个决策树算法案例分析

800 700
d2
d3
1220 3 1420 4
1400
500 2000
-900
首先计算出各个状态结点的期望值，从中选取一个最大期望值， 往回找对应的方案，为最佳方案，如上图，④点最大 ，选d3方案 为最佳方案。
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§4.4 灵敏度分析
灵敏度分析是将自然状态出现的概率加以改变，来考察这一改变对决策 方案选取将带来什么样的影响。比如：高的接受程度 S1的概率降到 0.2， 低的接受S2的概率升为0.8，即P(S1)=0.2,P(S2)=0.8， EV(d1)=0.2×800+0.8×700=720 EV(d2)=0.2×1400+0.8×500=680 EV(d1)=0.2×2000+0.8×(-900)=-320 可见，小楼方案d1为最佳，大楼方案为最差的。 如果问题只涉及两种自然状态，则可以按以下方式求出各方案的临界 设自然状态S1的概率P(S1)=P，则自然状态S2的概率P(S2)=1-P。按本问 题的益损矩阵， EV(d1)=P×800+(1-P)×700=100P+700 EV(d2)=900P+500 EV(d3)=2900P-900
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可算出： 状态结点④的EV=0.935×8+0.065×7=7.935 状态结点⑤的EV=13.416 状态结点⑥的EV=18.118…… 状态结点⑦的EV=0.348×8+0.652×7=7.348 状态结点⑧的EV=8.130…… 状态结点⑨的EV=1.086 2 ，应选d3 3 ，应选d2方案。
P( S i | I K ) P( S i ) P( I K | S i )
P( S ) P( I
i 1 i
n
K
| Si )
I=1,2,…..n, k=1,2,…,m
按以上数据，可算得其后验概率为：
有兴趣(支持)买楼者I1的有关概率计算表
自然状态Si s1 s2 先验概率P(Si) 0.8 0.2 条件概率P(I1｜Si) 0.1 0.75 联合概率P(I1∩s1) 0.72 0.05 P(Si｜I1) 0.9635 0.065
1
常规（用）决策技术和效用理论
4.1 决策分析案例背景
匹兹堡开发公司(PDC)已购得一块地用于建造一个高档的沿河 综合商业楼，其位置对繁华的匹兹堡和金三角有很好的景观，所 谓金三角是指两条小河汇流成俄亥俄 (Ohio)河的地段。每一个建 30 万～120 万，取决于单元所处楼层，面积 以及备选的设施。
公司对这套楼房的设计， d1——小型楼，有6层，30 d2——中型楼，有12层，60 d3——大型楼，有18层，90个单元。 决策问题是要从这三个方案中选择其中之一，并提出决策分析的 书面报告，包括分析计算书，建议，以及风险提示。
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为了进行决策分析，
(1)市场调研，综合楼被市场接受的程度如何?亦即市场的需求如何? 对此问题，公司管理者通过调研认为，只有两种市场接受状态，称为决策 者无法控制的自然
再分别对各方案，从不同自然状态的后悔值中取一最大者，
d1 →1200 d2 →600万←Min d3 →1600
然后从各方案的最大后悔值中选取一最小者，为600万，则它对应的方案 d2为最佳方案。
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二、风险决策方法(自然状态出现的概率已知)
既然各种可能的自然状态出现的概率已经通过调研获得，则可以以此求 各方案的期望益损值。 令n——
d2→1400+500=1900万←Max
d3→2000-900=1100 再从各方案的合计和值中取一最大值，如1900万，所对应方案d2的最佳方案。
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4 该方法相似于保守方法，取悲观态度。首先从益损矩阵中求后悔值，即机 会损失值Rij Rij Vij = V*j-Vij (j=1,2,…,n) (i=1,2,…,m) 式中V*j——对状态Sj ——状态Sj、方案di相应的益损值。 s1 d1 d2 d3 2000-800=1200 2000-1400=600 2000-2000=0 s2 700-700=0 700-500=200 700-(-900)=1600 由此，可得后悔值Rij
没有兴趣(支持)买楼者I2的有关概率计算表
自然状态Si s1 先验概率P(Si) 0.8 条件概率P(I1｜Si) 0.1 联合概率P(I1∩s1) 0.08 P(Si｜I1) 0.348
s2
0.2
0.75
0.15
0.652
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根据上列概率计算表，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小型d1
高接受S1,P(S1|I1)=0.935 4 低接受S2,P(S2|I1)=0.065
S1——高的市场接受程度， S2——低的市场接受程度，对楼房需求有限。 (2)要根据工程设计与造价核算以及销售价格计算出不同方案，不同自然状 态时，楼房的盈 亏(益损)表。对该问题，经计算得到如下益损矩阵Vij
备选方案
小型楼d1 中型楼d 2 大型楼d 3
自然状 态 高的市场接受程度S1 800万 1400万 2000万 低的市场接受程度S2 700万 500万 -900万
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(1)当EV(d1)=EV(d2)时，即100P+700=900P+500
可解得P=200/800=0.25
(2)当EV(d2)=EV(d3)时， 可解得P=0.7
按此，用不同P值(P=0～1.0)
从图可见，当高的市场 接受状态的概率P<0.25 时，第一方案d1 当0.25≤P≤0.7时,方案 d2 当P>0.7时，方案d3最佳。
高接受S1，P(S1)=0.8 低接受S2，P(S2)=0.2
有兴趣买楼，即支持者I1
P(I1｜S1)=0.90 P(I1｜S2)=0.25
无兴趣买楼，不支持者I2
P(I2｜S1)=0.10 P(I2｜S2)=0.75
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这个似然函数的意义是：在真正高接受者中核查为有兴趣 (即支持建 楼)买楼的概率为0.9，而不支持的为0.1；在真正低接受者中，核查为不支 持的概率为0.75，反而支持的为0.25。这些补充信息是在明确了高、低接 受者的条件下，进一步调查核实的信息，由此统计出的条件概率。 有 了先验概率和似然函数，可以运用贝叶斯全概率公式，计算出后验概率 P(S｜I):
一般在一些技术较复杂、投资费用较大，开发周期较长的项目中，往往 存在许多不确定因素。如前所述如果可以给出这些不确定因素的概率分布， 最常用的决策方法是采用益损期望值、其方差和效用函数来进行分析。
案例：某公司有一投资项目，有3个投资方案A、B、C，这三个方案的经济
收益取决于今后两年的经济状态，经济状态估计为三种及其概率为：好 (0.3)； 中(0.5)；差(0.2)。
P(Sj)——自然状态Sj的概率。
则有 P(Sj)≥0，(j=1,2,…,n) n
P( S
j 1
j
) P( S1 ) P( S 2 ) ... P( S n ) 1
各方案dj
EV (d i ) P( S j ) * Vij
j 1 n
益损期望值为最大者对应的方案，可选为最佳方案。 对本问题而言，若已知：P(S1)=0.8,P(S2)=0.2， 有： EV(d1)=0.8×800+0.2×700=780 EV(d2)=0.8×1400+0.2×500=1220 EV(d3)=0.8×2000+0.2×(-900)=1420
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其中 i—— 表示方案， j—— 表示状态。比如： V32 =-900 万，表示大型楼方案 d3在低 的市场接受S2时，楼房不能正常销售，估计可能带来亏损900万。
4.2 常用决策分析方法
按照问题面临的自然状态出现的概率无法知道，抑或可以通过调研统计得 到，常用决策方法划分为不确定性决策方法与风险决策方法。 一、不确定性决策方法(自然状态出现的概率不知道) 1
可见，方案d3建大楼为最佳方案。
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为了较形象直观地作出决策，也可应用决策树方式进行分析，决策树 决策结点用□表示，由它生出方案枝；各方案枝分别生出状态结点，用○ 表示，由状态结点引出各种状态分枝，分枝末梢绘上相应的益损值。对本
780
d1 1 2
s1 , P( S1 ) 0.8 s 2 , P( S 2 ) 0.2 s1 , P( S1 ) 0.8 s 2 , P( S 2 ) 0.2 s1 , P( S1 ) 0.8 s 2 , P( S 2 ) 0.2
投资方案 A 经济状态及其概率，收益(万元) 好，0.3 1800 中，0.5 1500 差，0.2 800
B
C
1600
2000
1200
1600
1000
900
1000 2000
1500
d1可得 最大 EV的P 区间
d2可得 最大 EV的P 区间
d3可得 最大EV 的P区间
EV(d3)
EV(d2) EV(d1)
500
0
0.2
-500
0.4
0.6
0.8
1.0
-1000
10
§4.5
前述两种自然状态出现的概率P(S1)=0.8，P(S2)=0.2，只是一种比较粗 糙地调研而获得的自然状态的概率分布，也即是一种所谓先验概率。如果 我们能够再深挖一些新信息，用以修正先验概率，最终获得一种所谓后验 概率，用来进行决策，则决策的效果更好、更科学。 一般讲，补充信息是可以通过对自然状态样本信息设计的实验方法来 取得，包括原始资料的采样、产品检验、市场调研等等。比如：通过天气 预报的验证信息，来修正天气状态的先验概率；通过产品检验的正确与否 的信息，来修正产品的正、废品先验概率。对PDC问题来讲，可以通过市 场调查，调查有多少比率的人有兴趣买楼，记为I1，有多少比率的人没有 兴趣买楼，记为I2，则可以获得四个条件概率，记为：P(I1｜S1)，P(I2｜S1)， P(I1｜S2),P(I2｜S2)，它们也叫做似然函数。 对PDC问题，经过调查，获得了下表的似然函数。 自然状态
小型d1
高接受S1,P(S1|I2)=0.348
7 8 低接受S2,P(S2|I2)=0.652 高接受S1,P(S1|I2)=0.348 低接受S2,P(S2|I2)=0.652 高接受S1,P(S1|I2)=0.348 9 低接受S2,P(S2|I2)=0.652
8 7 14 5 20 -9
3
中型d2 大型d3
对各方案先从不同状态的Vij 中取一最大值者，得：
最大值 小型楼d1→800 中型楼d2→1400 大型楼d3→2000万←Max· Max 再从不同方案的最大值中取一最大值，为2000万，所对应的方案——大型楼 方案d3为决策的最佳方案。
4
2
对各方案，先从不同状态的Vij d2→500 d3→-900 再从不同方案的最小值中取一最大值，如700万，所对应的方案——小型楼方 案d 1为决策的最佳方案。 3 该方法认为，不同自然状态出现的概率彼此相等。在等概率原则下，则可分 别先将各不同方案的所有自然状态的益损值求和， d1→800+700=1500 中取一最小值者，得： 最小值d1→700←Max·Min
8 百万 7
2 支持的，I1 P(I1)=0.77 1 支持的，I2 P(I2)=0.77
中型d2 大型d3
5
6
高接受S1,P(S1|I1)=0.935 14 低接受S2,P(S2|I1)=0.065 5 高接受S1,P(S1|I1)=0.935 20 低接受S2,P(S2|I1)=0.065 -9
结论是：当市场报告是支持建楼，I1时，应建大型楼；当市场报 告是不支持，I2时，应
建中型楼。
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§4.5 效用与风险分析(Utility and Risk Analysis)
以前所述的决策分析方法是按照最好的货币期望值选择方案，但在决策 分析中除了要考虑方案的货币益损因素以外，还要考虑风险程度，包括决策 人对待风险的态度这一主观偏好因素。因而，往往单从货币益损期望值选择 的方案，不一定是最佳方案。本节将介绍决策分析中的期望效用。 所谓效用是一种特定结果的总价值的相对尺度，它反映决策者面对诸如 利润、损失和风险等因素集合的态度。
兵者，国之大事也。死生之地，存亡之道，不 可不察也。故经之以五事，效之以计，而索其情。一曰 道,二曰天，三曰地，四曰将，五曰法。 夫未战而庙算胜者，得算多者；未战而庙算不 胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况於无算乎？ 兵法：一曰度，二曰量，三曰数，四曰称，五 曰胜。地生度，度生量，量生数，数生称，称生胜。