电磁散射问题的快速计算
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2001年最快的机器为ASCI White (LLNL)，包含8192个处理机， 测试LINPACK时，峰值为12.3 TFLOPS, 可求解的稠密线性 方程组规模达到518,000 (优化的高斯消去法, 内存: 6.2TB)
计算直径为12个波长的金属球，未知量规模：172, 800
MLFMM: 内存474MB, 计算时间：21分钟（P4, 2G CPU, 1G Memory） GE: 内存2.4TB, 计算时间：约1个月 (估计值)
8
国外研究现状
V. Rokhlin（1993）给出了转移算子对角化的概念； M.A. Epton（1995）综述了FMBiblioteka Baidu在Laplace方程和HelmHoltz方程中的
相关理论； L. Greengard和V. Rokhlin (1997)提出了新版本的快速多极子方法，并
用于求解3维Laplace方程，它增加了指数展开的概念，并将其用于低 频Helmholtz方程(1998)，克服了传统FMM方法的不稳定性； X.B. Sun (2001)给出了矩阵形式描述的FMM，代替了传统FMM求解 Laplace方程的级数和形式。 E. Darve和H. Pascal（2004）给出了基于指数展开，同时在低频和高 频下稳定的新版本的FMM在Maxwell方程组求解的详细数学描述和 数值实现。类似的方法W.C. Chew也曾提到(2005)。 M. Nilsson（2002）提出了适合频域Maxwell方程的块QMR 迭代 FMM方法; 法国CERFACS的G. Alleon等2004年给出了基于MLFMM 的有效双层迭代GMRES(m)算法和稀疏近似逆预处理的数值实现。
ZnearI 数
聚集
据
转移
交
ZnearI
聚集 转移
ZnearI 数
聚集
据
转移
交
发散 换 发散 换 发散
P0
P1
Pnp-1
MLFMM的并行计算
5
Fast Algorithm
2u f n
n
n
year method
reference
storage flops
1947 GE (banded) Von Neumann, Goldstine n5
电磁散射问题的快速计算
电磁散射问题
计算复杂电大尺寸导体的雷达散射截面(RCS)
例如: 飞机 (VFY 218)
三角形网格剖分
积分方程离散
迭代法求解
预条件子
多层组划分
MLFMM
并行化
后处理
2
计算原理
Maxwell方程组 E B / t, H D / t J
D , B 0, J / t; D E, B H, J E
4
并行迭代方法
[Zij] [Ij]
向量运算(BLAS-1)
向量运算的并行
矩阵-向量乘积(BLAS-2)
结构矩阵对角化 (FFT) 稠密矩阵稀疏化 (FMM, 小波变换)
矩阵-向量乘积的并行
传统: 矩阵分块、区域分解 MLFMM: 树结构并行划分
提高并行效率
高效预条件子 (块对角、稀疏近似逆) 重排运算次序，让计算与通信的重叠 计算任务的划分尽可能保证负载平衡
SciDAC Initiative, DOE, CSGF, 2005
6
计算结果对比
2001年W.C. Chew等开发出计算电磁散射问题的并行程序 — Scale ME，该程序在SGI Origin 2000 上完成了问题规模超过 1000万的VFY 218飞机模型的RCS计算 (128个CPU，内存69G， 计算时间为7.5 hour，入射波频率为8GHz)。它显示了MLFMM 和并行处理技术在计算电磁学中的巨大作用
1994年，Illinois大学计算电磁中心的W.C. Chew等提出了多层 快速多极子方法 (MLFMM)，也就是通过多层组划分和层间插 值，将迭代求解电磁场积分方程的复杂度降低到 O(NlogN）。
L. Greengard (1999) 给出了N体问题的FMM严格误差估计；S. Amini (2000) 给出了声波散射问题的FMM的误差分析；对于电 磁散射问题的FMM严格误差估计和复杂度分析，M.A. Epton和 B. Dembart (1995)，J. Rahola (1998) ，法国巴黎大学的E. Darve (2001)和 Q. Carayol，F. Collino(2004)给出了许多重要结果。
电磁场积分方程
离散后的系数矩阵
zmn
S
S ' gm P(G) gndS ' dS
格林函数
由多极子展开得到 矩阵远场部分的近似
G(r, [Zmn
r') ] far
e jk|r-r'|
k 2 16 2
/ 4 | r
K
Dmp
p1
- r' Tp
| Anp
通过多层组划分和层间插值， j 1, k 2 / , /
7
国外研究现状
1987年，耶鲁大学的L. Greengard和V. Rokhlin发明了快速多极 子方法 (FMM) ，将求解多点源位势的复杂度降到O(N)；
1988年，J. Carrier提出了自适应树结构策略，解决了粒子不均 匀分布时FMM的计算效率下降的问题；
1993年，R. Coifman和V. Rokhlin用FMM求解 Helmholtz型积分 方程，将求解积分方程的计算与存储的复杂度降到O(N1.5)；
迭代法求解过程中的矩阵-向量乘积的复杂度降低到O(NlogN)
3
网格剖分与几何信息读入
计算流程
构造分布式八叉树
电磁场积分方程 最细层的近场信息
矩量法
近场矩阵
线性方程组 预条件子
近场作用
各层的远场信息 聚集 (内插值) 转移 (次相邻组) 发散 (外插值)
迭代法求解
矩阵-向量乘积
远场作用
向量运算
BLAS, LAPACK
n7
1950 Optimal SOR Young
n3
n4logn
1971 CG
Reid
n3
n3.5logn
1984 Full MG
Brandt
n3
n3
1987 FMM
Greengard, Rokhlin
n2logn n2logn
If n=64, this table implies an overall reduction in flops of 160 million, which meets the Moore’s Law! (doubling in 1.5 year)
计算直径为12个波长的金属球，未知量规模：172, 800
MLFMM: 内存474MB, 计算时间：21分钟（P4, 2G CPU, 1G Memory） GE: 内存2.4TB, 计算时间：约1个月 (估计值)
8
国外研究现状
V. Rokhlin（1993）给出了转移算子对角化的概念； M.A. Epton（1995）综述了FMBiblioteka Baidu在Laplace方程和HelmHoltz方程中的
相关理论； L. Greengard和V. Rokhlin (1997)提出了新版本的快速多极子方法，并
用于求解3维Laplace方程，它增加了指数展开的概念，并将其用于低 频Helmholtz方程(1998)，克服了传统FMM方法的不稳定性； X.B. Sun (2001)给出了矩阵形式描述的FMM，代替了传统FMM求解 Laplace方程的级数和形式。 E. Darve和H. Pascal（2004）给出了基于指数展开，同时在低频和高 频下稳定的新版本的FMM在Maxwell方程组求解的详细数学描述和 数值实现。类似的方法W.C. Chew也曾提到(2005)。 M. Nilsson（2002）提出了适合频域Maxwell方程的块QMR 迭代 FMM方法; 法国CERFACS的G. Alleon等2004年给出了基于MLFMM 的有效双层迭代GMRES(m)算法和稀疏近似逆预处理的数值实现。
ZnearI 数
聚集
据
转移
交
ZnearI
聚集 转移
ZnearI 数
聚集
据
转移
交
发散 换 发散 换 发散
P0
P1
Pnp-1
MLFMM的并行计算
5
Fast Algorithm
2u f n
n
n
year method
reference
storage flops
1947 GE (banded) Von Neumann, Goldstine n5
电磁散射问题的快速计算
电磁散射问题
计算复杂电大尺寸导体的雷达散射截面(RCS)
例如: 飞机 (VFY 218)
三角形网格剖分
积分方程离散
迭代法求解
预条件子
多层组划分
MLFMM
并行化
后处理
2
计算原理
Maxwell方程组 E B / t, H D / t J
D , B 0, J / t; D E, B H, J E
4
并行迭代方法
[Zij] [Ij]
向量运算(BLAS-1)
向量运算的并行
矩阵-向量乘积(BLAS-2)
结构矩阵对角化 (FFT) 稠密矩阵稀疏化 (FMM, 小波变换)
矩阵-向量乘积的并行
传统: 矩阵分块、区域分解 MLFMM: 树结构并行划分
提高并行效率
高效预条件子 (块对角、稀疏近似逆) 重排运算次序，让计算与通信的重叠 计算任务的划分尽可能保证负载平衡
SciDAC Initiative, DOE, CSGF, 2005
6
计算结果对比
2001年W.C. Chew等开发出计算电磁散射问题的并行程序 — Scale ME，该程序在SGI Origin 2000 上完成了问题规模超过 1000万的VFY 218飞机模型的RCS计算 (128个CPU，内存69G， 计算时间为7.5 hour，入射波频率为8GHz)。它显示了MLFMM 和并行处理技术在计算电磁学中的巨大作用
1994年，Illinois大学计算电磁中心的W.C. Chew等提出了多层 快速多极子方法 (MLFMM)，也就是通过多层组划分和层间插 值，将迭代求解电磁场积分方程的复杂度降低到 O(NlogN）。
L. Greengard (1999) 给出了N体问题的FMM严格误差估计；S. Amini (2000) 给出了声波散射问题的FMM的误差分析；对于电 磁散射问题的FMM严格误差估计和复杂度分析，M.A. Epton和 B. Dembart (1995)，J. Rahola (1998) ，法国巴黎大学的E. Darve (2001)和 Q. Carayol，F. Collino(2004)给出了许多重要结果。
电磁场积分方程
离散后的系数矩阵
zmn
S
S ' gm P(G) gndS ' dS
格林函数
由多极子展开得到 矩阵远场部分的近似
G(r, [Zmn
r') ] far
e jk|r-r'|
k 2 16 2
/ 4 | r
K
Dmp
p1
- r' Tp
| Anp
通过多层组划分和层间插值， j 1, k 2 / , /
7
国外研究现状
1987年，耶鲁大学的L. Greengard和V. Rokhlin发明了快速多极 子方法 (FMM) ，将求解多点源位势的复杂度降到O(N)；
1988年，J. Carrier提出了自适应树结构策略，解决了粒子不均 匀分布时FMM的计算效率下降的问题；
1993年，R. Coifman和V. Rokhlin用FMM求解 Helmholtz型积分 方程，将求解积分方程的计算与存储的复杂度降到O(N1.5)；
迭代法求解过程中的矩阵-向量乘积的复杂度降低到O(NlogN)
3
网格剖分与几何信息读入
计算流程
构造分布式八叉树
电磁场积分方程 最细层的近场信息
矩量法
近场矩阵
线性方程组 预条件子
近场作用
各层的远场信息 聚集 (内插值) 转移 (次相邻组) 发散 (外插值)
迭代法求解
矩阵-向量乘积
远场作用
向量运算
BLAS, LAPACK
n7
1950 Optimal SOR Young
n3
n4logn
1971 CG
Reid
n3
n3.5logn
1984 Full MG
Brandt
n3
n3
1987 FMM
Greengard, Rokhlin
n2logn n2logn
If n=64, this table implies an overall reduction in flops of 160 million, which meets the Moore’s Law! (doubling in 1.5 year)