各种插值法的对比研究

各种插值法的对比研究

目录

1.引言 (1)

2.插值法的历史背景 (1)

3.五种插值法的基本思想 (2)

3.1拉格朗日插值 (2)

3.2牛顿插值 (3)

3.3埃尔米特插值 (4)

3.4分段线性插值 (5)

3.5三次样条插值 (6)

4.五种插值法的对比研究 (6)

4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6)

4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6)

4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7)

4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7)

5.插值法在实际生活中的应用 (7)

6.结束语 (7)

致谢 (7)

参考文献 (8)

各种插值法的对比研究

摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率.

关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用

1.引言

在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1]

.所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.

2.插值法的历史背景

插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.

因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.

3.五种插值法的基本思想

如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上的值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得

成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有

)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)

3.1拉格朗日插值

拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为

=)(x L n ∑=n k k k x l

y 0)(,

)(x l k 为插值基函数,表达式为

=)(x l k )

)...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 = 截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]:

设)(x f n 在[]b a ,上连续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n

≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项

)()!

1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设

1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!

1()(11x w n M x R n n n +++≤. 3.2牛顿插值

牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因此,提出了均差（即差商）的概念.

设 称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则

[]=k x x f ,00

0)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1

100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差; []=

k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差. 我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式

=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []

210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -)

)...((11---n x x x x , =)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --,