌ
容 易证 明 ， 面定 义 的 函数 Ｆ（ ）是 区 域 Ｇ 内解 上
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ０ ， 改 日期 ：０ ８— １ ２０ — ３ ４ 修 ２０ Ｏ一 １ ． ０ 作 者 简 介 ： 米佳 （９ ６－） 女 ， 疆 哈 密 人 ， 士 ， 台大 学 副 教 授 ， 马 １５ － ， 新 硕 烟 主要研究 方 向 为 函数 论 ， Ｅ—ｍａｌ ｉ ：ｍａ ｊ ０ ＠ ａｎ． ｏ ・ ｍｉａ ６ ｉａｃ ｒ ｉ ｎ 曲仕 敬 （ ９５－） 男 ， 东 烟 台人 ， 东 大 学 副 教 授 ， 要 从 １５ － ， 山 鲁 主
间 ［ ， 上 的 连续 实值 函数 ， ｚ 是 ， ｚ 口 （ ） （ ）的任 一 原
函数 ， 则
下 面的定 理 说 明 只要 复 变 函 数 厂 （ ）在 区域 Ｇ
内连 续 且 有 原 函 数 ，而 不 要 求 Ｇ 是 单 连 通 区 域 ，
Ｊ（ｄ ６ ｎ ． （一（． ＝ ）一 ） ） ， ｒ
ＪＦ２ｚ Ｊ ，（）（ｄ． ｒ ，） —ｆ （￡ｚ￡ （ｄ ２）， Ｆ ）
￡ｌ
而 当 ， 在单 连通 区域 Ｇ内解析 时 ， （） 根据柯 西积
由此 可 得 ， ｚ 沿 区域 Ｇ内任 意逐 段光 滑 曲线 Ｃ ，（ ）
分定理 ，（）沿 区域 Ｇ 内任 意逐段 光滑 闭 曲线积 分为 的积 分 只与 Ｃ的起 点和 终 点 有关 ， 等 价 于 ， ｚ 厂ｚ 这 （）沿
相差 一个 常数 ． 定理 ２ 牛 顿 一莱 布 尼 茨公 式 ） 设 ， ）是 区 （ （
如设区域Ｇ为复平面去掉 ＝（＋去）（ 是任意整 ｔ 五 ７愚 ｃ
厶
数）的 点所成 的多 连通 区域 ， 名 ，（ ）一 Ｓ Ｃ２在 Ｇ 内解 ｅ
析 ， （ ） 原 函数 ｔｎ ． ，ｚ 有 ａｚ
一
个解 析 函数都 有 原 函数 的等 价条 件 ． 实数域 中的微 积分 基本 定 理 可 以叙述 为 ： 定 理 １ 原 函 数 存 在 定 理 ） 设 厂（ （ ）是 区
ｒ‘ Ｊ ｚ ｏ
Ｉ 厂 ｄ 一 （） （ ． （ 一 ）
因此 ， 厂（ ） 当 在单 连 通 区域 Ｇ内解 析 时 ， 积分基 本 微