初中数学 等腰三角形应用(习题及答案)

等腰三角形应用（习题）

➢ 例题示范

例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ． 【思路分析】 ①读题标注：

②梳理思路：

要证DE =DF ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等．

观察图形，可以放在△BDE 和△CDF 中，发现有两边对应相等，考虑找夹角． 结合题中条件，AD 既是角平分线又是中线，三线中有两线重合，考虑证明△ABC 是等腰三角形，需利用倍长中线进行证明（见中线，要倍长），进而得到∠B =∠

C ，再证明△BDE ≌△CDF 即可． 【过程书写】

证明：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接CG ． ∵BD =CD ，∠ADB =∠GDC ∴△ADB ≌△GDC （SAS ） ∴AB =GC ，∠1=∠G ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠G ∴AC =GC ∴AB =AC

∴∠B =∠ACD ∵BE =CF

∴△BDE ≌△CDF （SAS ） ∴DE =DF

E A

B

C

D F

➢ 巩固练习

1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为

C ，

D ，连接CD ．

求证：OP 是CD 的垂直平分线．

2. 已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ．

求证：点F 在∠DAE 的平分线上．

3. 已知，如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ． 求证：∠2=∠1+∠B ．

P O D

C

B

A

F

E

D C

B A

21

D

C

A

4. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一

点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．

求证：BM =EM ．

5. 已知：如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，E 是BC 上一

点，连接AD ，AE ，DE ． 求证：∠EAD =∠EDA ．

6. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一

M D

A

4

32

1E

C

B A

共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．

➢思考小结

1.要证两条线段相等，如果放在一个三角形中考虑证________；如果放在两

个三角形中考虑证全等．

2.常见的条件组合搭配：

【参考答案】

1.证明略（提示：利用等腰△CDP三线合一）

2.证明略（提示：作射线AF，过F作FH⊥AD于H，作FM⊥BC于M，作FG

⊥AE于G，利用角平分线定理②证明AF平分∠DAE）

3.证明略（提示：利用两线重合构造等腰三角形，然后利用外角定理倒角）

4.证明略（提示：连接BD，证明△BDE是等腰三角形）

5.证明略（提示：证明△ABC≌△DBC，说明直线BC是线段AD的垂直平分

线，进而得到EA=ED，∠EAD=∠EDA）

6.5个，作图略（两圆一线）

思考小结

1. 等腰

2. 这条线段两个端点的距离相等

这个角的两边的距离相等

三线合一

等腰三角形

斜边的一半

等于斜边的一半