线性代数-同济大学(第五版)课件 [完整版]
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线性代数（第五版）
1
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
2
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
= a21 a22 a 23
a11 a22 3a3 +a12 a23 a31 +a13a21 a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a11 a12 副对角线 a21 a22 = a11a22 a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
9
二元线性方程组
a11x1 x
+a12x2 +a x
=
b1 =b
若令
D = a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
b1 a12 D1 = b2 a22
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
13
1 2 -4
例2 计算行列式 D = -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4 1×1×4 2×( 2)×( 2) ( 4)×2×( 3)
= 4 6+ 32 4 8 24
= 14.
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
共有 3×2×1= 6 种放法.
17
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表示.
显然 Pn = n(n 1)(n 2) 321= n!
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 a12a21 称为由该
数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D=
a21 a22
= a11a22 a12a21
其中， aij(i = 1,2; j = 1,2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第8 j 列.
a11x1 +a12x2 = b1
x +a x = b
21 1 22 2 2
其求解公式为
b1a22 a12b2
x1 = a11a22 a12a21
b ba
11 2 1 21
2 a11a22 a12a21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
a11 a12 数表 a21 a22
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
因此大部分的排列都不是“顺序”，而
14
例3 求解方程 1 1 1 2 3 x = 0.
4 9 x2 解 方程左端
D = 3x2 + 4x +18 9x = x2 5x + 6, 由 x2 5x+ 6 = 0 得
2x2 12
x = 2或 x = 3.
15
§2 全排列及其逆序数
16
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
4 4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
5
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
Leabharlann Baidu
a11x1 +a12x2 = b1 x +a x = b
21 1 22 2 2 a
由消元法，得
(a11a22 a12a21)x1 = b1a22 a12b2
(a11a22 a12a21)x2 = a11b2 b1a21 a a 当 11 22 a a12 21 0 时，该方程组有唯一解
x1 = b1a22 a a11 22
a12b2 a a12 21
x2 = a11b2 a a11 22
b1a21 a a12 21
6
二元线性方程组
a11x1 +a12x2 = b1
并不适用！
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3 3
第一章 行列式
� 内容提要
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式
的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换（选学内容）
行列式的概念.
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算.
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2 = 3 ( 4) = 7 0
21
12 2
D1 = 1
= 12 ( 2) = 14 1
3 12
D2 =
= 3 24 = 21
21
所以 x 1 = = = 2,
D1 14 D7
D2 21 x2 = D = 7 = 3
11
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
x +a x = b
21 1 22 2 2
求解公式为
请观察，此公式有何特点？
b1a22 a12b2
x1 = a11a22 a12a21
b ba
11 2 1 21
2 a11a22 a12a21
�分母相同，由方程组的四个系数确定. �分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
ax
7
ax
二元线性方程组
a11 b1 D2 = a21 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
=
b1a22 a11a22
a12b2 = D1 a12a21 D
a11b2 ba21
1
D2
x2 =
=
10
a11a22 a12a21 D
例1 求解二元线性方程组 3x1 2x2 = 12 2x1 + x2 = 1
解
3 因为 D =
1
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
2
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
= a21 a22 a 23
a11 a22 3a3 +a12 a23 a31 +a13a21 a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a11 a12 副对角线 a21 a22 = a11a22 a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
9
二元线性方程组
a11x1 x
+a12x2 +a x
=
b1 =b
若令
D = a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
b1 a12 D1 = b2 a22
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
13
1 2 -4
例2 计算行列式 D = -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4 1×1×4 2×( 2)×( 2) ( 4)×2×( 3)
= 4 6+ 32 4 8 24
= 14.
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
共有 3×2×1= 6 种放法.
17
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表示.
显然 Pn = n(n 1)(n 2) 321= n!
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 a12a21 称为由该
数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D=
a21 a22
= a11a22 a12a21
其中， aij(i = 1,2; j = 1,2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第8 j 列.
a11x1 +a12x2 = b1
x +a x = b
21 1 22 2 2
其求解公式为
b1a22 a12b2
x1 = a11a22 a12a21
b ba
11 2 1 21
2 a11a22 a12a21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
a11 a12 数表 a21 a22
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
因此大部分的排列都不是“顺序”，而
14
例3 求解方程 1 1 1 2 3 x = 0.
4 9 x2 解 方程左端
D = 3x2 + 4x +18 9x = x2 5x + 6, 由 x2 5x+ 6 = 0 得
2x2 12
x = 2或 x = 3.
15
§2 全排列及其逆序数
16
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
4 4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
5
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
Leabharlann Baidu
a11x1 +a12x2 = b1 x +a x = b
21 1 22 2 2 a
由消元法，得
(a11a22 a12a21)x1 = b1a22 a12b2
(a11a22 a12a21)x2 = a11b2 b1a21 a a 当 11 22 a a12 21 0 时，该方程组有唯一解
x1 = b1a22 a a11 22
a12b2 a a12 21
x2 = a11b2 a a11 22
b1a21 a a12 21
6
二元线性方程组
a11x1 +a12x2 = b1
并不适用！
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3 3
第一章 行列式
� 内容提要
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式
的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换（选学内容）
行列式的概念.
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算.
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2 = 3 ( 4) = 7 0
21
12 2
D1 = 1
= 12 ( 2) = 14 1
3 12
D2 =
= 3 24 = 21
21
所以 x 1 = = = 2,
D1 14 D7
D2 21 x2 = D = 7 = 3
11
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
x +a x = b
21 1 22 2 2
求解公式为
请观察，此公式有何特点？
b1a22 a12b2
x1 = a11a22 a12a21
b ba
11 2 1 21
2 a11a22 a12a21
�分母相同，由方程组的四个系数确定. �分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
ax
7
ax
二元线性方程组
a11 b1 D2 = a21 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
=
b1a22 a11a22
a12b2 = D1 a12a21 D
a11b2 ba21
1
D2
x2 =
=
10
a11a22 a12a21 D
例1 求解二元线性方程组 3x1 2x2 = 12 2x1 + x2 = 1
解
3 因为 D =