矢量分析

运 算 规律： A B B A （交换律）
A (B C) A B AC （分配律）
AB
AB 0
A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
第一章 矢量分析
（4）矢量的矢量积（叉积）
A B
A B en ABsin
C=A+B
A
AB
B
C2 C C (A B) (A B)
A A B B 2A B
A2 B2 2 ABcosAB A2 B2 2 ABcos
第一章 矢量分析
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置且满足右手螺旋 规则的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴； 描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
B
推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边
矢量的减法
形，矢量和必为零。
第一章 矢量分析
（2）标量乘矢量（数乘）
kA exkAx eykAy ezkAz
（3）矢 量 的标量积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
两矢量点积含义：矢量在另一矢量方向上的投影与另一
矢量模的乘积，其结果是一标量。
0
坐标变量
,, z 0 2
坐标单位矢量
e , e , ez
z
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量
dS
e dldlz
e ddz
dS
e dl dlz
e ddz
dSz ezdldl ez dd
体积元
dV dddz
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
矢量垂直，且
A
、 B
与
A B
符合右手螺旋规则。
若 A B ，则 A B AB
若
A// B ， 则
AB 0
A B B A（反交换律）
（结合律）
第一章 矢量分析
（5）矢量的 混合运算 (A B) C AC B C —— 分配律 (A B)C AC B C —— 分配律 A (BC) B (C A) C (A B) —— 标量三重积 A (B C) B(AC) C(A B) —— 矢量三重积
第一章 矢量分析
3. 球坐标系
0 r
坐标变量 坐标单位矢量
r ,, er , e , e
0 0 2
位置矢量
r err
线元矢量
dl erdr e rd ersind
面元矢量
dSr
er dl dl
err
2sin
dd
dS e dlrdl ezrsindrd
dS edlrdl erdrd
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
Ax A cos
Ay A cos
Az A cos
A A(ex cos ey cos ez cos )
| A | Ax2 Ay2 Az2
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eA ex cos ey cos ez cos
第一章 矢量分析
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 B
写成行列式形式为 ex ey ez
B
AB sin
A B Ax Ay Az
A
Bx By Bz
矢量A 与B 的叉积
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx AxBz ) ez ( AxBy Ay Bx )
A B 大小为这两个矢量构成的平行四边形的面积，方向与这两个
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。 例1-1 证明：
证：应用矢 量恒等式 A(B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(AC) C(A B)
有
得证
第一章 矢量分析
例1-2：证明三角余弦定理。 C A2 B2 2ABcos
体积元 dV r2sindrdd
球坐标系
第一章 矢量分析
4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
(1) 直角坐标系与柱坐标系的关系
x r cos
y
r
sin
z z
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
2. 圆柱坐标系
矢量的几何描述：有向线段，箭头表示方向，长度表示大小
矢量的代数表述：A
eA A
eA
A
A
矢量的大小或模：A A
单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
第一章 矢量分析
矢量的坐标表示法：
A ex Ax ey Ay ez Az
第一章 矢量分析
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量
r ex x ey y ez z
线元矢量
dl exdx eydy ezdz
面元矢量
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量
标量：只用大小描述的物理量。 矢量：既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或 带箭头的字母表示。
边的平行四边形的对角线,如图所示。
A B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律 A B B A
B
A
AB
结合律 A (B C) (A B) C