高中数学—02—复数的方根与实系数一元二次方程—教师版

一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义

若复数1z ，2z 满足2

12z z =，则称1z 是2z 的平方根．

2．复数的平方根的求法

2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R

即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质

复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义

类似的，若复数1z ，2z 满足3

12z z =，则称1z 是2z 的立方根．

5．1的立方根

设复数13

22

i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ①31ω=， ①2

1322

i ωω==-

-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论

2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=

二、实系数一元二次方程

实系数一元二次方程2

0(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的2

4b ac ∆=-为根的判别式，那么

（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b ac

a

-±-；

复数的方根与实系数一元二次方程

知识梳理

图1

图2

（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a

-

； （3）0∆<⇔

，

在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：

（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．

（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．

三、常见几何图形的复数表达式

复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．

（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：

12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：

12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．

1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．

【难度】★

【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）

61512(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫

-+ ⎪

⎝⎭

；

（2）50

8

20028

223(22)12313i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭

． 【难度】★★

【答案】（1）513；（2）24783i +

【例3】记1322i ω=-+，求1ωω+，221

ωω

+． 【难度】★★ 【答案】1

1ωω

+=-，22

1

1ωω

+

=-

【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；

（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；

（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g g

L g 的值． 【难度】★★

【答案】（1）3

12

x y ⎧=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

；（2）12n =；（3）1-．

【巩固训练】

1．复数34i +的平方根是 ．

例题解析

【难度】★ 【答案】(2)i ±+

2．计算：（1

1996

= ． （2

）1515

12

(1)(1)(1)i -+=-+ ．

【难度】★ 【答案】（1

）122

-；（2）0

3．已知ω满足等式210ωω++=．

（1）计算4

(1)ωω++；304050ωωω++；2

2

4

(1)(1)ωωωω-+-+；

（2）求证：对任意复数u ，有恒等式3

3

23

3

(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★

【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2*

*33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩

N N N

2、复数中的代数式和方程

【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★

【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫

-+-++=-

- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

11222x x ⎛⎫⎛⎫

-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()4

1z z ++的值 【难度】★★