九年级数学相似图形课件
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相似图形
基础演练
1.已知
b a
5 13，则
ab
a b 的值是
4
9。
2.（2018•乐山）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关
系是（ B ）
A.EG=4GC B．EG=3GC
C.EG= GC D．EG=2GC
3.如图，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，则BD的长为
___成__比__例__．
l1 A B
l2 Da Eb
CF
c
强化训练
1.（2019.雅安）若a:b=3：4，且a+b=14，则2a-b=（ A ） A.4 B.2 C.20 D.14
2.（2017.长春）如图，直线a//b//c，直线l1,l2与这三条
平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC=1：2，
DE=3，则DF的长为 9 。
l1 A B
l2 Da Eb
CF
c
考点2．相似三角形
（1）相似三角形的 对应角 （2）相似三角形的对应线段
相等成比；例
；
性质 （3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积
比等于 相似比的平方 。
（1）
对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且 相等的两个三
判定 角形相似；
AP>PB，且_PA__BP_＝__AA_BP____，那么称线段 AB 被点 P 黄金分割，P 叫 做线段 AB 的黄金分割点，所分成的较长一条线段 AP 与整条
5－1
线段 AB 的比叫做黄金比，黄金比为____2____．一条线段的黄金
分割点有__2___个．
考点梳理
4．平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
四边形 ABCN 的面积最大，
最大面积为
5 8
cm2
考点3．相似多边形
1.定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形。 2.性质 （1）相似多边形对应角 相等 ，对应边 成比例； （2）相似多边形的周长比等于 相似比 ，面积 比等于 相似比的平方 。
考点4．位似
1.定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线经过同一点， 那么这两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心。 2.性质 （1）位似图形对应角相等； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于 位似比 ，面积比等于 位似比的平方 ； （3）位似图形对应点连线或延长线相交于一点； （4）位似图形对应边平行或共线且成比例； （5）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k， 那么位似图形对应点的坐标比为 ±K 。
A．1 B．2 C．3 D．4[来源:学§科 §网Z§X
典例分析
例4.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB ，他调整自己的位置，设 法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在 同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE=40cm ， EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m CD=8m，则树高 AB= 5.5 m．
比等于 相似比的平方。
（1） 两个角 对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角 相等的两个三
判定
角形相似； （3）三边
对应成比的例两个三角形相似；
判定思路
有平行线 有一对等角
有两边对应 成比例
直角三角形
等腰三角形
用平行线的性质找等角
另一对等角 夹角的两条边对应成比例
夹角相等 第三边也对应成比例
（ C）
CD
A.36 B.16 C.6 D. 16
9
B
∟
A
基础演练
4.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ABD与△ABC相似，添
加一个条件，不正确的是（ C ）
A ∠ABD=∠C
B
B ∠ADB=∠ABC
C
AB CB BD CD
D AD AB
AB AC
C
A D
基础演练 5.（2018•抚顺）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0）， O（0，0），B（8，-6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把 △AOB缩小为原来的 ，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中 点，则MM′的长为 5 或15 ．
22
考点1．比例线段
考点梳理
1.定义：对于四条线段 a，b，c，d，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例 线段，简称比例线段．
比例中项：一般地，如果三个数 a，b，c 满足比例式ab＝bc(或 a∶b＝b∶c)，那么 b 就叫做 a，c 的比例中项．
一对直角
一对锐角相等 斜边、直角边对应成比例
顶角相等 一对底角相等 底和腰对应成比例
几种常见的基本图形 “A”字型
“X”字型
双垂型
三垂型
A
C
∟
B D
∟
E
1.
C
2.（2019.自贡）正方形 ABCD 的边长为 1cm，
M 、N 分别是 BC 、CD 上两个动点，且始终
保持 AM 1⊥MN ， 当 BM= 2 cm 时，
典例分析
例1.如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上一点，
连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点F ，且 AD=4 ，
CE 1 ， 则 CF 的长为 2
。
AB 3
DA
DA
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
CB
C
例2.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且
AD=2，点E在边AC上，当AE=
5 或12 35
时，以点A、D、E
为顶点的三角形与△ABC相似。
典例分析
例3.（2018•莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平 分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°， 连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论： ①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB。 其中正确的个数是（ C ）
考点1．比例线段
考点梳理
2.比例的性质
基本性质：ab＝dc⇔___a_d=_b_c__．
合比性质：如果ab＝dc，那么a±b b＝c±d d； 等比性质：如果ab＝dc＝…＝mn ，(b＋d＋…＋n≠0)，那么 ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ab.
考点梳理
3.黄金分割：如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB，使
（3）三边
的两个三角形相似；
易错解析
如图，在△ABC中，EF//BC，且AE：AB=1：3，
S四边形BCFE=8，则S△ABC= （ A ）
A
A 9 B 10 C 12 D 13
E
F
B
C
考点2．相似三角形
（1）相似三角形的 对应角 （2）相似三角形的对应线段
相等成比；例
；
性质 （3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积
基础演练
1.已知
b a
5 13，则
ab
a b 的值是
4
9。
2.（2018•乐山）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关
系是（ B ）
A.EG=4GC B．EG=3GC
C.EG= GC D．EG=2GC
3.如图，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，则BD的长为
___成__比__例__．
l1 A B
l2 Da Eb
CF
c
强化训练
1.（2019.雅安）若a:b=3：4，且a+b=14，则2a-b=（ A ） A.4 B.2 C.20 D.14
2.（2017.长春）如图，直线a//b//c，直线l1,l2与这三条
平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC=1：2，
DE=3，则DF的长为 9 。
l1 A B
l2 Da Eb
CF
c
考点2．相似三角形
（1）相似三角形的 对应角 （2）相似三角形的对应线段
相等成比；例
；
性质 （3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积
比等于 相似比的平方 。
（1）
对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且 相等的两个三
判定 角形相似；
AP>PB，且_PA__BP_＝__AA_BP____，那么称线段 AB 被点 P 黄金分割，P 叫 做线段 AB 的黄金分割点，所分成的较长一条线段 AP 与整条
5－1
线段 AB 的比叫做黄金比，黄金比为____2____．一条线段的黄金
分割点有__2___个．
考点梳理
4．平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
四边形 ABCN 的面积最大，
最大面积为
5 8
cm2
考点3．相似多边形
1.定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形。 2.性质 （1）相似多边形对应角 相等 ，对应边 成比例； （2）相似多边形的周长比等于 相似比 ，面积 比等于 相似比的平方 。
考点4．位似
1.定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线经过同一点， 那么这两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心。 2.性质 （1）位似图形对应角相等； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于 位似比 ，面积比等于 位似比的平方 ； （3）位似图形对应点连线或延长线相交于一点； （4）位似图形对应边平行或共线且成比例； （5）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k， 那么位似图形对应点的坐标比为 ±K 。
A．1 B．2 C．3 D．4[来源:学§科 §网Z§X
典例分析
例4.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB ，他调整自己的位置，设 法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在 同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE=40cm ， EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m CD=8m，则树高 AB= 5.5 m．
比等于 相似比的平方。
（1） 两个角 对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角 相等的两个三
判定
角形相似； （3）三边
对应成比的例两个三角形相似；
判定思路
有平行线 有一对等角
有两边对应 成比例
直角三角形
等腰三角形
用平行线的性质找等角
另一对等角 夹角的两条边对应成比例
夹角相等 第三边也对应成比例
（ C）
CD
A.36 B.16 C.6 D. 16
9
B
∟
A
基础演练
4.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ABD与△ABC相似，添
加一个条件，不正确的是（ C ）
A ∠ABD=∠C
B
B ∠ADB=∠ABC
C
AB CB BD CD
D AD AB
AB AC
C
A D
基础演练 5.（2018•抚顺）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0）， O（0，0），B（8，-6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把 △AOB缩小为原来的 ，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中 点，则MM′的长为 5 或15 ．
22
考点1．比例线段
考点梳理
1.定义：对于四条线段 a，b，c，d，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例 线段，简称比例线段．
比例中项：一般地，如果三个数 a，b，c 满足比例式ab＝bc(或 a∶b＝b∶c)，那么 b 就叫做 a，c 的比例中项．
一对直角
一对锐角相等 斜边、直角边对应成比例
顶角相等 一对底角相等 底和腰对应成比例
几种常见的基本图形 “A”字型
“X”字型
双垂型
三垂型
A
C
∟
B D
∟
E
1.
C
2.（2019.自贡）正方形 ABCD 的边长为 1cm，
M 、N 分别是 BC 、CD 上两个动点，且始终
保持 AM 1⊥MN ， 当 BM= 2 cm 时，
典例分析
例1.如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上一点，
连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点F ，且 AD=4 ，
CE 1 ， 则 CF 的长为 2
。
AB 3
DA
DA
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
CB
C
例2.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且
AD=2，点E在边AC上，当AE=
5 或12 35
时，以点A、D、E
为顶点的三角形与△ABC相似。
典例分析
例3.（2018•莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平 分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°， 连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论： ①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB。 其中正确的个数是（ C ）
考点1．比例线段
考点梳理
2.比例的性质
基本性质：ab＝dc⇔___a_d=_b_c__．
合比性质：如果ab＝dc，那么a±b b＝c±d d； 等比性质：如果ab＝dc＝…＝mn ，(b＋d＋…＋n≠0)，那么 ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ab.
考点梳理
3.黄金分割：如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB，使
（3）三边
的两个三角形相似；
易错解析
如图，在△ABC中，EF//BC，且AE：AB=1：3，
S四边形BCFE=8，则S△ABC= （ A ）
A
A 9 B 10 C 12 D 13
E
F
B
C
考点2．相似三角形
（1）相似三角形的 对应角 （2）相似三角形的对应线段
相等成比；例
；
性质 （3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积