频率分布表与频率分布直方图PPT教学课件
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2．解分式方程一定要验根.
➢ 课前热身
1. (2004·南宁市)当x≠1
时，分式 1
3
x
2.
(2004年·南京)计算a：a b
a
b b
=1
.
有意义。
3.计算：x2 4x 4 5x x2 =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6 .
x2
x3 x3
x y
4.在分式① x y
3x2 y ,② 2x
,③4
5xy 5xy
,④3x xy
15
试及格人数。
10 10 5
0
28 14
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 108~120
分数
小结
通过本节学习，我们了解了频数分布的意义及 获得一组数据的频数分布的一般步骤: (1)计算极差； (2) 决定组距和组数； (3) 决定分点； (4) 列出频数分布表； (5)画出频数分布直方图和频数折线图。
2003年中考结束后，某市从参加中考的12000名学生
中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，满
分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理得
到如下频数分布直方图，
请回答下列问题：
60
学生人数
60
(3)若成绩在72分以上 50
（含72分）为及格， 40
请你评估该市考生数学 30
28
成绩的及格率与数学考 20
2、对某班同学的身高进行统计（单位：厘 米），频数分布表中165.5~170.5这一组学 生人数是12,频率是0.25,则该班共有____名 学生.
3、 2003年中考结束后，某市从参加中考的12000名
学生中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，
满分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理
2
=( x 1)2
(3)原式=［a a
2
2
4
a2 4a 4
a
］÷4( a
a
)
=［a 2 (a 2)2 3
a2 a
］ a
a
4
=(a2 4 3a ) a
=(a 4)(a 1) a
a
(a 4)
a
4a
= (a 1) = a 1
➢ 典型例题解析
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，满
分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理得
到如下频数分布直方图，
请回答下列问题：
60 学生人数
60
(2)补全频数分布直方图 50
40
30
28
20 10
5 0
15 10
28 14
分数
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 08~120
得到如下频数分布直方图，
请回答下列问题：
60 学生人数
60
（1）此次抽样调查
50
的样本容量是_____ 40
30
28
28
20
15 10 10
14
5
0
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 08~120
分数
2003年中考结束后，某市从参加中考的12000名学生
5.分式方程 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程.
分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以(或除 以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.这一 性质用式表示为：
A AM B BM
A A M (M 0) B BM
分式的基本性质是分式进行恒等变形的基础和根据.
1.分式的加、减法法则
a b = a b ， a c = ad bc = ad bc
x2 9 4x
3
的值为零，则x (C )
A.3 B.3或-3 C.-3 D.0
3.(2004年·杭州)甲、乙两人分别从两地同时出发，
若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时
甲追上乙，那么甲的速度是乙速度的
(C )
A.
a
b
b
b
B.a b
ba
C.b - a
ba
Db. a
➢ 课时训练
4结.（果2是0：04 年x 1·2黄冈）化简。：( x
3 y
中 ，最
简分式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
(B )
➢ 课前热身
5. 将分式x 2y 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值
x
D( )
A.扩大10倍
B.缩小10倍
C.扩大2倍
D.不变
6.当式子 | x | 5 的值为零时，x的值是
x2 4x 5
(B )
A.5 C.-1或5
B.-5 D.-5或5
c c c b d bd bd bd
2.分式的乘、除法法则
a · c = ac ， a c = a · d = ad .
b
d bd
bd b
c bc
3.分式的乘方法则
a n =
b
an bn
(n
为正整数)
着重提示：
1．分式的“值为零”和分式“无意义”. 分式的值为零，是在分式有意义的前提下考虑的.要 使分式的值为零，一定要同时满足两个条件；(1)分母 的值不为零；(2)分子的值为零.特别应注意，分子、 分母的值同时为零时，分式无意义. 分式的分母为零，分式无意义，这时无须考虑分子 的值是否为零.
频数
8
6
4
2
0 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5 数据
1、一个样本含有20个数据:35,31,33,35,37,39, 35,38,40,39,36,34,35,37,36,32,34,35,36,34. 在列频数分布表时,如果组距为2, 那么应分成___组,32.5~34.5这组的频数为_____
a2
a
a
解：(1)原式= a 2 4
1 a2
=
a2 4 a2
4 a2
=a2 8
a2
➢ 典型例题解析
(2)原式=x
1
1
x3 ( x 1)( x 1)
• ( x 1)2 ( x 1)( x 3)
1 x1
x1 x1
= x 1 ( x 1)2 =( x 1)2 ( x 1)2
解： （4）列频数分布表:
分组
频数记录 频数
22.5~ 24.5~ 24.5 26.5
2
3
26.5~ 28.5
8
28.5~ 30.5~ 合计 30.5 32.5
4
3 20
例题:已知一个样本：27，23，25，27，29，
31，27，30，32，21，28，26，27，29， 28，24，26，27，28，30。 列出频数分布表， 并绘出频数分布直方图和频数折线图。 解： （5）画频数分布直方图和频数折线图:
➢ 典型例题解析
【例5】 化简： 1 + 1
1a 1a
+
1
2 a
2
+4
1a
4
.
解：原式=
(1 a) (1 a) (1 a)(1 a)
2 1 a2
4 1 a4
=2(1
a2 )2(1 1 a4
a
2
)
1
4 a
4
=
1
4 a
4
4 1 a4
8
=1 a8
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
7.当x=cos60°时，代数式x2 3x ÷(x+3 )的值是A (
x2
2x
A.1/3
B. 3
3
C.1/2
D3. 1
3
➢ 课前热身
8.(2004·西宁市)若分式x2 2x 3
x1
的值为0，则x＝-3
9. (2004年·呼和浩特)已知x 1 , xy 1
2 3
则
x2y xy2 x2 y2
的分子、分母的最高次项系数化为正整数，然后约分，
化成最简分式.
解：原式=
( 1 5 x 2 x2 ) 60 46 3
( 7 )x 1 0.1x2 ) 60
60 20
1=5 50 x 40 x2
7x 3 6x2
40x2 50x 15 6x2 7x 3
=
15 50x 40x 7x 3 6x2
1
即a=4或a=-1时，分式的值为零.
(2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值 (1)为正；(2)为零a . 3
➢ 典型例题解析
1 5 x 2 x2
【例2】
不改变分式的值，先把分式：
46 3 7 x 1 0.1x2
60 20
x 2
x
x
2
)
4x 2x
的
5.(2004年·青海)化简：( x2x
3
x
x
3
)
•
x
2 x
9
解：原式＝2x 2 6 x x 2 3 x • x 2 9
( x 3)( x 3)
x
x2 9x x 9
6.当1＜x＜3时，x 化简| x 3 | | x 1| | x | 得 (D )
x 3 1 x x
数出每一组频数
(5)绘制频数分布直方图.
横轴表示各组数据，纵轴表示频数， 该组 内的频数为高，画出一个个矩形。
例题:已知一个样本：27，23，25，27，29，
31，27，30，32，23，28，26，27，29， 28，24，26，27，28，30。 列出频数分布表， 并绘出频数分布直方图和频数折线图。
(1a=a2 0解.22a：原a2式a 4=a1［ a4(aa)22)÷aa (aa4221)2
，其中a满足：a2-2a］×a 2
a4
=(a
2
4) a(a
(a 2 2)2
a)
a2
×a 4
a=(aa
4 2)2
a× 2
a4
1
=a(a 2)
1
=a2 2a
又∵a2+2a-1=0， ∴a2+2a=1 ∴原式=1
（1）可以由组距来求组数； （2）当数据个数小于40时，组数为6－8组；
当数据个数40—100个时，组数为7－10组；
画频数分布直方图的一般步骤:
(1) 计算最大值与最小值的差(极差).
极差:
(2) 决定组距与组数: 极差/组距=________
(3) 决定分点.
数据分成_____组.
(4)列频数分布表.
大部分同学处于哪个分数段？ 成绩的整体分布情况怎样？
制作频数分布表
先将成绩按10分的距离分段，统计每个分数 段学生出现的频数，填入表20.1.2．
表 20.1.2
根据频数分布表绘制直方图
表 20.1.2
79.5分到89.5分 这个分数段的学 生数最多
根据频数分布表绘制直方图
90分以上 的同学较 少
A.1 B.-1
C.3 D.-3
探索知识 享受快乐
(1)扇形统计图的特点? (2)扇形统计图的制作步骤? (3)什么是频数？什么是频率?
某班一次数学测验成绩如下： 63，84，91，53，69，81，61，69， 91，78，75，81，80，67，76，81， 79，94，61，69，89，70，70，87， 81，86，90，88，85，67，71，82， 87，75，87，95，53，65，74，77．
2
= 406xx22
50x 15 7x 3
= 5(2 x 3)(4 x 1)
(3 x 1)(2 x 3)
= 20x 5
3x 1
➢ 典型例题解析
【例3】 计算：(1) a 2 4 ；
a2
1
(2)
x1
x3 x2 1
•
x2 x2
2x 1 4x 3
；
(3)［(1 4 )( a 4 4 )-3］÷( 4 1 ).
= 1/4
.
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4
2a 3
(1)值为零；(2)分式有意义?
解：a 3a 4 =(a 4)(a 1)
2a 3
(1)当(2aa43)(a0
1)
2a 0
3
时，有aa
4或a 3 2
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要 掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本 性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧， 尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心 谨慎！
➢ 课时训练
1. (2004年·上海)函数y
x x1
的定义域是x>-1
.
2.(2004 的值为
年·重庆)若分式 x2
根据频数分布表绘制直方图
不及格的 学生数最 少!!!
绘制频数折线图
将直方图中每个小 长方形上面一条边 的中点顺次连结起 来,即可得到频数 折线图
画频数分布直方图的一般步骤:
(1) 计算最大值与最小值的差(极差).
极差:
(2) 决定组距与组数: 极差/组距=_______
数据分成_____组. 注意：一般情况
设计制作:
1.分式 A
在分式中 B ，分式的分母B中必须含有字母，且分母 不能为零.
2.有理式 整式和分式统称为有理式.
3.最简分式 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分 式4..最简公分母
几个分式，取各分母的系数的最小公倍数与各分 母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分 母叫做最简公分母.
解：（1）计算最大值与最小值的差： 32-23=9
（2）决定组距为2， 因为9/2=4.5,所以组数为5
（3）决定分点: 22.5~24.5,24.5~26.5, 26.5~28.5,28.5~30.5,30.5~32.5.
例题:已知一个样本：27，23，25，27，29，
31，27，30，32，21，28，26，27，29， 28，24，26，27，28，30。 列出频数分布表， 并绘出频数分布直方图和频数折线图。
➢ 课前热身
1. (2004·南宁市)当x≠1
时，分式 1
3
x
2.
(2004年·南京)计算a：a b
a
b b
=1
.
有意义。
3.计算：x2 4x 4 5x x2 =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6 .
x2
x3 x3
x y
4.在分式① x y
3x2 y ,② 2x
,③4
5xy 5xy
,④3x xy
15
试及格人数。
10 10 5
0
28 14
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 108~120
分数
小结
通过本节学习，我们了解了频数分布的意义及 获得一组数据的频数分布的一般步骤: (1)计算极差； (2) 决定组距和组数； (3) 决定分点； (4) 列出频数分布表； (5)画出频数分布直方图和频数折线图。
2003年中考结束后，某市从参加中考的12000名学生
中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，满
分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理得
到如下频数分布直方图，
请回答下列问题：
60
学生人数
60
(3)若成绩在72分以上 50
（含72分）为及格， 40
请你评估该市考生数学 30
28
成绩的及格率与数学考 20
2、对某班同学的身高进行统计（单位：厘 米），频数分布表中165.5~170.5这一组学 生人数是12,频率是0.25,则该班共有____名 学生.
3、 2003年中考结束后，某市从参加中考的12000名
学生中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，
满分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理
2
=( x 1)2
(3)原式=［a a
2
2
4
a2 4a 4
a
］÷4( a
a
)
=［a 2 (a 2)2 3
a2 a
］ a
a
4
=(a2 4 3a ) a
=(a 4)(a 1) a
a
(a 4)
a
4a
= (a 1) = a 1
➢ 典型例题解析
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，满
分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理得
到如下频数分布直方图，
请回答下列问题：
60 学生人数
60
(2)补全频数分布直方图 50
40
30
28
20 10
5 0
15 10
28 14
分数
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 08~120
得到如下频数分布直方图，
请回答下列问题：
60 学生人数
60
（1）此次抽样调查
50
的样本容量是_____ 40
30
28
28
20
15 10 10
14
5
0
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 08~120
分数
2003年中考结束后，某市从参加中考的12000名学生
5.分式方程 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程.
分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以(或除 以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.这一 性质用式表示为：
A AM B BM
A A M (M 0) B BM
分式的基本性质是分式进行恒等变形的基础和根据.
1.分式的加、减法法则
a b = a b ， a c = ad bc = ad bc
x2 9 4x
3
的值为零，则x (C )
A.3 B.3或-3 C.-3 D.0
3.(2004年·杭州)甲、乙两人分别从两地同时出发，
若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时
甲追上乙，那么甲的速度是乙速度的
(C )
A.
a
b
b
b
B.a b
ba
C.b - a
ba
Db. a
➢ 课时训练
4结.（果2是0：04 年x 1·2黄冈）化简。：( x
3 y
中 ，最
简分式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
(B )
➢ 课前热身
5. 将分式x 2y 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值
x
D( )
A.扩大10倍
B.缩小10倍
C.扩大2倍
D.不变
6.当式子 | x | 5 的值为零时，x的值是
x2 4x 5
(B )
A.5 C.-1或5
B.-5 D.-5或5
c c c b d bd bd bd
2.分式的乘、除法法则
a · c = ac ， a c = a · d = ad .
b
d bd
bd b
c bc
3.分式的乘方法则
a n =
b
an bn
(n
为正整数)
着重提示：
1．分式的“值为零”和分式“无意义”. 分式的值为零，是在分式有意义的前提下考虑的.要 使分式的值为零，一定要同时满足两个条件；(1)分母 的值不为零；(2)分子的值为零.特别应注意，分子、 分母的值同时为零时，分式无意义. 分式的分母为零，分式无意义，这时无须考虑分子 的值是否为零.
频数
8
6
4
2
0 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5 数据
1、一个样本含有20个数据:35,31,33,35,37,39, 35,38,40,39,36,34,35,37,36,32,34,35,36,34. 在列频数分布表时,如果组距为2, 那么应分成___组,32.5~34.5这组的频数为_____
a2
a
a
解：(1)原式= a 2 4
1 a2
=
a2 4 a2
4 a2
=a2 8
a2
➢ 典型例题解析
(2)原式=x
1
1
x3 ( x 1)( x 1)
• ( x 1)2 ( x 1)( x 3)
1 x1
x1 x1
= x 1 ( x 1)2 =( x 1)2 ( x 1)2
解： （4）列频数分布表:
分组
频数记录 频数
22.5~ 24.5~ 24.5 26.5
2
3
26.5~ 28.5
8
28.5~ 30.5~ 合计 30.5 32.5
4
3 20
例题:已知一个样本：27，23，25，27，29，
31，27，30，32，21，28，26，27，29， 28，24，26，27，28，30。 列出频数分布表， 并绘出频数分布直方图和频数折线图。 解： （5）画频数分布直方图和频数折线图:
➢ 典型例题解析
【例5】 化简： 1 + 1
1a 1a
+
1
2 a
2
+4
1a
4
.
解：原式=
(1 a) (1 a) (1 a)(1 a)
2 1 a2
4 1 a4
=2(1
a2 )2(1 1 a4
a
2
)
1
4 a
4
=
1
4 a
4
4 1 a4
8
=1 a8
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
7.当x=cos60°时，代数式x2 3x ÷(x+3 )的值是A (
x2
2x
A.1/3
B. 3
3
C.1/2
D3. 1
3
➢ 课前热身
8.(2004·西宁市)若分式x2 2x 3
x1
的值为0，则x＝-3
9. (2004年·呼和浩特)已知x 1 , xy 1
2 3
则
x2y xy2 x2 y2
的分子、分母的最高次项系数化为正整数，然后约分，
化成最简分式.
解：原式=
( 1 5 x 2 x2 ) 60 46 3
( 7 )x 1 0.1x2 ) 60
60 20
1=5 50 x 40 x2
7x 3 6x2
40x2 50x 15 6x2 7x 3
=
15 50x 40x 7x 3 6x2
1
即a=4或a=-1时，分式的值为零.
(2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值 (1)为正；(2)为零a . 3
➢ 典型例题解析
1 5 x 2 x2
【例2】
不改变分式的值，先把分式：
46 3 7 x 1 0.1x2
60 20
x 2
x
x
2
)
4x 2x
的
5.(2004年·青海)化简：( x2x
3
x
x
3
)
•
x
2 x
9
解：原式＝2x 2 6 x x 2 3 x • x 2 9
( x 3)( x 3)
x
x2 9x x 9
6.当1＜x＜3时，x 化简| x 3 | | x 1| | x | 得 (D )
x 3 1 x x
数出每一组频数
(5)绘制频数分布直方图.
横轴表示各组数据，纵轴表示频数， 该组 内的频数为高，画出一个个矩形。
例题:已知一个样本：27，23，25，27，29，
31，27，30，32，23，28，26，27，29， 28，24，26，27，28，30。 列出频数分布表， 并绘出频数分布直方图和频数折线图。
(1a=a2 0解.22a：原a2式a 4=a1［ a4(aa)22)÷aa (aa4221)2
，其中a满足：a2-2a］×a 2
a4
=(a
2
4) a(a
(a 2 2)2
a)
a2
×a 4
a=(aa
4 2)2
a× 2
a4
1
=a(a 2)
1
=a2 2a
又∵a2+2a-1=0， ∴a2+2a=1 ∴原式=1
（1）可以由组距来求组数； （2）当数据个数小于40时，组数为6－8组；
当数据个数40—100个时，组数为7－10组；
画频数分布直方图的一般步骤:
(1) 计算最大值与最小值的差(极差).
极差:
(2) 决定组距与组数: 极差/组距=________
(3) 决定分点.
数据分成_____组.
(4)列频数分布表.
大部分同学处于哪个分数段？ 成绩的整体分布情况怎样？
制作频数分布表
先将成绩按10分的距离分段，统计每个分数 段学生出现的频数，填入表20.1.2．
表 20.1.2
根据频数分布表绘制直方图
表 20.1.2
79.5分到89.5分 这个分数段的学 生数最多
根据频数分布表绘制直方图
90分以上 的同学较 少
A.1 B.-1
C.3 D.-3
探索知识 享受快乐
(1)扇形统计图的特点? (2)扇形统计图的制作步骤? (3)什么是频数？什么是频率?
某班一次数学测验成绩如下： 63，84，91，53，69，81，61，69， 91，78，75，81，80，67，76，81， 79，94，61，69，89，70，70，87， 81，86，90，88，85，67，71，82， 87，75，87，95，53，65，74，77．
2
= 406xx22
50x 15 7x 3
= 5(2 x 3)(4 x 1)
(3 x 1)(2 x 3)
= 20x 5
3x 1
➢ 典型例题解析
【例3】 计算：(1) a 2 4 ；
a2
1
(2)
x1
x3 x2 1
•
x2 x2
2x 1 4x 3
；
(3)［(1 4 )( a 4 4 )-3］÷( 4 1 ).
= 1/4
.
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4
2a 3
(1)值为零；(2)分式有意义?
解：a 3a 4 =(a 4)(a 1)
2a 3
(1)当(2aa43)(a0
1)
2a 0
3
时，有aa
4或a 3 2
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要 掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本 性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧， 尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心 谨慎！
➢ 课时训练
1. (2004年·上海)函数y
x x1
的定义域是x>-1
.
2.(2004 的值为
年·重庆)若分式 x2
根据频数分布表绘制直方图
不及格的 学生数最 少!!!
绘制频数折线图
将直方图中每个小 长方形上面一条边 的中点顺次连结起 来,即可得到频数 折线图
画频数分布直方图的一般步骤:
(1) 计算最大值与最小值的差(极差).
极差:
(2) 决定组距与组数: 极差/组距=_______
数据分成_____组. 注意：一般情况
设计制作:
1.分式 A
在分式中 B ，分式的分母B中必须含有字母，且分母 不能为零.
2.有理式 整式和分式统称为有理式.
3.最简分式 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分 式4..最简公分母
几个分式，取各分母的系数的最小公倍数与各分 母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分 母叫做最简公分母.
解：（1）计算最大值与最小值的差： 32-23=9
（2）决定组距为2， 因为9/2=4.5,所以组数为5
（3）决定分点: 22.5~24.5,24.5~26.5, 26.5~28.5,28.5~30.5,30.5~32.5.
例题:已知一个样本：27，23，25，27，29，
31，27，30，32，21，28，26，27，29， 28，24，26，27，28，30。 列出频数分布表， 并绘出频数分布直方图和频数折线图。