高等数理统计试卷

2016年-2017年秋季学期《高等数理统计》试卷

1.设总体X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0

,00 ,1)(x x e x f x θθ，其中0>θ为未知参数，T n X X X ),,,(21 为来自总体X 的样本，证明样本均值是参数θ的充分完备统计量。

2. 设T n X X X ),,,(221 是来自正态总体),0(2

σN 的样本，试求统计量 22222121n n n n X X X X X X Z ++++++=

++

的概率分布。 3.设总体X ～),(2σμN ，T n X X X ),,,(21 为其样本，

求224-σμ的最小方差无偏估计。 4.设总体X ～),(θαGa ，即分布密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0

,00 ,)()(1x x x e x f x αθααθ 其中)0(>αα为已知常数，)0(>θθ为未知常数，T n X X X ),,,(21 为总体X 的一个样本，试求θθ1

)(=g 的最大似然估计，并判别其是否为有效估计。

5. 设总体X ～)(θExp ，T n X X X ),,,(21 是来自总体X 的一个样本，

θ的先验分布为Ga 分布，其密度函数为

0 ,)1(1)(1>+Γ=-+x x e x f x

αβαβα，

其中0,1>->βα，损失函数为2)ˆ(θθ

-L ，求θ的贝叶斯估计。 6.在正态总体)1,(μN 中取100个样品，计算得32.6=x ，

（1）试检验假设6:6:10≠↔=μμH H 是否成立？)05.0(=α

（2）计算上述检验在8.5:1=μH 下犯第Ⅱ类错误的概率；

（3）试求检验的效用函数。